Introdução
Gina, a estudante de geometria, ficou acordada até tarde ontem à noite fazendo sua lição de casa enquanto assistia The Great British Bake Off, então, quando ela finalmente foi para a cama, sua mente sonolenta ainda estava cheia de cupcakes e bússolas. Isso levou a um sonho muito incomum.
Gina se tornou a juíza do Great Brownie Bake Off na Imaginary University, uma escola onde os alunos aprendem muita geometria, mas muito pouca aritmética. Equipes de alunos do Imaginary U tiveram a tarefa de fazer o maior brownie que pudessem, e coube a Gina determinar o vencedor.
A equipe Alpha foi a primeira a terminar e orgulhosamente apresentou seu brownie retangular para julgamento. Gina pegou uma régua e mediu o brownie: tinha 16 polegadas de comprimento e 9 polegadas de largura. A equipe Beta rapidamente seguiu com seu brownie quadrado, que media 12 polegadas de cada lado. Foi quando o problema começou.
“Nosso brownie é muito mais longo que o seu”, disse o capitão do Team Alpha. “O nosso é claramente maior, por isso somos os vencedores!”
“Mas o lado menor do seu retângulo é muito menor do que o lado do nosso quadrado”, disse um representante do Team Beta. “Nossa praça é claramente maior. Nós ganhamos!"
Gina achou estranho estar discutindo sobre isso. “A área do brownie retangular é 9 vezes 16, que é 144 polegadas quadradas”, disse ela. “A área do brownie quadrado é 12 vezes 12, que também é 144 polegadas quadradas. Os brownies são do mesmo tamanho: é uma gravata.”
Ambas as equipes pareciam confusas. “Não entendo o que você quer dizer com 'tempos'”, disse um aluno, que nunca havia aprendido multiplicação. “Nem eu”, disse outro. Um terceiro disse: “Ouvi falar que os alunos do Complex College mediram a área usando números uma vez, mas o que isso significa?” A Universidade Imaginária era realmente um lugar estranho, mesmo em sonhos.
O que Gina deveria fazer? Como ela poderia convencer as equipes de que seus brownies eram do mesmo tamanho se não entendiam como medir área e multiplicar números? Felizmente, Gina teve uma ideia genial. “Me dê uma faca,” ela disse.
Gina mediu 12 polegadas no lado comprido do brownie retangular e fez um corte paralelo ao lado curto. Isso transformou o retângulo grande em dois menores: um medindo 9 por 12 e o outro 9 por 4. Com três cortes rápidos, ela transformou a peça de 9 por 4 em três peças menores de 3 por 4. Um pouco de reorganização resultou em oohs e aahs audíveis da multidão: Gina havia transformado o retângulo em uma réplica exata do quadrado.
Ambas as equipes agora tinham que concordar que seus brownies eram do mesmo tamanho. Ao dissecar um e reorganizá-lo para formar o outro, Gina mostrou que os dois brownies ocupavam a mesma área total. Dissecações como esta têm sido usadas em geometria por milhares de anos para mostrar que as figuras são do mesmo tamanho, e há muitos resultados notáveis sobre dissecações e equivalências. Ainda hoje, os matemáticos ainda usam dissecação e rearranjo para entender completamente quando certas formas são equivalentes, levando a alguns resultados recentes surpreendentes.
Você provavelmente já viu dissecações geométricas na aula de matemática ao desenvolver as fórmulas de área para formas básicas. Por exemplo, você deve se lembrar que a área de um paralelogramo é igual ao comprimento de sua base vezes sua altura: isso ocorre porque um paralelogramo pode ser dissecado e reorganizado em um retângulo.
Esta dissecação mostra que a área do paralelogramo é igual à área de um retângulo com a mesma base e altura, que, como sabe quem não frequentou a Universidade Imaginária, é o produto daqueles dois números.
Falando em Imaginary U, o Great Brownie Bake Off estava esquentando. A equipe Gamma se aproximou com um grande brownie triangular. “Aqui está o vencedor”, eles anunciaram corajosamente. “Ambos os nossos lados são muito mais longos do que os outros.”
Gina mediu os lados. “Isso também tem a mesma área!” ela exclamou. “Este é um triângulo retângulo, e as pernas medem 18 e 16, então a área é...” Gina parou por um momento, notando os olhares perplexos no rosto de todos. “Ah, não importa. Apenas me dê a faca.
Gina habilmente cortou do ponto médio da hipotenusa até o ponto médio da perna mais longa, depois girou o triângulo recém-formado de modo que formasse um retângulo perfeito quando encaixado na peça maior.
“Esse é exatamente o nosso brownie!” gritou Equipe Alfa. Com certeza, o retângulo resultante tinha 9 por 16: exatamente o mesmo tamanho que o deles.
A Equipe Beta tinha suas dúvidas. “Mas como esse triângulo se compara ao nosso quadrado?” perguntou o líder da equipe.
Gina estava pronta para isso. “Já sabemos que o retângulo e o quadrado têm o mesmo tamanho, então, por transitividade, o triângulo e o quadrado têm o mesmo tamanho.” A transitividade é uma das propriedades mais importantes da igualdade: ela diz que se a = b e b = c, Em seguida a = c. Gina continuou: “Se a área do primeiro brownie for igual à área do segundo e a área do segundo brownie for igual à área do terceiro, o primeiro e o terceiro brownies devem ter áreas iguais também”.
Mas Gina estava se divertindo demais com dissecações para parar por aí. “Ou poderíamos apenas fazer mais alguns cortes.”
Primeiro Gina girou o retângulo que antes era um triângulo. Em seguida, ela cortou usando exatamente o mesmo padrão que havia usado no retângulo do Team Alpha.
Então ela mostrou como esta nova dissecação do triângulo do Team Gamma poderia ser transformada no quadrado do Team Beta, exatamente como ela havia feito com o retângulo do Team Alpha.
Nesta situação, dizemos que o triângulo e o quadrado são “tesouras congruentes”: você pode imaginar usar uma tesoura para cortar uma figura em um número finito de pedaços que podem então ser rearranjados para formar o outro. No caso do triângulo e do quadrado, os brownies mostram exatamente como funciona essa congruência da tesoura.
Observe que o padrão funciona em qualquer direção: pode ser usado para transformar o triângulo no quadrado ou o quadrado no triângulo. Em outras palavras, a congruência da tesoura é simétrica: se a forma A é uma tesoura congruente com a forma B, então a forma B também é uma tesoura congruente com a forma A.
De fato, o argumento acima envolvendo o triângulo, o retângulo e o quadrado mostra que a congruência em tesoura também é transitiva. Como o triângulo é uma tesoura congruente ao retângulo e o retângulo é uma tesoura congruente ao quadrado, o triângulo é uma tesoura congruente ao quadrado. A prova está nos moldes: Basta sobrepô-los na forma intermediária, como foi feito com o retângulo acima.
Se você cortar o triângulo em pedaços que formam o retângulo e depois cortar o retângulo em pedaços que formam o quadrado, os pedaços resultantes podem ser usados para formar qualquer uma das três formas.
O fato de a congruência em tesoura ser transitiva está no cerne de um resultado surpreendente: se dois polígonos têm a mesma área, eles são congruentes em tesoura. Isso significa que, dados quaisquer dois polígonos com a mesma área, você sempre pode cortar um em um número finito de pedaços e reorganizá-los para formar o outro.
A prova deste notável teorema também é notavelmente direta. Primeiro, corte cada polígono em triângulos.
Em segundo lugar, transforme cada triângulo em um retângulo, semelhante a como Gina reorganizou o brownie triangular.
Agora vem a parte técnica complicada: transforme cada retângulo em um novo retângulo com uma unidade de largura.
Para fazer isso, comece cortando pedaços do retângulo com uma unidade de largura.
Se você puder cortar o retângulo em um número inteiro de pedaços de largura 1, está feito: basta empilhá-los uns sobre os outros. Caso contrário, pare de cortar quando a última peça tiver entre 1 e 2 unidades de largura e empilhe o restante umas sobre as outras.
Não se preocupe se o retângulo em si tiver menos de 1 unidade de largura: basta cortá-lo ao meio e usar as duas partes para fazer um novo retângulo com o dobro do comprimento e metade da espessura. Repita conforme necessário até obter um retângulo entre 1 e 2 unidades de largura.
Agora imagine que este retângulo final tem altura h e largura w, com 1 w < 2. Vamos cortar esse retângulo e reorganizá-lo em um retângulo com largura 1 e altura h × w. Para fazer isso, sobreponha o h × w retângulo com o desejado hw × 1 retângulo como este.
Em seguida, corte de canto a canto ao longo da linha pontilhada e corte o pequeno triângulo no canto inferior direito seguindo a borda direita do hw × 1 retângulo.
Isso corta o h × w retângulo em três partes que podem ser reorganizadas em um hw × 1 retângulo. (Justificar esta dissecação final requer alguns argumentos inteligentes envolvendo triângulos semelhantes. Veja os exercícios abaixo para os detalhes.)
Finalmente, coloque este último retângulo no topo da pilha e você transformou este polígono com sucesso – na verdade, qualquer polígono – em um retângulo de largura 1.
Agora, se a área do polígono original fosse A, então a altura deste retângulo deve ser A, então todo polígono com área A é uma tesoura congruente a um retângulo com largura 1 e altura A. Isso significa que se dois polígonos têm área A, então ambas são tesouras congruentes ao mesmo retângulo, então por transitividade elas são tesouras congruentes entre si. Isso mostra que todo polígono com área A é uma tesoura congruente a todos os outros polígonos com área A.
Mas mesmo esse resultado poderoso não foi suficiente para concluir com sucesso o julgamento do Brownie Bake Off da Imaginary University. Ainda havia uma entrada restante e ninguém ficou surpreso com o que o Team Pi apareceu.
No momento em que Gina viu aquele círculo chegando, ela acordou de seu sonho suando frio. Ela sabia que era impossível cortar um círculo em um número finito de pedaços e reorganizá-los para formar um quadrado, um retângulo ou qualquer polígono. Em 1964 os matemáticos Lester Dubins, Morris Hirsch e Jack Karush provaram que um círculo não é uma tesoura congruente com nenhum polígono. O sonho de Gina se transformou em um pesadelo geométrico.
Mas, como sempre parecem fazer, os matemáticos transformaram esse obstáculo em uma nova matemática. Em 1990, Miklós Laczkovich provou que é possível cortar um círculo e reorganizá-lo em um quadrado, desde que você possa usar peças infinitamente pequenas, infinitamente desconectadas e infinitamente irregulares que não poderiam ser produzidas com uma tesoura.
Por mais surpreendente e empolgante que tenha sido o resultado de Laczkovich, ele apenas provou que tal decomposição é teoricamente possível. Não explicava como construir as peças, apenas que elas poderiam existir. Foi aí que entraram Andras Máthé, Oleg Pikhurko e Jonathan Noel: no início de 2022 eles postou um papel em que igualaram o feito de Laczkovich, mas com peças que podem ser visualizadas.
Infelizmente, você não poderá usar o resultado para resolver qualquer problema de brownie. Tesoura sozinha não pode produzir o 10200 peças necessárias na sua decomposição. Mas é mais um passo adiante para responder a uma longa linha de perguntas que começaram quando Arquimedes inventou ou descobriu o $latex pi$. E isso nos mantém avançando na direção de inventar, ou descobrir, uma nova matemática com a qual as gerações anteriores não poderiam sonhar.
Exercícios
1. Explique como sabemos que na derivação da fórmula da área para um paralelogramo, o triângulo que cortamos se encaixa perfeitamente no espaço do outro lado do paralelogramo.
2. Explique por que qualquer triângulo pode ser dividido em um retângulo.
Para os exercícios 3 e 4, considere o diagrama usado para mostrar que uma h × w retângulo é uma tesoura congruente a um hw × 1 retângulo, com pontos rotulados.
3. Explique por que $triângulo de látex$ XYQ é semelhante a $latextriangle$ ABX. O que isso faz do comprimento de QY?
4. Explique por que $triângulo de látex$ PCX é congruente ao $triângulo de látex$ AZQ.
Clique para ver a resposta 1:
Há muitas maneiras de mostrar que os dois triângulos são congruentes. Uma maneira é notar que a distância entre linhas paralelas é constante, então os dois triângulos retângulos têm um par de pernas congruentes.
E em um paralelogramo, os lados opostos são congruentes, o que torna os dois triângulos congruentes pelo teorema da congruência do triângulo hipotenusa-cateto. Você também pode fazer um argumento usando o teorema da congruência do triângulo ângulo-lado-ângulo.
Clique para ver a resposta 2:
Um dos grandes resultados elementares na geometria do triângulo é o teorema do segmento médio do triângulo: se você conectar os pontos médios de dois lados de um triângulo, o segmento de linha resultante é paralelo e tem metade do comprimento do terceiro lado.
Como o segmento é paralelo ao terceiro lado, os ângulos 1 e 3 são ângulos correspondentes congruentes. E os ângulos 1 e 2 são ângulos internos do mesmo lado, então eles são suplementares, o que significa que suas medidas somam 180 graus. Como $latexangle$ 1 é congruente a $latexangle$ 3, isso significa que os ângulos 3 e 2 também são suplementares.
Assim, quando você virar o triângulo de cima para a direita, os lados congruentes se encaixarão perfeitamente e os ângulos 2 e 3 formarão uma linha reta.
Isso transforma o triângulo em um paralelogramo, que, como já sabemos, pode ser transformado em um retângulo.
Clique para ver a resposta 3:
Como BXYZ é um retângulo, ambos $latexangle$ ZBC e $látexângulo$ ZYX são ângulos retos. E como os lados opostos de um retângulo são paralelos, isso torna $latexangle$ YQX congruente com $latexangle$ AXB, pois são ângulos alternos internos. Assim $latextriângulo$ XYQ é semelhante a $latextriangle$ ABX por semelhança ângulo-ângulo. Em triângulos semelhantes, os lados são proporcionais, então $latex frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$. Assim, $latex frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$, e assim QY = 1. Observe que, como $latexangle$ ADC é um ângulo reto e $latex angle$ DAP e $ângulo de látex$ YQX são ângulos correspondentes congruentes, isso faz $ triângulo de látex $ DAP congruente com $latextriangle$ YQX. Isso prova que você pode deslizar $latextriangle$ YQX no lugar atualmente ocupado por $latextriangle$ DAP, como é necessário no argumento da congruência da tesoura.
Clique para ver a resposta 4:
Observe que $latex angle$ AZQ e $látexângulo$ PCX são ambos ângulos retos e, portanto, congruentes. Usando propriedades de linhas paralelas como no exercício 3, também podemos ver que $latex angle$ AQZ e $ângulo de látex$ PXC são ângulos correspondentes congruentes. Também no exercício 3, mostramos que QY = 1. Isso torna QZ = w − 1, que é exatamente o que CX é igual a. Assim, $triângulo de látex$ PCX é congruente ao $triângulo de látex$ AZQ pela congruência do triângulo ângulo-lado-ângulo. Isso justifica a outra parte do argumento de que uma h × w retângulo é uma tesoura congruente a um hw × 1 retângulo.
