Uma breve história de ladrilhos matemáticos complicados | Revista Quanta

Todos os dias vemos exemplos de motivos repetidos. Essa simetria e regularidade podem parecer mundanas e quase invisíveis, como acontece com a alvenaria nas paredes dos edifícios ou com o padrão hexagonal em um favo de mel. Ou se tivermos a sorte de encontrar algo como os elegantes azulejos da Alhambra espanhola ou os desenhos criativos de MC Escher, os padrões podem inspirar-nos e surpreender-nos.

Durante séculos, os matemáticos brincaram com essas formas repetidas, arrancando delas insights fascinantes e novas possibilidades. A beleza da matemática rivaliza com a beleza dos próprios desenhos.

Os ladrilhos mais simples são feitos de polígonos idênticos com lados de igual comprimento e ângulos de igual medida unidos de ponta a ponta. Mas embora existam infinitos destes polígonos “regulares” – um para cada número de lados – existem apenas três ladrilhos regulares, formados a partir de formas com três, quatro ou seis lados – isto é, triângulos, quadrados e hexágonos.

As outras formas simplesmente não foram construídas para isso. Um pentágono regular (com cinco lados) tem um ângulo interno de 108 graus. Isso não se divide uniformemente em 360 graus, então qualquer tentativa de montar pentágonos regulares em um ladrilho produzirá lacunas que não podem ser preenchidas; dizemos que o pentágono regular não pode ladrilhar o plano. E polígonos regulares com mais de seis lados têm ângulos internos grandes demais para que três se encontrem em um único ponto e, portanto, também não podem.

Outra abordagem sobre o uso de polígonos regulares vem de Johannes Kepler, hoje mais conhecido por suas descobertas sobre o movimento planetário. Em 1619, ele mostrou que mesmo se você usar mais de um polígono regular, poderá criar apenas oito novos padrões de ladrilhos onde a configuração em torno de cada vértice é idêntica. (Se pudermos nos desviar dessa restrição, haverá mais possibilidades.)

Quando permitimos polígonos irregulares, as coisas ficam mais interessantes. Surpreendentemente, todo triângulo pode ladrilhar o plano e, ainda mais surpreendente, todo quadrilátero também pode.

Por outro lado, é impossível ladrilhar o plano com qualquer polígono convexo com mais de seis lados; a soma dos ângulos internos é muito grande. Então isso deixa apenas pentágonos e hexágonos como possibilidades restantes.

Em sua tese de doutorado de 1918, Karl Reinhardt provou que é possível ladrilhar o plano com infinitos hexágonos convexos - aqueles sem reentrâncias - que ele agrupou em três famílias.

Pentágonos convexos que ladeiam o plano eram mais difíceis de classificar. Reinhardt descobriu cinco famílias desses pentágonos; 50 anos depois, Richard Kershner encontrou mais três. Então, em 1975, Martin Gardner escreveu sobre o problema para Scientific American, chamando a atenção de matemáticos profissionais e amadores. Um desses amadores, um programador de computador chamado Richard James III, enviou a Gardner um exemplo de uma nona família, perguntando: “Você concorda que Kershner não percebeu esta?” Ele tinha.

Marjorie Rice, dona de casa, também leu a coluna de Gardner e começou a resolver o problema na mesa da cozinha. Ela mexeu por mais de dois anos e descobriu mais quatro famílias de pentágonos de azulejos.

Os pesquisadores encontraram uma 14ª família de pentágonos de azulejos em 1985 e, três décadas depois, outra equipe encontrou uma 15ª família usando uma pesquisa no computador. Ninguém sabia se esta descoberta completava a lista ou se ainda havia mais famílias escondidas. Essa pergunta foi respondida em 2017, quando Michaël Rao provou que todos os pentágonos de ladrilhos convexos - e com eles, todos os polígonos de ladrilhos convexos - foram encontrados.

Todas essas coisas se repetem. Ou seja, eles têm uma simetria periódica, o que basicamente significa que se traçarmos o ladrilho em um pedaço de papel e deslizarmos esse papel em determinadas direções, ele se alinhará exatamente com o ladrilho novamente.

Outros tipos de simetrias também são possíveis. Por exemplo, uma simetria de espelho implica que os nossos padrões se alinharão se virarmos o nosso papel vegetal de cabeça para baixo em torno de uma linha fixa. Simetria rotacional significa que eles se alinharão se girarmos o papel. E podemos combinar ações para obter uma simetria de reflexão deslizante, que é como deslizar o papel e depois virá-lo.

Em 1891, o cristalógrafo russo Evgraf Fedorov provou que existem apenas 17 maneiras de combinar essas simetrias. Uma vez que esta restrição se aplica a todas as decorações periódicas do avião, estas são amplamente referidas como os 17 “grupos de papel de parede”.

Uma vez familiarizado com esta classificação de padrões de simetria, é quase impossível ver um desenho periódico, por mais complexo que seja, e não vê-lo como um puzzle a descodificar: Onde e como, exactamente, se repete? Onde estão essas simetrias?

É claro que nem todo projeto de ladrilho é periódico. É possível, e muitas vezes fácil, colocar ladrilhos no plano para que o desenho resultante nunca se repita. No nosso exemplo com hexágonos, quadrados e triângulos, você pode fazer isso simplesmente girando um único hexágono e os polígonos que o rodeiam em 30 graus. O ladrilho resultante não possui mais simetrias translacionais.

Em 1961, o lógico Hao Wang conjecturou que se um conjunto de formas ladeia o plano, então as formas devem ser capazes de ladrilhar o plano periodicamente. Apenas alguns anos depois, seu aluno de graduação, Robert Berger, provou que ele estava errado ao descobrir um enorme conjunto de mais de 20,000 mil peças que ladram o plano, mas apenas de forma não periódica. Esses conjuntos de peças são chamados de aperiódicos.

Embora Berger e outros tenham conseguido reduzir significativamente o tamanho desses conjuntos aperiódicos, em meados da década de 1970 Roger Penrose chamou a atenção do mundo ao descobrir conjuntos muito pequenos de seus próprios blocos aperiódicos. Os menores conjuntos requerem apenas duas peças.

Essas formas e padrões encantaram matemáticos, cientistas e o público em geral. Mas eles levantaram uma próxima questão óbvia: existe um único bloco aperiódico? A busca final da teoria das telhas era agora encontrar tal telha “einstein” – nomeada não em homenagem ao físico, mas em homenagem à frase alemã “uma pedra”.

Em 2010, Joshua Socolar e Joan Taylor estiveram muito perto de descobrir um Einstein. O problema com a abordagem deles era que o bloco deles teve que ser desconectado; isso seria como revestir o plano com formas como o estado do Havaí, uma entidade única que consiste em regiões separadas, em vez de formas conectadas como a Califórnia. Cada vez mais, os matemáticos suspeitavam que, se existisse um Einstein, teria de ser algo muito complicado do ponto de vista geométrico.

Em março de 2023, um amador chocou novamente o mundo. Um técnico de impressão aposentado e matemático amador chamado David Smith descobriu não apenas um monótil aperiódico, mas uma família infinita desses einsteins indescritíveis. Ele contou com Craig Kaplan, Chaim Goodman-Strauss e Joseph Samuel Myers – especialistas em ciência da computação, matemática e teoria das telhas – e juntos eles apresentaram um einstein geometricamente simples chamado chapéu de telha (que a internet achou que parecia uma camiseta ).

A reação foi rápida e positiva. Os descobridores falaram em conferências e deram palestras online. Os artistas matemáticos aproveitaram a oportunidade para encontrar formas criativas de produzir desenhos semelhantes aos de Escher, baseados nestes novos azulejos geometricamente interessantes. O chapéu apareceu até no monólogo de um programa de televisão noturno.

No entanto, ainda havia espaço para melhorias. Para ladrilhar o avião com o chapéu, você deve virar aproximadamente um sétimo das peças de cabeça para baixo. Um proprietário que deseja revestir seu banheiro com o ladrilho de chapéu teria que comprar dois tipos de ladrilho: um ladrilho padrão e sua imagem espelhada. Isso era realmente necessário?

Mesmo antes de a emoção do chapéu acabar, a equipe fez outro anúncio. Smith havia encontrado, naquela família infinita de monóteis aperiódicos, um que ele chamou de “espectro” que poderia ladrilhar o plano sem a necessidade de cópias refletidas. Um verdadeiro Einstein finalmente apareceu.

Estamos agora no meio de um ressurgimento da exploração matemática de ladrilhos e mosaicos. Baseou-se em contribuições importantes de amadores, inspirou a criatividade de artistas matemáticos e aproveitou o poder dos computadores para expandir os limites do conhecimento. E a partir disso, alcançamos novos insights sobre a natureza da simetria, da geometria e do design.

Correção: 30 de outubro de 2023
A versão original deste artigo afirmava que é impossível ladrilhar o plano com qualquer polígono com mais de seis lados. Isso só é verdade se o polígono for convexo.

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