O teórico que vê a matemática na arte, na música e na escrita | Revista Quanta

Sarah Hart sempre esteve atenta às maneiras secretas como a matemática permeia outros campos. Quando criança, ela ficou impressionada com a onipresença do número 3 em seus contos de fadas. A mãe de Hart, professora de matemática, incentivou-a a procurar padrões, dando-lhe quebra-cabeças matemáticos para passar o tempo.

Hart obteve o doutorado em teoria de grupos em 2000 e mais tarde tornou-se professor em Birkbeck, Universidade de Londres. A pesquisa de Hart investigou a estrutura dos grupos Coxeter, versões mais gerais de estruturas que catalogam as simetrias de polígonos e prismas. Em 2023, ela publicou Era uma vez um primo, um livro sobre como a matemática aparece na ficção e na poesia. “Uma vez que nós, humanos, fazemos parte do universo, é natural que as nossas formas de expressão criativa, entre elas a literatura, também manifestem uma inclinação para padrões e estruturas”, escreveu Hart. “A matemática, então, é a chave para uma perspectiva totalmente diferente da literatura.”

Desde 2020, Hart é professor de geometria no Gresham College em Londres. Gresham não oferece cursos tradicionais; em vez disso, cada um de seus professores ministra várias palestras públicas por ano. Hart é a primeira mulher a ocupar o cargo de 428 anos, ocupado no século 17 por Isaac Barrow, famoso por ensinar outro Isaac (Newton). Mais recentemente, foi detido por Roger Penrose, matemático que ganhou o Prêmio Nobel de Física de 2020. Hart conversou com Quanta sobre como a matemática e a arte se influenciam. A entrevista foi condensada e editada para maior clareza.

Por que você escolheu escrever seu livro sobre as ligações entre matemática e literatura?

Estas ligações são menos exploradas e menos conhecidas do que aquelas entre a matemática e, digamos, a música. As conexões entre matemática e música têm sido celebradas pelo menos desde os pitagóricos. No entanto, embora tenha havido escritos e pesquisas acadêmicas sobre livros, autores ou gêneros específicos, eu não tinha visto um livro para o público em geral sobre as conexões mais amplas entre matemática e literatura.

Como as pessoas nas artes deveriam pensar sobre matemática?

Há muitos pontos em comum entre a matemática e, devo dizer, as outras artes. Na literatura, assim como na música e na arte, você nunca começa do nada. Se você é poeta, você está escolhendo: terei um haicai com suas restrições numéricas muito precisas ou escreverei um soneto que tenha um certo número de versos, um certo esquema de rima, uma certa métrica? Mesmo algo que não tem esquema de rima terá quebras de linha, um ritmo. Haverá restrições que inspiram a criatividade, que ajudam a focar você.

Em matemática, temos a mesma coisa. Temos algumas regras básicas. Dentro disso, podemos explorar, podemos brincar e podemos provar teoremas. O que a matemática pode fazer pelas artes é ajudar a encontrar novas estruturas, mostrar quais são as possibilidades. Como seria uma peça musical sem armadura de clave? Podemos pensar nos 12 tons e organizá-los de forma diferente, e aqui estão todas as maneiras de fazer isso. Aqui estão diferentes esquemas de cores que você pode criar, aqui estão diferentes formas de métrica poética.

Qual é um exemplo de como a matemática foi afetada pela literatura?

Há milhares de anos, na Índia, os poetas tentavam pensar nos medidores possíveis. Na poesia sânscrita, você tem sílabas longas e curtas. Longo é duas vezes mais longo que curto. Se você quiser descobrir quantos existem que levam um tempo de três, você pode ter curto, curto, curto, ou longo, curto, ou curto, longo. Existem três maneiras de fazer três. Existem cinco maneiras de fazer uma frase de quatro comprimentos. E há oito maneiras de fazer uma frase de cinco comprimentos. Esta sequência que você está obtendo é aquela em que cada termo é a soma dos dois anteriores. Você reproduz exatamente o que hoje chamamos de sequência de Fibonacci. Mas isto foi séculos antes de Fibonacci.

E a influência da matemática na literatura?

Uma sequência bastante simples, mas que funciona de maneira muito, muito poderosa, é o livro de Eleanor Catton As Luminárias, lançado em 2013. Ela usou a sequência 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Cada capítulo desse livro tem metade do comprimento do anterior. Isso cria um efeito realmente fascinante, porque o ritmo está aumentando e as escolhas dos personagens estão mais restritas. Tudo corre em direção à sua conclusão. No final, os capítulos são extremamente curtos.

Outro exemplo de uma estrutura matemática um pouco mais complicada são os chamados quadrados latinos ortogonais. Um quadrado latino é como uma grade de sudoku. Neste caso, seria uma grade de 10 por 10. Cada número aparece exatamente uma vez em cada linha e em cada coluna. Os quadrados latinos ortogonais são formados pela sobreposição de dois quadrados latinos, de modo que haja um par de números em cada espaço. A grade formada pelo primeiro número de cada par é um quadrado latino, assim como a grade formada pelo segundo número de cada par. Além disso, na grade de pares, nenhum par aparece mais de uma vez.

Eles são muito úteis em todos os sentidos. Você pode criar códigos de correção de erros com eles, que são úteis para enviar mensagens por meio de canais barulhentos. Mas uma das grandes coisas sobre estes em particular, de tamanho 10, é que um dos maiores matemáticos de todos os tempos, Leonhard Euler, pensava que não poderiam existir. Foi uma das poucas vezes em que ele cometeu um erro; é por isso que foi tão emocionante. Muito tempo depois de ele ter feito essa conjectura de que essas coisas não poderiam existir para tamanhos específicos, ela foi refutada, e quadrados desse tamanho foram encontrados em 1959. Estava no cobrir of Scientific American aquele ano.

Anos depois, um escritor francês, Georges Perec, procurava uma estrutura para usar em seu livro Vida: um manual do usuário. Ele escolheu um desses quadrados latinos ortogonais. Ele instalou seu livro em um prédio de apartamentos em Paris, que tinha 100 quartos, um quadrado de 10 por 10. Cada capítulo estava em uma sala diferente e cada capítulo tinha seu sabor único. Ele tinha listas de 10 coisas – vários tecidos, cores, esse tipo de coisa. Cada capítulo usaria uma combinação única. É uma maneira realmente fascinante de estruturar o livro.

Você claramente valoriza uma boa escrita. O que você acha da qualidade da redação em trabalhos de pesquisa matemática?

É muito variável! Sei que valorizamos a brevidade, mas acho que às vezes isso é levado longe demais. Existem muitos artigos que não possuem exemplos úteis.

O que realmente valorizamos é um argumento engenhoso que, por cobrir todos os casos ao mesmo tempo de forma tão inteligente, é também breve e elegante. Isso não é o mesmo que comprimir seu longo argumento em um espaço menor do que o necessário, cobrindo a página com sigilos misteriosos que você criou para tornar a notação mais breve, mas que não apenas o leitor, mas provavelmente você mesmo, terá que desempacotar laboriosamente. novamente para entender o que está acontecendo.

Não damos atenção suficiente à notação útil que lembra ao leitor o que isso significa. A notação correta pode transformar absolutamente uma parte da matemática e também pode abrir espaço para generalizações. Pense na transição, historicamente, de escrever uma incógnita, seu quadrado e seu cubo com três letras diferentes, e como é muito mais provável, e até possível, começar a pensar em  quando você começou a escrever ,  e  em vez disso.

Você vê evolução nas ligações entre matemática e arte?

Há coisas novas o tempo todo. Os fractais estavam por toda parte na década de 1990. Em cada parede do dormitório estudantil havia uma foto do cenário de Mandelbrot ou algo parecido. Todo mundo estava tipo, “Oh, isso é emocionante, fractais”. Você tem, por exemplo, músicos, compositores, que usam sequências fractais em suas composições.

Quando eu tinha cerca de 16 anos, surgiram coisas novas chamadas calculadoras gráficas. Muito exitante. E uma amiga da minha mãe me deu um programa que podia desenhar um conjunto de Mandelbrot em uma dessas pequenas calculadoras gráficas. Tinha cerca de, não sei, 200 pixels. Você programa isso e então tive que deixá-lo por 12 horas. Ele traçaria esses 200 pontos no final. Assim, mesmo meros alunos poderiam envolver-se com isto no final dos anos 80 e início dos anos 90, e produzir estas imagens para si próprios.

Mesmo quando você estava na escola, você já estava muito interessado em matemática pesada, ao que parece.

 Acho que estou interessado desde antes mesmo de saber que isso significava que eu era matemático. Tipo, eu sempre fazia padrões desde quando era uma criança pequenininha.

Quando eu era bem pequeno, meu brinquedo favorito eram alguns azulejos de madeira pintados bem simples. Eles vieram em todas as cores diferentes. Eu os transformava em padrões e depois olhava para eles com orgulho por um ou dois dias, e então fazia outro.

Quando fiquei um pouco mais velho, brincava com números e observava padrões. Mamãe seria aquela a quem eu iria e diria: “Estou entediado”. E então ela dizia: “Bem, você consegue descobrir qual é o padrão do número de pontos necessários para formar um triângulo?” ou o que quer que fosse. Ela me faria redescobrir os números triangulares ou algo assim, e eu ficaria muito animado.

Minha pobre mãe, quantas invenções incríveis eu levaria para minha mãe. “Eu desenvolvi uma maneira totalmente nova de fazer algo!” E ela dizia: “OK, isso é muito bom. Mas, você sabe, Descartes pensou nisso há séculos.” E então eu iria; Eu tive outra ideia incrível alguns dias depois. “Isso é adorável, querido. Mas os antigos gregos tinham esse.”

Você se lembra de algum momento particularmente satisfatório de sua carreira de pesquisador em matemática?

Os momentos em que você finalmente entende qual é o padrão que está vendo são sempre satisfatórios, assim como quando você descobre como completar uma prova com a qual está lutando. Minhas lembranças mais fortes desses sentimentos de prazer, provavelmente porque foram as primeiras vezes que os senti, são do início da minha carreira de pesquisa. Mas ainda é uma sensação adorável receber aquele “aha” quando você finalmente entende o que está acontecendo.

Muito cedo eu estava tentando provar algo sobre grupos infinitos de Coxeter. Resolvi alguns casos e, ao analisar o resto, descobri uma técnica que funcionaria se um critério específico fosse satisfeito. Você pode escrever essas relações em um gráfico, então comecei a montar uma coleção de gráficos aos quais minha técnica poderia ser aplicada. Isso foi no Natal de um ano.

Depois de um tempo, meu conjunto de imagens começou a se parecer com um conjunto específico de gráficos listados em um livro sobre grupos Coxeter que estava em meu escritório, e comecei a ter esperança de que fosse exatamente esse conjunto de gráficos. Se fosse, então isso preencheria a lacuna na minha prova e meu teorema estaria concluído. Mas não pude verificar com certeza até voltar para a universidade depois do Natal - isso foi antes de você poder simplesmente pesquisar tudo no Google. Acho que a expectativa de ter que esperar para confirmar meu palpite tornou tudo ainda melhor quando cheguei ao livro e comparei meu conjunto de diagramas manuscritos com os do livro, e eles realmente combinavam.

O que você acha da questão de saber se a matemática é criada ou descoberta? Quase ninguém argumentaria que algum dos romancistas sobre os quais você escreve em seu livro “descobriu” seus romances. Esta é uma diferença fundamental entre matemática e literatura ou não?

Provavelmente é, embora ainda existam algumas ressonâncias.

Fazer matemática parece uma descoberta. Se estivéssemos inventando a matemática, certamente não seria tão difícil provar coisas! Às vezes queremos desesperadamente que algo seja verdade, e não é. Não podemos evitar as consequências da lógica, suponho.

Tudo parece uma descoberta quando você está fazendo isso. Algumas escolhas refletem o que vivenciamos no mundo real, como os axiomas da geometria com os quais trabalhamos, que são escolhidos porque parece ser mais ou menos assim que a realidade é - embora, mesmo aí, não exista um “ponto” ou um “ponto”. linha” (porque não podemos desenhar algo que não ocupe espaço, e uma linha na geometria não tem largura e se estende infinitamente).

Até certo ponto, existem paralelos com esse continuum na literatura. Depois de definir as regras de um soneto, você terá dificuldade em escrever um cuja primeira linha termine com “laranja” ou “chaminé”.

Mas não resisto em compartilhar algo que J.R.R. Tolkien disse sobre escrever O Hobbit: “Tudo começou quando eu estava lendo provas para ganhar um dinheiro extra. … Bem, um dia encontrei uma página em branco em um caderno de provas e rabisquei nela. ‘Em um buraco no chão vivia um hobbit.’ Eu não sabia mais sobre as criaturas do que isso, e anos se passaram até que sua história crescesse. Não sei de onde veio a palavra.”

Hobbits – ele os criou ou os descobriu?