NOSSO tarefa de quebra-cabeça no mês passado foi para salvar um Star Trek partido de superfície de oito liderados pelo Empreendimento Diretor de comunicações Tenente Uhura (interpretado pelo falecido Nichelle Nichols). A tripulação é aprisionada por uma raça alienígena, os Catenati, em um planeta no Colar Nebulosa. Para escapar, eles têm que maximizar sua probabilidade de realizar uma tarefa que a princípio parece oferecer apenas uma probabilidade sombria de sucesso.
A tripulação de oito pessoas é informada da tarefa enquanto é mantida temporariamente em uma sala comum, onde são livres para se comunicar e criar estratégias. Em poucas horas, eles serão conduzidos, um de cada vez, a uma sala chamada câmara da roleta. Esta sala tem oito botões dispostos em fila, cada um dos quais é programado para responder a um membro da tripulação diferente. Para enganar a tripulação, cada botão é rotulado aleatoriamente com o nome de outro membro da tripulação. Cada membro da tripulação pode pressionar até quatro botões, em qualquer ordem. Sempre que eles pressionam um botão, eles verão a quem o botão realmente pertence. Dentro de suas quatro tentativas, eles precisam encontrar o botão atribuído a eles. Para que a tripulação fique livre, todos eles precisam ter sucesso nessa tarefa. Se um deles falhar, todos serão executados. Depois que um membro da tripulação completa sua tentativa, eles devem ser isolados sem nenhuma maneira de passar informações para nenhum de seus companheiros de tripulação.
As chances de sucesso parecem minúsculas. Se os membros da tripulação escolherem botões aleatoriamente, cada um terá uma chance de 1 em 2 de encontrar seu botão. A chance de todos os oito terem sucesso é de apenas 1 em 256, ou cerca de 0.4%.
Mas eles não precisam pressionar botões aleatoriamente. Uma maneira de aumentar a probabilidade de sucesso pode ser nivelar todos os pressionamentos de botão de alguma forma. Isso nos leva à nossa primeira pergunta do quebra-cabeça.
Quebra-cabeça 1
Em quanto a probabilidade de sobrevivência da tripulação pode ser melhorada se eles garantirem que cada botão seja pressionado com a mesma frequência (em vez de pressionar quatro botões aleatoriamente)?
Rob Corlett e JPayette responderam bem a isso, como fizeram todas as outras perguntas. Quanto à elusiva ideia central por trás dos quebra-cabeças desta coluna, Rob Corlett, JPayette e Jouni Seppänen descreveu-o lindamente, enquanto Sacha Bugnon contribuiu com uma solução de computador.
Aqui está a resposta de Rob Corlett:
Uma maneira de garantir que cada botão seja pressionado um número igual de vezes é separar os prisioneiros em dois grupos de 4 tamanhos iguais.
Cada grupo apenas pressiona os botões correspondentes aos membros do seu grupo. Assim, se A, B, C e D estiverem todos no mesmo subgrupo, eles apenas pressionam os botões de A, B, C e D.
Isso muda o problema para perguntar a probabilidade de que cada prisioneiro seja alocado para o grupo correto, pois é garantido que eles pressionem o botão em quatro ou menos pressionamentos.
O número de maneiras de preencher o primeiro grupo (e, portanto, o segundo grupo também) com quatro pessoas é o número de maneiras de escolher 4 de 8, que é C(8, 4) = 70. Portanto, o número total de maneiras de alocar todos nos dois grupos é 70.
Existe apenas uma alocação que aloca corretamente cada prisioneiro ao grupo certo e, portanto, a probabilidade de todos estarem no grupo certo e todos os prisioneiros sobreviverem é 1/70, o que é 3.66 vezes melhor que o 1/256 da estratégia anterior. [Mas ainda é muito pequeno: apenas 1.4% de chance.]
Quebra-cabeça 2
Existe uma maneira de melhorar as probabilidades sombrias originais em mais de 90 vezes, para cerca de 36.5%, o que parece milagroso! Essa estratégia envolve o uso de loops ou cadeias de suposições – daí as referências à Nebulosa do Colar e aos Catenati (cadeia é latim para cadeia). Na forma básica da estratégia, cada tripulante começa apertando o botão com seu nome, depois vai para o botão com o nome do tripulante ao qual o primeiro botão realmente pertencia, e assim por diante, criando uma cadeia de nomes.
Vamos ver como isso funciona na prática. No diagrama, os botões são mostrados com seus rótulos em branco. As letras azuis abaixo mostram os verdadeiros donos dos botões. Quando o primeiro membro da tripulação, A, entra na câmara da roleta, ela aperta primeiro o botão A. Este é o botão de C, então ela pressiona o botão C em seguida, depois o botão E e finalmente o botão F, que na verdade é o próprio botão de A, então ela o encontrou com sucesso em quatro tentativas. Observe que os botões ACEF formam um loop fechado de quatro botões. Quando os membros da tripulação C, E e F se revezam, eles também percorrem o mesmo circuito fechado, começando de seus respectivos lugares, e também encontram seus próprios botões em quatro tentativas.
Este arranjo também possui dois loops menores de dois botões cada: BD e GH. Esses quatro membros da tripulação encontrarão seus próprios botões em duas tentativas. Então, com esse arranjo, todos os membros da tripulação serão bem-sucedidos e terão conquistado sua liberdade. É claro que se o arranjo contiver apenas loops de comprimento 4 ou menos, todos os membros da tripulação serão bem-sucedidos e serão liberados. Se, por outro lado, houver um único loop de 5 ou mais, todos os membros da equipe nesse loop não conseguirão encontrar seu botão em quatro tentativas e a equipe será executada. Para encontrar a probabilidade de sucesso, podemos encontrar a probabilidade de ter um loop de 5, 6, 7 ou 8, somá-los e subtrair essa soma de 1. Isso é mais fácil de calcular do que o outro porque para oito botões, pode haver apenas um único loop com 5, 6, 7 ou 8 membros.
São 8! diferentes maneiras de organizar oito botões. Mas quando fazemos loops, o mesmo loop é responsável por oito desses arranjos (ABCDEFGH forma o mesmo loop que BCDEFGHA, que é o mesmo que CDEFGHAB, etc.). Portanto, a probabilidade de ter um loop de tamanho 8 é (8!/8)/8!, que é simplesmente 1/8. Da mesma forma, a probabilidade de ter um loop de tamanho 7 é 1/7, de tamanho 6 é 1/6 e de tamanho 5 é 1/5. Portanto, a probabilidade de sucesso para nossa tripulação intrépida é de 1 − (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8), ou 36.5%, conforme mencionado anteriormente.
A estratégia acima funciona para qualquer número de prisioneiros, e a melhoria nas chances sobre a abordagem aleatória aumenta rapidamente à medida que esse número aumenta. É cerca de sete vezes para quatro prisioneiros, 24 vezes para seis, 93 vezes para oito e um surpreendente (3.8 × 1029)-fold para 100 prisioneiros. A chave para entender esse enorme aumento é que o método liga o sucesso ou fracasso de cada membro do grupo ao dos outros. Em grande medida, todos eles são bem-sucedidos ou fracassam juntos. A probabilidade de sucesso do grupo não cai muito da de uma única pessoa, caindo apenas de 50% para um único preso para 30.69% à medida que o número de presos aumenta sem limites. Por outro lado, a probabilidade de uma abordagem aleatória ou mesmo de uma abordagem de “pressionar botões pares” declina rapidamente para muito perto de zero, mesmo para um pequeno número de prisioneiros.
Se a lógica por trás dessa estratégia ainda parece confusa, aqui está uma análise do problema dos 100 prisioneiros neste excelente vídeo por Veritasium.
Quebra-cabeça 3
Este quebra-cabeça era sobre o tenente Uhura lembrando de um jogo de infância, que era essencialmente o mesmo quebra-cabeça, mas para seis pessoas. Como dica, sugeri resolver o problema para quatro pessoas. Agora que temos a fórmula, podemos calcular facilmente as probabilidades.
Para quatro pessoas, a probabilidade de que o loop mais longo seja apenas 2 ou 1 é: 1 − (1/3 + 1/4) ou 41.7% com um ganho de sete vezes sobre a escolha aleatória.
Para seis pessoas, a probabilidade de que o loop mais longo seja 3, 2 ou 1 é: 1 − (1/4 + 1/5 + 1/6) ou 38.3% com um ganho de mais de 24 vezes em relação à escolha aleatória.
Quebra-cabeça 4
À medida que nossa história continua, acontece que um dos Catenati tem uma antipatia especial pelo Empreendimento tripulação e está monitorando-os remotamente. Ele suspeita que eles inventaram alguma estratégia eficaz baseada no diagrama de Uhura. Ele está determinado a frustrar o plano deles entrando na câmara e alterando deliberadamente a ordem dos rótulos dos botões antes que a roleta comece. Ele pode frustrar com sucesso o plano? O que o grupo de desembarque precisa ter um cuidado especial para esconder?
Muito cedo na discussão da estratégia da tripulação, os olhos de Uhura de repente se estreitaram. Ela fez um sinal para sua equipe e passou a falar em nicolenês, anunciando: “Todas as discussões adicionais em nicolenês, por favor”. Nicholese era uma nova língua que Uhura havia inventado no início de sua carreira justamente para esse tipo de situação, para contornar o uso de tradutores universais. “Você deve ter notado aquela Catenati suspeita,” ela continuou. “Ele pode tentar nos sabotar, então precisamos modificar nosso plano. Aqui está o que precisamos fazer…”
Uhura esboçou o novo plano até que se convenceu de que todos os membros de sua tripulação o conheciam perfeitamente. Então ela meditou, com um olhar distante em seus olhos: “Eu nomeei Nicholese em homenagem a uma atriz icônica do século 20. Estou feliz por ter insistido que a Frota Estelar o tornasse padrão em todas as nossas naves.”
Ela se voltou para a tripulação. “Isso é tudo, oficiais. Você sabe o que fazer!"
Não sabemos exatamente o que Uhura disse a sua equipe. Mas JPayette e Rob Corlett tiveram uma boa ideia. Aqui está Rob Corlett novamente:
Se o malvado Catenati ouvir que eles estão empregando essa estratégia, ele pode trocar os nomes mostrados no visor para garantir que haja um ciclo maior que 4.
Para quebrar isso, os prisioneiros precisam concordar com uma ordem secreta que randomiza a sequência. Eles fazem isso dizendo algo como “se você vir o nome de Uhura, vá para o botão marcado como Chekov. Se você vir o nome de Chekov exibido, vá para o botão marcado Smith, etc.”
Dessa forma, o reordenamento pelo Catenati não importa, pois só funciona se você souber como a tripulação responderá aos nomes nos displays. Eles precisam manter qualquer segredo de reordenação, caso contrário, ele pode ser quebrado novamente.
Como vimos, Uhura garantiu que o segredo fosse mantido em segurança. Cada membro da tripulação só precisava usar a mesma ordem secreta e garantir que o malvado Catenati não soubesse o que era. Na verdade, a ordem alterada pelo malvado Catenati na verdade aumentou a probabilidade de sucesso da tripulação!
Isso é o que aconteceu. Uhura foi a primeira a ser levada para a sala da roleta. Ela apertou três botões. Nenhum era dela. Ela deveria estar triste ou feliz? Ela prendeu a respiração e apertou o quarto. Ela havia encontrado seu verdadeiro botão!
Ela sabia que todos seriam salvos.
Quebra-cabeça 5
Qual o limite que a porcentagem máxima de sucesso se aproxima à medida que o tamanho do grupo de desembarque aumenta indefinidamente? Você pode explicar por que esse método é muito mais eficiente do que pressionar um botão aleatório?
JPayette escreveu:
Todo o acima se generaliza diretamente para uma tripulação de 2n membros cada um autorizado a pressionar no máximo n botões. Do Puzzle 2, deduzimos que sua chance de sucesso é
1 − (soma sobre k entre n + 1 e 2n de 1 /k).
A soma pode ser comparada com a integral de 1/x no intervalo [n, 2n], o que nos permite provar que como n cresce até o infinito, a probabilidade acima diminui para convergir para um surpreendente 1 − ln(2) ≈ 30.6%. [Na verdade, 30.69% com duas casas decimais.]
Rob Corlett acrescentou:
Se você não conhece a integração, pode obter rapidamente uma resposta aproximada por cálculo usando uma planilha. cheguei a 0.307 uma vez n atingiu cerca de 750, com precisão de 3 casas decimais.
Já explicamos acima por que esse método funciona. Todos os loops maiores que 1 são compartilhados por vários membros da equipe. Portanto, seus sucessos e fracassos são altamente correlacionados. É uma ilustração do princípio “Todos por um e um por todos”. Direto do manual da Frota Estelar!
Obrigado a todos os nossos colaboradores. JPayette e Rob Corlett enviaram respostas valiosas que fizeram esta coluna de solução parecer quase redundante. Infelizmente, devo seguir nossa regra de escolher um vencedor por coluna do quebra-cabeça. O prêmio Insights vai para JPayette em reconhecimento às contribuições aqui e no quebra-cabeça anterior. Parabéns! Rob Corlett, suas contribuições não serão esquecidas.
Até o próximo mês para novos insights!
