Como a matemática simples move a agulha | Revista Quanta

Imagine que você está andando pela rua em um carro sem motorista quando vê um problema pela frente. Um motorista de entrega da Amazon fez sua van passar por um caminhão da UPS estacionado em fila dupla antes de perceber que não conseguiria passar. Agora eles estão presos. E você também.

A rua é estreita demais para fazer um U-ey, então seu automóvel aprimorado com IA inicia uma curva de três pontos. Primeiro, o carro faz uma curva em direção a um meio-fio. Uma vez lá, ele vira para o outro lado e dá ré até o meio-fio oposto. Em seguida, ele gira o volante na direção da primeira trajetória curva, avançando e afastando-se da obstrução.

Este algoritmo geométrico simples de fazer curvas intermediárias pode ajudá-lo a se locomover em situações difíceis. (Se você já estacionou em paralelo, sabe o que esse movimento para frente e para trás pode fazer por você.)

Há um problema matemático divertido aqui sobre quanto espaço você precisa para virar seu carro, e os matemáticos têm trabalhado em uma versão idealizada dele há mais de 100 anos. Tudo começou em 1917, quando o matemático japonês Sōichi Kakeya apresentou um problema que se parece um pouco com o nosso engarrafamento. Suponha que você tenha uma agulha infinitamente fina de comprimento 1. Qual é a área da menor região na qual você pode girar a agulha 180 graus e retorná-la à sua posição original? Isso é conhecido como problema da agulha de Kakeya, e os matemáticos ainda estão estudando variações dele. Vamos dar uma olhada na geometria simples que torna o problema da agulha de Kakeya tão interessante e surpreendente.

Como muitos problemas matemáticos, este envolve algumas suposições simplificadoras que o tornam menos realista, mas mais administrável. Por exemplo, o comprimento e a largura de um carro são importantes quando você está dirigindo, mas assumiremos que nossa agulha tem comprimento 1 e largura zero. (Isso significa que a própria agulha tem uma área zero, o que desempenha um papel importante para nos permitir resolver o problema.) Além disso, assumiremos que a agulha, ao contrário de um carro, pode girar em torno de sua extremidade dianteira, sua extremidade traseira , ou qualquer ponto intermediário.

O objetivo é encontrar a menor região que permita que a agulha gire 180 graus. Encontrar a menor coisa que satisfaça um determinado conjunto de condições pode ser um desafio, mas uma boa maneira de começar é procurar qualquer coisa que satisfaça essas condições e ver o que você pode aprender ao longo do caminho. Por exemplo, uma resposta fácil é simplesmente girar a agulha 180 graus em torno de seu ponto final e deslizá-la de volta para cima. Isso retorna a agulha à sua posição original, mas agora está apontando na direção oposta, como exige o problema da agulha de Kakeya.

A região necessária para a curva é um semicírculo com raio 1, que possui uma área de $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2}pi = frac{pi}{2}$. Então encontramos uma região que funciona.

Podemos fazer melhor aproveitando a capacidade da nossa agulha matemática mágica de girar em torno de qualquer ponto. Em vez de girá-lo em torno de seu ponto final, vamos girá-lo em torno de seu ponto médio.

Você pode chamar isso de bússola de Kakeya: nossa agulha começa apontando para o norte, mas após a rotação ela está no mesmo lugar, mas apontando para o sul. Esta região é um círculo de raio $latex frac{1}{2}$, então sua área é $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. Esta é metade da área da nossa primeira região, por isso estamos a fazer progressos.

Onde a próxima? Poderíamos nos inspirar em nosso dilema do carro sem motorista e considerar usar algo como uma curva de três pontos para o ponteiro. Na verdade, isso funciona muito bem.

A região varrida pela agulha usando esta técnica é chamada de deltóide e também satisfaz os requisitos de Kakeya. Calcular sua área requer mais do que a geometria elementar que estamos discutindo aqui (o conhecimento de curvas paramétricas ajuda), mas acontece que a área deste deltóide em particular — aquele varrido por um segmento de linha de comprimento 1 — é exatamente $latex frac{pi}{8}$. Agora temos uma região ainda menor na qual podemos virar a agulha de Kakeya, e você pode ser perdoado por pensar que isso é o melhor que podemos fazer. O próprio Kakeya pensou que poderia ser.

Mas este problema da agulha sofreu uma grande reviravolta quando o matemático russo Abram Besicovitch descobriu que é possível fazer infinitamente melhor. Ele criou um procedimento para eliminar pedaços desnecessários da região até que ela ficasse tão pequena quanto ele desejava.

O processo é técnico e complicado, mas uma estratégia baseada na ideia de Besicovitch assenta em duas ideias simples. Primeiro, considere o triângulo retângulo abaixo, com altura 1 e base 2.

Por enquanto, vamos esquecer de girar a agulha completamente e nos concentrar apenas em um fato simples: se colocarmos uma agulha de comprimento 1 no vértice superior, o triângulo será grande o suficiente para permitir que a agulha gire 90º. graus de um lado para o outro.

Como a área do triângulo é $latex A=frac{1}{2}bh$, este triângulo tem área $latex A=frac{1}{2} vezes 2 vezes 1 = 1$.

Agora, aqui está a primeira ideia importante: podemos reduzir a área da região preservando a rotação de 90 graus. A estratégia é simples: cortamos o triângulo ao meio e depois juntamos as duas metades.

A área desta nova figura deve ser menor que a original porque partes do triângulo agora se sobrepõem. Na verdade, é fácil calcular a área da figura: são apenas três quartos do quadrado do lado 1, então a área é $latex A = frac{3}{4}$, que é menor que a área do triângulo com o qual começamos.

E ainda podemos apontar a agulha em todas as direções de antes. Só há um problema: o ângulo original foi dividido em duas partes, então essas direções estão agora divididas em duas regiões separadas.

Se a agulha estiver no lado esquerdo da nova região, podemos girá-la 45 graus entre sul e sudeste, e se estiver à direita podemos girá-la 45 graus entre sul e sudoeste, mas como as duas partes estão separadas , não parece que podemos girá-lo 90 graus como podíamos antes.

É aqui que entra a segunda ideia importante. Existe uma maneira sorrateira de passar a agulha de um lado para o outro que não requer muita área. No xadrez você deve saber que o cavalo se move em forma de L. Bem, a nossa agulha vai mover-se em forma de N.

Veja como isso é feito. Primeiro, a agulha desliza para cima em um lado do N. Depois ela gira para apontar ao longo da diagonal e desliza para baixo. Então ele gira novamente e termina sua viagem deslizando para cima pelo outro lado do N.

À primeira vista, esse movimento em forma de N pode não parecer grande coisa, mas faz algo muito útil. Permite que a agulha “pule” de uma linha paralela para outra, o que nos ajudará a levar a agulha de uma região para outra. Mais importante ainda, isso acontece sem exigir muita área. Na verdade, você pode fazer com que exija tão pouca área quanto desejar. Aqui está o porquê.

Lembre-se de que nossa agulha tem largura zero. Portanto, qualquer linha ao longo da qual a agulha se mova, para frente ou para trás, terá área zero. Isso significa que a região necessária para mover a agulha para cima, para baixo ou diagonalmente ao longo do formato N será composta por peças com área zero.

Isso deixa apenas as rotações nos cantos da forma N.

Esses movimentos requerem área. Você pode ver um pequeno setor de círculo em cada canto. Mas aqui está a parte sorrateira: você pode diminuir essas regiões alongando o N.

A fórmula para a área de um setor de círculo é $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$, onde $latex theta$ é a medida do ângulo do setor em graus. Não importa quão alto seja o N, o raio do setor será sempre 1: esse é o comprimento da agulha. Mas à medida que N fica mais alto, o ângulo diminui, o que reduzirá a área do setor. Assim, você pode tornar a área adicional tão pequena quanto desejar, esticando o N o quanto for necessário.

Lembre-se que conseguimos reduzir a área da nossa região triangular dividindo-a em duas e fazendo com que as peças se sobreponham. O problema era que isso dividia o ângulo de 90 graus em duas partes separadas, impedindo-nos de girar a agulha 90 graus completos. Agora podemos resolver esse problema fixando uma forma N apropriada para garantir que a agulha tenha um caminho de um lado para o outro.

Nesta região atualizada, a agulha ainda pode girar 90 graus como antes, só que agora acontece em dois estágios. Primeiro, a agulha gira 45 graus e se alinha com a borda vertical à esquerda. Em seguida, ele se move ao longo da forma N para chegar ao outro lado. Uma vez lá, você pode girar os outros 45 graus gratuitamente.

Isso move a agulha 90 graus e, para mantê-la girando, basta adicionar cópias giradas da região.

Com a adição das formas N apropriadas, a agulha pode saltar de uma península triangular para a próxima, girando-se pouco a pouco até dar uma volta completa, como um carro executando uma curva de três pontos.

Há mais matemática diabólica nos detalhes, mas essas duas ideias - que podemos reduzir continuamente a área da região original fatiando-a e deslocando-a, garantindo ao mesmo tempo que podemos passar de peça em peça usando as formas N arbitrariamente pequenas - nos ajudam mova a agulha em uma região cada vez menor que pode ser tão pequena quanto você desejar.

Uma abordagem mais padronizada para construir esse tipo de região começa com triângulos equiláteros e usa “árvores Perron”, que são maneiras inteligentes de fatiar triângulos, esticar e deslizar as peças novamente. O resultado é bastante impressionante.

Recentemente, os matemáticos fez progresso em novas variações deste velho problema, ambientadas em dimensões superiores e com diferentes noções de tamanho. Provavelmente nunca veremos um carro movido por IA traçando uma curva na ponta de uma agulha Kakeya, mas ainda podemos apreciar a beleza e a simplicidade de seu quase nada.

Exercícios

1. Qual é a área do menor triângulo equilátero que funciona como um conjunto de agulhas Kakeya?

2. Você pode fazer um pouco melhor que o triângulo equilátero do exercício 1 usando um “triângulo de Reuleaux”, uma região formada por três setores circulares sobrepostos. Qual é a área do menor triângulo de Reuleaux que funciona?