Probabilidade e teoria dos números colidem - em um momento

Suas ambições sempre foram altas. Quando Will Sawin e Melanie Matchett Wood começaram a trabalhar juntos no verão de 2020, eles começaram a repensar os principais componentes de algumas das conjecturas mais tentadoras da teoria dos números. Os assuntos de sua atenção, grupos de classe, estão intimamente relacionados a questões básicas sobre como a aritmética funciona quando os números são estendidos além dos números inteiros. Serrar, na Universidade de Columbia, e Madeira, em Harvard, queria fazer previsões sobre estruturas que são ainda mais gerais e matematicamente intimidadoras do que o grupo de classe.

Mesmo antes de terminarem de formular suas previsões, em outubro eles provaram ser um novo resultado que permite aos matemáticos aplicar uma das ferramentas mais úteis da teoria da probabilidade não apenas a grupos de classe, mas também a coleções de números, redes e muitos outros objetos matemáticos.

“Este será apenas o documento fundamental ao qual todos recorrerão quando começarem a pensar sobre esses problemas”, disse David Zureick-Brown, um matemático da Emory University. “Não parece mais que você precisa inventar coisas do zero.”

Uma Lei de Classe

Um grupo de classe é um exemplo de um conjunto matemático estruturado chamado grupo. Os grupos incluem muitos conjuntos familiares, como os números inteiros. O que torna os números inteiros um grupo, em vez de apenas um conjunto de números, é que você pode adicionar seus elementos e obter outro número inteiro. Em geral, um conjunto é um grupo se vier com alguma operação que, como a adição, combine dois elementos em um terceiro elemento de forma que satisfaça alguns requisitos básicos. Por exemplo, deve haver uma versão do zero, um elemento que não altere nenhum dos outros.

Os inteiros, que os matemáticos costumam chamar de $latex mathbb{Z}$, são infinitos. Mas muitos grupos têm um número finito de elementos. Por exemplo, para fazer um grupo com quatro elementos, considere o conjunto {0, 1, 2, 3}. Em vez de realizar a adição regular, divida a soma de quaisquer dois números por 4 e pegue o resto. (Sob essas regras, 2 + 2 = 0 e 2 + 3 = 1.) Este grupo é chamado $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$.

Em geral, se você deseja fazer um grupo com elementos $latex n$, pode levar os números de zero a n – 1 e considere o resto ao dividir por n. O grupo resultante é chamado $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, embora este nem sempre seja o único grupo com n elementos.

O grupo de classe aparece quando os teóricos dos números investigam a estrutura dos números além dos números inteiros. Para fazer isso, eles adicionam novos números aos números inteiros, como i (a raiz quadrada de −1), $latex sqrt{5}$, ou mesmo $latex sqrt{–5}$.

“Coisas com as quais estamos acostumados sobre números não são mais verdadeiras neste contexto. Ou, pelo menos, não são necessariamente verdadeiras”, disse Jordan Ellenberg, um matemático da Universidade de Wisconsin, Madison.

Especificamente, a fatoração funciona de maneira diferente nas extensões dos números inteiros. Se você ficar apenas com os números inteiros, os números podem ser fatorados em primos (números que só podem ser divididos por eles mesmos e 1) de apenas uma maneira. Por exemplo, 6 é 2 × 3 e não pode ser fatorado em outros números primos. Essa propriedade é chamada de fatoração única.

Mas se você adicionar $latex sqrt{–5}$ ao seu sistema numérico, não terá mais fatoração única. Você pode fatorar 6 em primos de duas maneiras diferentes. Ainda é 2 × 3, mas também é $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$.

Os grupos de classe são criados a partir dessas extensões para os números inteiros. “Os grupos de classe são incrivelmente importantes”, disse Wood. “E então é natural se perguntar: como eles costumam ser?”

O tamanho do grupo de classe associado a qualquer extensão dos números inteiros é um barômetro para o quanto a fatoração única falha. Embora os matemáticos tenham provado que os grupos de classe são sempre finitos, descobrir sua estrutura e tamanho é complicado. É por isso que em 1984, Henri Cohen e Hendrik Lenstra arrisquei alguns palpites. Suas conjecturas, agora chamadas heurísticas de Cohen-Lenstra, diziam respeito a todos os grupos de classes que surgem quando você adiciona novas raízes quadradas aos números inteiros. Se todas essas turmas fossem reunidas, Cohen e Lenstra sugeriram respostas para perguntas como: Que proporção delas contém o grupo $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$? Ou $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? Ou algum outro tipo conhecido de grupo finito?

Cohen e Lenstra estimularam os teóricos dos números a considerar não apenas exemplos isolados de grupos de classes, mas estatísticas que fundamentam os grupos de classes como um todo. Suas previsões se basearam em uma visão da matemática como um universo com padrões a serem descobertos em todos os níveis.

Quase 40 anos depois, as heurísticas de Cohen-Lenstra são amplamente consideradas verdadeiras, embora ninguém tenha chegado perto de prová-las. Seu impacto na matemática foi palpável, disse Nigel Boston, professor emérito da Universidade de Wisconsin, Madison. “O que foi descoberto é esta teia incrível”, disse ele. “Existe essa enorme infraestrutura da maneira como pensamos que o mundo é montado.”

O único jogo na cidade

Incapazes de lidar diretamente com a heurística, os matemáticos apresentaram problemas mais tratáveis ​​que esperavam iluminar a situação. A partir desse trabalho, surgiu um conjunto útil de quantidades que os matemáticos começaram a chamar de momentos, após um termo usado na teoria da probabilidade.

Na probabilidade, os momentos podem ajudá-lo a calcular as distribuições por trás dos números aleatórios. Por exemplo, considere a distribuição da alta temperatura diária em 1º de janeiro na cidade de Nova York - as chances de que em 1º de janeiro do próximo ano seja de 10 graus Fahrenheit, ou 40 graus, ou 70 ou 120. Tudo o que você precisa para trabalhar com seus dados passados: um histórico da alta diária em 1º de janeiro de cada ano desde o início do histórico registrado.

Se você calcular a média dessas temperaturas, aprenderá um pouco, mas não tudo. Uma temperatura alta média de 40 graus não informa as chances de que a temperatura esteja acima de 50 graus ou abaixo de 20.

Mas isso muda se você receber mais informações. Especificamente, você pode aprender a média do quadrado da temperatura, uma quantidade conhecida como o segundo momento da distribuição. (A média é o primeiro momento.) Ou você pode aprender a média dos cubos, que é conhecida como terceiro momento, ou a média das quartas potências — o quarto momento.

Na década de 1920, os matemáticos descobriram que, se os momentos dessa série crescem suficientemente devagar, conhecer todos os momentos permite deduzir que apenas uma distribuição possível tem esses momentos. (Embora isso não permita necessariamente que você calcule diretamente essa distribuição.)

“Isso é realmente pouco intuitivo”, disse Wood. “Se você pensar em uma distribuição contínua, ela tem alguma forma. Parece que tem mais do que pode ser capturado em uma sequência de números.”

Matemáticos interessados ​​na heurística de Cohen-Lenstra descobriram que, assim como os momentos na teoria da probabilidade podem ser manipulados para obter uma distribuição de probabilidade, os momentos definidos de uma maneira particular para grupos de classe podem ser uma lente através da qual podemos ver seu tamanho e estrutura. . Jacob Tsimerman, um matemático da Universidade de Toronto, disse que não consegue imaginar como a distribuição dos tamanhos dos grupos de classe poderia ser calculada diretamente. Usar momentos, disse ele, é “mais do que fácil. É o único jogo da cidade.”

Este momento mágico

Embora cada momento da probabilidade esteja associado a um número inteiro – a terceira potência, a quarta potência e assim por diante – cada uma das novas quantidades introduzidas pelos teóricos dos números corresponde a um grupo. Esses novos momentos dependem do fato de que muitas vezes você pode reduzir um grupo a um grupo menor reunindo diferentes elementos.

Para calcular o momento associado a um grupo G, pegue todos os grupos de classes possíveis — um para cada nova raiz quadrada que você adicionar aos números inteiros. Para cada grupo de turma, conte o número de maneiras diferentes de reduzi-lo G. Em seguida, tire a média desses números. Esse processo pode parecer complicado, mas é muito mais fácil trabalhar com ele do que com a distribuição real por trás das previsões de Cohen e Lenstra. Embora as próprias heurísticas de Cohen-Lenstra sejam complicadas de declarar, os momentos da distribuição que elas predizem são todos 1.

“Isso faz você pensar, uau, talvez os momentos sejam a maneira natural de abordar isso”, disse Ellenberg. “Parece mais crível ser capaz de provar que algo é igual a 1 do que provar que é igual a algum produto infinito maluco.”

Quando os matemáticos estudam distribuições sobre grupos (grupos de classe ou outros), eles acabam com uma equação para cada grupo G, com as probabilidades agora representando, digamos, a proporção de grupos de classes que se parecem com $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$. Com infinitas equações e infinitos grupos de classes possíveis, é complicado resolver as probabilidades. Não é óbvio que faça sentido fazer isso.

“Quando você tem somas infinitas, as coisas podem dar errado”, disse Wood.

No entanto, os matemáticos, ainda incapazes de encontrar outros caminhos para estudar as distribuições, voltaram ao segundo problema. Em trabalho publicado no Anais de Matemática em 2016, Ellenberg, juntamente com Akshay Venkatesh e Craig Westerland, momentos usados estudar as estatísticas de grupos de classe em um cenário ligeiramente diferente do que Cohen e Lenstra haviam considerado. Essa ideia foi reutilizados vários vezes. Mas cada vez que os pesquisadores usavam os momentos, eles se apoiavam nas peculiaridades de seu problema específico para provar que o conjunto infinito de equações tinha uma solução. Isso significava que suas técnicas não eram transferíveis. O próximo matemático que precisasse usar momentos teria que resolver o problema dos momentos novamente.

No início de sua colaboração, Sawin e Wood também planejaram seguir esse caminho. Eles usariam momentos para fazer previsões sobre como as versões mais complicadas dos grupos de classe foram distribuídas. Mas cerca de um ano em seu projeto, eles voltaram seu foco para o problema do momento em si.

sendo desviado

Os colegas descrevem Sawin e Wood como extraordinariamente apaixonados por seu trabalho. “Os dois são muito inteligentes. Mas há muitas pessoas inteligentes”, disse Zureick-Brown. “Eles apenas têm essa atitude positiva em relação a fazer matemática.”

Inicialmente, Sawin e Wood queriam usar momentos para ampliar as previsões de Cohen-Lenstra para novos cenários. Mas eles logo ficaram insatisfeitos com o argumento do segundo problema. “Tínhamos a necessidade de escrever argumentos semelhantes repetidamente”, lembrou Sawin. Além disso, acrescentou, a linguagem matemática que eles usavam “não parecia chegar ao cerne do que o argumento estava fazendo... As ideias estavam lá, mas simplesmente não tínhamos encontrado a maneira certa de expressá-las”.

Sawin e Wood cavaram mais fundo em sua prova, tentando descobrir o que realmente estava por trás de tudo. Eles acabaram com uma prova que resolveu o problema do momento não apenas para sua aplicação específica, mas para qualquer distribuição de grupos – e para todos os tipos de outras estruturas matemáticas.

Eles dividem o problema em etapas pequenas e gerenciáveis. Em vez de tentar resolver toda a distribuição de probabilidade de uma só vez, eles se concentraram em apenas uma pequena fatia dos momentos.

Por exemplo, para resolver o problema do momento para uma distribuição de probabilidade sobre grupos, cada momento seria associado a um grupo G. A princípio, Sawin e Wood examinariam um sistema de equações que incluísse apenas os momentos para uma lista restrita de grupos. Eles então adicionariam lentamente grupos à lista, observando mais e mais momentos a cada vez. Ao tornar o problema cada vez mais complexo, eles transformaram cada passo em um problema solucionável. Pouco a pouco, eles construíram uma solução completa para o problema do momento.

“Essa lista fixa é como os óculos que você coloca, e quanto mais grupos você estiver disposto a considerar, melhores serão os seus óculos”, explicou Wood.

Quando eles finalmente tiraram o pó dos últimos detalhes estranhos, eles se viram com um argumento cujos tentáculos alcançavam a matemática. O resultado funcionou para grupos de classe, para grupos associados a formas geométricas, para redes de pontos e linhas, bem como para outros conjuntos com maior complexidade matemática. Em todas essas situações, Sawin e Wood encontraram uma fórmula que leva em conta um conjunto de momentos e cospe a distribuição que tem esses momentos (contanto que os momentos não cresçam muito rapidamente, entre outros requisitos).

“É muito no estilo de Melanie”, disse Ellenberg. “Para ser como, 'Vamos provar um teorema muito geral que lida com muitos casos diferentes de maneira uniforme e elegante'.”

Sawin e Wood agora estão voltando para seu objetivo original. No início de janeiro, eles compartilharam um novo papel isso corrige previsões erradas de Cohen-Lenstra feito no final dos anos 1980 por Cohen e seu colega Jacques Martinet. Além disso, eles têm ainda mais resultados em sua fila, com planos de expandir a heurística para situações ainda mais novas. “Não sei se esse projeto terminará”, disse Sawin.

O segundo problema que Sawin e Wood resolveram foi “uma espécie de espinho na sua cabeça para muitas perguntas diferentes”, disse Tsimerman. “Acho que muitos matemáticos vão dar um suspiro de alívio.”