Uma torre de conjecturas que repousa sobre uma agulha | Revista Quanta

Na matemática, um problema simples muitas vezes não é o que parece. No início deste verão, Quanta relatou um desses problemas: Qual é a menor área que você pode varrer enquanto gira uma agulha infinitamente fina em todas as direções possíveis? Gire-o em torno do centro como um mostrador e você obterá um círculo. Mas gire-o de maneira mais inteligente e você poderá cobrir uma fração arbitrariamente pequena do espaço. Se você não precisar que a agulha se mova em um movimento contínuo e, em vez disso, simplesmente coloque a agulha em todas as direções, poderá construir um arranjo de agulhas que não cubra nenhuma área.

Os matemáticos chamam esses arranjos de conjuntos Kakeya. Embora saibam que esses conjuntos podem ser pequenos em termos de área (ou volume, se você estiver organizando as agulhas em três ou mais dimensões), eles acreditam que os conjuntos devem ser sempre grandes se seu tamanho for medido por uma métrica chamada Hausdorff. dimensão.

Os matemáticos ainda não provaram esta afirmação, conhecida como conjectura de Kakeya. Mas embora seja aparentemente uma questão simples sobre agulhas, “a geometria desses conjuntos Kakeya sustenta uma série de questões em equações diferenciais parciais, análise harmônica e outras áreas”, disse jonathan hickman da Universidade de Edimburgo.

A conjectura de Kakeya está na base de uma hierarquia de três problemas centrais na análise harmônica – um ramo da matemática que estuda como as funções podem ser representadas como somas de funções periódicas, como ondas senoidais oscilantes regularmente.

O próximo passo nessa hierarquia é a conjectura da “restrição”. Se for verdade, a conjectura de Kakeya também o é. (Isso também significa que se a conjectura de Kakeya for falsa, a conjectura de restrição não pode ser verdadeira.) A conjectura de restrição, por sua vez, está implícita na chamada conjectura de Bochner-Riesz. E no topo está a conjectura de suavização local.

As duas primeiras conjecturas tratam do comportamento da transformada de Fourier, uma técnica de análise harmônica para, na verdade, calcular como expressar quase qualquer função como uma soma de ondas senoidais. É uma das ferramentas matemáticas mais poderosas disponíveis para físicos e engenheiros. A transformada de Fourier desempenhou um papel fundamental na resolução de equações diferenciais, na expressão de ideias da mecânica quântica, como o princípio da incerteza de Heisenberg, e na análise e processamento de sinais – tornando possíveis coisas como os telefones celulares modernos.

Como cada afirmação na hierarquia implica aquela abaixo dela, se a conjectura de Kakeya for falsa, nenhuma das outras conjecturas será verdadeira. A torre inteira irá desabar. “Você pode criar um contra-exemplo de super monstro que quebraria muitas conjecturas”, disse Hickman.

Por outro lado, provar que a conjectura de Kakeya é verdadeira não implicaria automaticamente a verdade dessas outras conjecturas – mas daria aos matemáticos informações importantes sobre como proceder.

E assim, “quase metade da comunidade de análise harmônica que conheço está trabalhando neste e em problemas relacionados, ou já trabalhou neles em algum momento”, disse Shaoming Guo da Universidade de Wisconsin, Madison.

Mais recentemente, os matemáticos descobriram, para sua surpresa, que as técnicas que desenvolveram para resolver estes problemas também podem ser utilizadas para provar resultados importantes no campo aparentemente não relacionado da teoria dos números. “É um fenômeno muito mais geral do que as pessoas pensavam”, disse Guo.

Layer Cake

A história começa com a transformada de Fourier. “Você deseja decompor [funções] em pequenos pedaços, analisar suas interações e adicioná-las novamente”, disse Yumeng Ou da Universidade da Pensilvânia. Para funções unidimensionais – curvas que você pode traçar em um pedaço de papel – os matemáticos sabem como fazer isso, mesmo quando precisam reverter a transformada de Fourier usando apenas algumas das peças.

Mas em duas ou mais dimensões, as coisas podem ficar complicadas.

Em 1971, Charles Fefferman, um matemático da Universidade de Princeton, descobriu como usar os conjuntos de Kakeya para demonstrar que a reversão da transformada de Fourier pode levar a resultados estranhos e surpreendentes em múltiplas dimensões.

Os matemáticos encontraram uma solução na forma da conjectura de Bochner-Riesz, que essencialmente afirma que existem maneiras mais sofisticadas de recuperar a função original que não falham como no exemplo de Fefferman. Mas essa solução dependia da veracidade da conjectura de Kakeya.

Se for verdade, “truncar frequências só levará a pequenos erros”, disse Betsy Stoval da Universidade de Wisconsin, Madison. “Isso significa que os pequenos erros não explodem.”

Assim começou a hierarquia. Mais tarde, os matemáticos descobriram outra ligação importante: se for verdadeira, a conjectura de Bochner-Riesz também implica uma afirmação chamada conjectura da restrição. Esta conjectura afirma que se você começar com uma versão limitada da transformada de Fourier – “restringindo” os valores observados apenas àqueles que vivem em superfícies específicas – isso ainda poderá fornecer informações importantes sobre a função original. E descobriu-se que se a conjectura da restrição era verdadeira, a conjectura de Kakeya também o era. (Isso colocou a conjectura de restrição entre Kakeya e Bochner-Riesz na torre.)

O problema culminante da hierarquia, denominado conjectura de suavização local, não trata diretamente da transformada de Fourier, mas antes impõe limites ao tamanho das soluções para equações que descrevem o comportamento das ondas.

Você também pode pensar nisso em termos da geometria das linhas em um conjunto Kakeya. Você pode dividir uma solução geral para a equação de onda em um monte de peças que se movem em direções diferentes e interagem umas com as outras de maneiras diferentes ao longo do tempo. Cada uma dessas peças se assemelha matematicamente a uma agulha em um conjunto Kakeya. A conjectura de Kakeya afirma que tal configuração não pode ter muita sobreposição. Neste contexto físico, as sobreposições corresponderiam à persistência de comportamentos irregulares e inesperados na solução. Por exemplo, uma onda sonora pode ser amplificada em muitas regiões e em momentos diferentes.

A conjectura de suavização local afirma que tais irregularidades deveriam ser compensadas. “É como tirar a média do mercado financeiro”, disse Cipriano Deméter da Universidade de Indiana em Bloomington. “Pode haver quebras aqui e ali, mas se você investir seu dinheiro e se aposentar em 40 anos, há uma boa chance de conseguir alguns bons investimentos.”

Mas, como acontece com todas as conjecturas na hierarquia, isso depende da veracidade da conjectura de Kakeya. “A ideia é que se você descartar muitas interseções nos conjuntos Kakeya, isso significa que você pode descartar essas situações em que partes de sua solução conspiram juntas para criar algum tipo de explosão”, disse Stovall.

Esta conjectura é a mais difícil de todas: enquanto os casos bidimensionais dos problemas de Kakeya, restrição e Bochner-Riesz foram resolvidos há décadas, a conjectura de suavização local bidimensional só foi provada há alguns anos. (Em dimensões superiores, todos estes problemas permanecem em aberto.)

Mas apesar do lento progresso na comprovação da conjectura de suavização local, o trabalho sobre ela levou a um enorme progresso em outros lugares. Em 1999, ao tentar resolver a conjectura, o matemático Thomas Wolff introduziu um método conhecido como desacoplamento. Desde então, essa técnica ganhou vida própria: tem sido usada para fazer grandes avanços não apenas na análise harmônica, mas na teoria dos números, na geometria e em outras áreas. “Usando resultados de dissociação, agora você tem recordes mundiais em problemas muito famosos e importantes”, disse Christopher Sogge da Universidade Johns Hopkins, que formulou pela primeira vez a conjectura de suavização local na década de 1990. Por exemplo, o desacoplamento tem sido usado para ajudar a contar de quantas maneiras um número inteiro pode ser representado como a soma de quadrados, cubos ou alguma outra potência.

Como disse Deméter, estes resultados são possíveis porque “podemos olhar para os números como ondas”. O fato de todos esses problemas estarem vinculados aos conjuntos de agulhas Kakeya “é fascinante”, acrescentou. “Você não acha que tanta beleza, dificuldade e importância possam estar escondidas em algo que pode ser formulado por meio de segmentos de linha.”