Alguns minutos de uma palestra de 2018 na Universidade de Michigan, Ian Tobasco pegou um grande pedaço de papel e o amassou em uma bola aparentemente desordenada de caos. Ele o segurou para que o público o visse, apertou-o por precaução, depois o estendeu novamente.
"Recebo uma massa selvagem de dobras que emergem, e esse é o quebra-cabeça", disse ele. “O que seleciona esse padrão de outro padrão mais ordenado?”
Ele então levantou um segundo grande pedaço de papel – este pré-dobrado em um famoso padrão de origami de paralelogramos conhecido como Miura-ori – e o apertou. A força que ele usou em cada folha de papel foi quase a mesma, disse ele, mas os resultados não poderiam ter sido mais diferentes. O Miura-ori foi dividido nitidamente em regiões geométricas; a bola amassada era uma confusão de linhas irregulares.
“Você tem a sensação de que isso”, disse ele, apontando para o arranjo disperso de vincos na folha amassada, “é apenas uma versão aleatória e desordenada disso.” Ele indicou o limpo e ordenado Miura-ori. “Mas não colocamos o dedo sobre se isso é verdade ou não.”
Fazer essa conexão exigiria nada menos do que estabelecer regras matemáticas universais de padrões elásticos. Tobasco vem trabalhando nisso há anos, estudando equações que descrevem materiais elásticos finos – coisas que respondem a uma deformação tentando retornar à sua forma original. Pique um balão com força suficiente e um padrão de estrelas de rugas radiais se formará; remova o dedo e eles ficarão lisos novamente. Aperte uma bola de papel amassada e ela se expandirá quando você a soltar (embora não desdobre completamente). Engenheiros e físicos estudaram como esses padrões surgem sob certas circunstâncias, mas para um matemático esses resultados práticos sugerem uma questão mais fundamental: é possível entender, em geral, o que seleciona um padrão em vez de outro?
Em janeiro de 2021, a Tobasco publicou um papel que respondeu a essa pergunta de forma afirmativa - pelo menos no caso de uma folha elástica lisa, curvada e achatada (uma situação que oferece uma maneira clara de explorar a questão). Suas equações preveem como rugas aparentemente aleatórias contêm domínios “ordenados”, que têm um padrão repetitivo e identificável. E ele co-escreveu um artigo, publicado no mês passado, que mostra uma nova teoria física, baseada em matemática rigorosa, que poderia prever padrões em cenários realistas.
Notavelmente, o trabalho de Tobasco sugere que o enrugamento, em suas muitas formas, pode ser visto como a solução para um problema geométrico. “É uma bela peça de análise matemática”, disse Stefan Müller do Centro Hausdorff de Matemática da Universidade de Bonn, na Alemanha.
Ele apresenta elegantemente, pela primeira vez, as regras matemáticas - e uma nova compreensão - por trás desse fenômeno comum. “O papel da matemática aqui não era provar uma conjectura que os físicos já haviam feito”, disse Robert Kohn, um matemático do Courant Institute da Universidade de Nova York e orientador da escola de pós-graduação de Tobasco, “mas sim para fornecer uma teoria onde antes não havia compreensão sistemática”.
Alongamento
O objetivo de desenvolver uma teoria de rugas e padrões elásticos é antigo. Em 1894, em uma revisão em Natureza, o matemático George Greenhill apontou a diferença entre os teóricos (“O que devemos pensar?”) e as aplicações úteis que eles poderiam descobrir (“O que devemos fazer?”).
Nos séculos 19 e 20, os cientistas fizeram grandes progressos neste último, estudando problemas envolvendo rugas em objetos específicos que estão sendo deformados. Os primeiros exemplos incluem o problema de forjar placas metálicas lisas e curvas para navios marítimos e tentar conectar a formação de montanhas ao aquecimento da crosta terrestre.
Mais recentemente, matemáticos e físicos expandiram o esforço para conectar teoria e observação a uma ampla gama de situações de enrugamento, geometrias e materiais. “Isso vem acontecendo nos últimos 10 anos, onde estamos fazendo experimentos primeiro e depois tentando encontrar a teoria para entendê-los”, disse o matemático Domingos Vella da Universidade de Oxford. “Só recentemente começamos a ter um entendimento adequado.”
Houve marcos emocionantes. Em 2015, Pedro Reis, engenheiro mecânico do Massachusetts Institute of Technology, leis físicas descritas para os padrões geométricos que se formam em bolas de silicone vazias. Seu trabalho conectou essas rugas à espessura das camadas internas e externas do material elástico. Reis também observou que as rugas, em vez de serem consideradas defeitos, podem oferecer oportunidades para projetar novos comportamentos mecânicos. Então, em 2017, Vella liderou a análise das instabilidades de enrugamento de um filme elástico fino sob pressão, caracterizando como o número de rugas mudava de acordo com a profundidade do puxão inicial e outros detalhes específicos.
Mas esses desenvolvimentos ainda resolveram apenas partes do problema. Para uma compreensão matemática mais geral de como as rugas se formam, era necessária uma abordagem diferente. Tobasco seria o único a avançar.
Seguindo a curiosidade
Quando era mais jovem, Tobasco pensou em se dedicar à engenharia aeroespacial. Ele se formou na Universidade de Michigan em 2011 com um diploma de bacharel na área, mas a essa altura ele já havia sido levado a pensar profundamente sobre raciocínio matemático e sistemas físicos. Ele obteve um doutorado em matemática, mas culpa Joey Paulsen, um físico agora na Syracuse University, por colocá-lo no caminho específico das rugas.
No início da carreira de Paulsen, quando estudava as propriedades de materiais incomuns, ele aprendeu a fabricar e analisar filmes de polímeros ultrafinos usando uma técnica chamada spin coating. Primeiro, ele criaria um material líquido especial contendo traços de polímero dissolvido; então ele colocava o material em um prato giratório. A maior parte do líquido evaporaria, enquanto o polímero se espalhava até uma espessura uniforme antes de solidificar. Uma vez que ele teve seu próprio laboratório em Syracuse, Paulsen aprendeu a adaptar o revestimento giratório para criar filmes curvos – como conchas de tartaruga ultrafinas.
Um dia, ele colocou alguns desses filmes curvos em cima de água parada e fotografou como eles se fixavam na superfície. “Foi puramente por curiosidade”, disse ele. As fotos chamaram a atenção de Tobasco em uma reunião informal com Paulsen em 2017.
"Eles mostraram que você pode obter esses padrões de rugas desordenados aleatórios - quando você fez o experimento duas vezes, você obteve dois padrões diferentes", disse Tobasco, que agora é professor assistente na Universidade de Illinois, Chicago. “Eu queria ver se eu poderia encontrar alguma maneira derivável [de prever esses padrões] da elasticidade, que incorporasse a forma da concha. E que o modelo não mudaria de casca para casca.”
Padrões de enrugamento são configurações com a menor energia possível. Ou seja, à medida que o filme fino se assenta sobre uma superfície plana, ele se metamorfoseia até encontrar o arranjo de rugas, desordenado ou não, que demanda menos energia para se manter. “Você pode organizar padrões pela quantidade de energia armazenada quando [o padrão] se manifesta”, disse Tobasco.
Guiado por esse princípio orientador, ele isolou algumas características do filme que provaram ser as que selecionam seu padrão, incluindo uma medida de sua forma chamada de curvatura gaussiana. Uma superfície com curvatura gaussiana positiva se dobra para longe de si mesma, como a parte externa de uma bola. Superfícies negativamente curvas, em contraste, são em forma de sela, como um chip Pringles: se você for em uma direção, você sobe, mas se for em uma direção diferente, desce.
Tobasco descobriu que áreas de curvatura gaussiana positiva produzem um tipo de arranjo de domínios ordenados e desordenados, e áreas com curvatura negativa produzem outros tipos. “A geometria detalhada não é tão importante”, disse Vella. “Isso realmente depende do sinal da curvatura gaussiana.”
Eles suspeitavam que a curvatura gaussiana era importante para o enrugamento, mas Vella disse que era uma surpresa que os domínios dependessem tanto do sinal. Além disso, a teoria de Tobasco também se aplica a um amplo espectro de materiais elásticos, não apenas às formas de Paulsen. “É uma bela construção geométrica que mostra onde as rugas vão aparecer”, disse Vella. “Mas entender de onde isso vem é muito profundo e meio surpreendente.”
Paulsen concordou. “O que a teoria de Ian faz muito bem é dar a você todo o padrão, tudo de uma vez.”
Rugas da vida real
No início de 2018, Tobasco tinha sua teoria praticamente resolvida – mas mesmo que funcionasse no papel, ele não podia ter certeza de que seria preciso no mundo real. Tobasco entrou em contato com Paulsen e perguntou se ele estaria interessado em colaborar. “Algo meio que funcionou imediatamente”, disse Paulsen. “Com algumas das previsões de Ian, colocadas em cima de fotos experimentais, pudemos ver imediatamente que elas se alinharam.”
Naquele ano, na Conferência da Sociedade de Matemática Industrial e Aplicada sobre Aspectos Matemáticos da Ciência dos Materiais, Tobasco foi apresentado a Eleni Katifori, um físico da Universidade da Pensilvânia que estava explorando o problema dos padrões de rugas em conchas confinadas e construindo um banco de dados de resultados. Foi um momento de serendipidade. “Podemos ver os domínios [nas simulações] que o trabalho de Ian explicou”, disse ela. A partida foi inusitada. Mesmo durante as primeiras discussões, ficou claro que a teoria de Tobasco, as imagens experimentais de Paulsen e as simulações de Katifori descreviam o mesmo fenômeno. “Mesmo nos estágios iniciais, quando não tínhamos nada concreto, podíamos ver a conexão.”
Essa excitação inicial rapidamente deu origem ao ceticismo. Parecia quase bom demais para ser verdade. “Ele é um matemático e faz todas essas coisas não dimensionais”, disse Paulsen, referindo-se a como as ideias de Tobasco sobre curvatura poderiam ser estendidas muito além de materiais planos bidimensionais. “Estamos realmente olhando para o mesmo sistema? Ele concorda, mas deveria ter concordado?”
Nos dois anos seguintes, os três pesquisadores analisaram os detalhes, mostrando que a teoria de Tobasco realmente previu – exatamente – o arranjo das rugas que Paulsen viu em seus experimentos e Katifori encontrou em seus modelos de computador. Em 25 de agosto, eles publicaram um artigo em Física da Natureza mostrando como as três abordagens convergem no mesmo e direto arranjo geométrico de rugas. Notavelmente, eles descobriram que os padrões se enquadram em famílias ordenadas de triângulos isósceles que demarcavam domínios de ordem e desordem. Além disso, os resultados não se limitam a abstrações matemáticas de materiais incrivelmente finos, mas abordam várias ordens de magnitude de espessura.
Seu trabalho também sugere oportunidades para expandir a teoria e suas aplicações. Katifori disse que, como física, ela está interessada em aproveitar as previsões para projetar novos materiais. “Quero entender como você pode projetar superfícies para que elas realmente auto-organizem os padrões de rugas em algo que você deseja.”
Outra questão em aberto é quão geralmente a teoria pode ser aplicada a diferentes tipos de superfícies curvas. “É muito focado em situações em que [a curvatura gaussiana] é positiva ou negativa, mas há muitas situações com algumas regiões que são positivas e outras negativas”, disse Vella.
Paulsen concordou que esta é uma possibilidade empolgante, e Tobasco disse que está trabalhando ativamente nessa área e considerando outras formas de conchas – como aquelas com buracos.
Mas Paulsen disse que a teoria, mesmo como está atualmente, é bonita e surpreendente. “Se eu lhe der uma concha e uma forma de limite e esse conjunto simples de regras que a teoria de Ian previu, você pode pegar uma bússola e uma régua e basicamente desenhar as rugas”, disse ele. “Não teria que acontecer dessa forma. Poderia ter sido totalmente horrível.”
