Introdução
A teoria dos nós começou como uma tentativa de entender a composição fundamental do universo. Em 1867, quando os cientistas tentavam avidamente descobrir o que poderia explicar todos os diferentes tipos de matéria, o matemático e físico escocês Peter Guthrie Tait mostrou a seu amigo e compatriota Sir William Thomson seu dispositivo para gerar anéis de fumaça. Thomson - que mais tarde se tornaria Lord Kelvin (homônimo da escala de temperatura) - foi cativado pelas formas sedutoras dos anéis, sua estabilidade e suas interações. Sua inspiração o levou a uma direção surpreendente: talvez, pensou ele, assim como os anéis de fumaça fossem vórtices no ar, os átomos fossem anéis de vórtices no éter luminífero, um meio invisível através do qual, acreditavam os físicos, a luz se propagava.
Embora essa ideia da era vitoriana possa agora parecer ridícula, não foi uma investigação frívola. Essa teoria do vórtice tinha muito a recomendá-la: a grande diversidade de nós, cada um ligeiramente diferente, parecia espelhar as diferentes propriedades dos muitos elementos químicos. A estabilidade dos anéis de vórtice também pode fornecer a permanência que os átomos exigem.
A teoria do vórtice ganhou força na comunidade científica e inspirou Tait a começar a tabular todos os nós, criando o que ele esperava ser equivalente a uma tabela de elementos. Claro, os átomos não são nós, e não há éter. No final da década de 1880, Thomson estava abandonando gradualmente sua teoria do vórtice, mas então Tait foi cativado pela elegância matemática de seus nós e continuou seu projeto de tabulação. No processo, ele estabeleceu o campo matemático da teoria dos nós.
Todos nós estamos familiarizados com nós - eles mantêm os sapatos em nossos pés, barcos presos às docas e alpinistas nas rochas abaixo. Mas esses nós não são exatamente o que os matemáticos (incluindo Tait) chamariam de nó. Embora um fio de extensão emaranhado possa parecer atado, sempre é possível desembaraçá-lo. Para obter um nó matemático, você deve conectar as extremidades livres do fio para formar um laço fechado.
Como os fios de um nó são flexíveis como uma corda, os matemáticos veem a teoria dos nós como um subcampo de topologia, o estudo de formas maleáveis. Às vezes é possível desembaraçar um nó para que ele se torne um círculo simples, que chamamos de “nó”. Mas, mais frequentemente, desembaraçar um nó é impossível.
Os nós também podem se combinar para formar novos nós. Por exemplo, combinar um nó simples conhecido como trevo com sua imagem espelhada produz um nó quadrado. (E se você juntar dois nós de trevo idênticos, você faz um nó de vovó.)
Usando terminologia do mundo dos números, os matemáticos dizem que o trevo é um nó primo, o nó quadrado é composto e, como o número 1, o nó não é nenhum dos dois. Essa analogia foi reforçada em 1949, quando Horst Schubert provou que todo nó é primo ou pode ser decomposto exclusivamente em nós primos.
Outra maneira de criar novos nós é entrelaçar dois ou mais nós, formando um elo. Os anéis Borromeu, assim chamados porque aparecem no brasão da Casa Italiana de Borromeo, são um exemplo simples.
Thomson e Tate não foram os primeiros a ver os nós de forma matemática. Já em 1794, Carl Friedrich Gauss escreveu e desenhou exemplos de nós em seu caderno pessoal. E o aluno de Gauss, Johann Listing, escreveu sobre nós em sua monografia de 1847 Estudo de topologia (“Estudos Preliminares de Topologia”) — que também é a origem do termo topologia.
Mas Tait foi o primeiro estudioso a trabalhar no que se tornou o problema fundamental da teoria dos nós: a classificação e tabulação de todos os nós possíveis. Através de anos de trabalho árduo usando apenas sua intuição geométrica, ele encontrou e classificou todos os nós primos que, quando projetados em um plano, têm no máximo sete cruzamentos.
No final do século 19, Tait descobriu que duas outras pessoas – o reverendo Thomas Kirkman e o matemático americano Charles Little – também estavam estudando esse problema. Com seus esforços combinados, eles classificaram todos os nós primos com até 10 cruzamentos e muitos deles com 11 cruzamentos. Surpreendentemente, suas mesas até 10 estavam completas: eles não perderam nenhum nó.
É notável que Tait, Kirkman e Little tenham conseguido tanto sem os teoremas e técnicas que seriam descobertos nos próximos anos. Mas uma coisa que funcionou a seu favor foi o fato de que a maioria dos pequenos nós são “alternados”, o que significa que eles têm uma projeção na qual os cruzamentos exibem um padrão consistente de sobre-sob-sobre-abaixo.
Nós alternados têm propriedades que os tornam mais fáceis de classificar do que nós não alternados. Por exemplo, encontrar o número mínimo de cruzamentos para qualquer projeção de um nó é difícil. Mas Tait, que durante anos assumiu erroneamente que todos os nós eram alternados, conjeturou uma maneira de saber se você encontrou esse número mínimo: se uma projeção alternada não tem cruzamentos que possam ser removidos virando parte do nó, então deve ser a projeção com o número mínimo de cruzamentos.
Esta e mais duas conjecturas de Tait sobre nós alternados acabaram sendo verdadeiras. No entanto, essas famosas conjecturas não foram provadas até o final dos anos 1980 e início dos anos 90 usando uma ferramenta matemática desenvolvida em 1984 por Vaughan Jones, que ganhou a Medalha Fields por seu trabalho na teoria dos nós.
Infelizmente, nós alternados só levam você até certo ponto. Uma vez que entramos em nós com oito ou mais cruzamentos, o número de nós não alternados cresce rapidamente, tornando as técnicas de Tait menos úteis.
A tabela original de todos os 10 nós cruzados estava completa, mas Tait, Kirkman e Little contaram duas vezes. Foi só na década de 1970 que Kenneth Perko, um advogado que estudou a teoria dos nós em Princeton, percebeu que dois dos nós são imagens espelhadas um do outro. Eles agora são conhecidos como o par Perko em sua homenagem.
Ao longo do século passado, os matemáticos encontraram muitas maneiras inteligentes de determinar se os nós são realmente diferentes. Essencialmente, a ideia é identificar um invariante — uma propriedade, quantidade ou entidade algébrica que está associada ao nó e muitas vezes pode ser calculada de forma simples. (Essas propriedades têm nomes como colorabilidade, número da ponte ou contorção.) Armados com esses rótulos, os matemáticos agora podem facilmente comparar dois nós: se eles diferem em qualquer atributo, então eles não são o mesmo nó. Nenhuma dessas propriedades, no entanto, é o que os matemáticos chamam de invariante completo, o que significa que dois nós diferentes podem ter a mesma propriedade.
Por causa de toda essa complexidade, pode não ser surpresa que a tabulação dos nós ainda esteja em andamento. Mais recentemente, em 2020, Benjamin Burton classificou todos os nós primos até 19 cruzamentos (dos quais são quase 300 milhões).
A teoria tradicional dos nós só faz sentido em três dimensões: em duas dimensões apenas o nó é possível, e em quatro dimensões o espaço extra permite que os nós se desamarrem, então cada nó é o mesmo que o nó.
No entanto, no espaço quadridimensional, podemos dar nó em esferas. Para ter uma noção do que isso significa, imagine fatiar uma esfera comum em intervalos regulares. Isso produz círculos, como linhas de latitude. No entanto, se tivéssemos uma dimensão extra, poderíamos dar um nó na esfera para que as fatias, agora tridimensionais em vez de duas, pudessem ser nós.
Essa ideia estava por trás de um dos maiores resultados recentes da teoria dos nós. Em 2018, a então estudante de pós-graduação Lisa Piccirillo resolveu uma questão de 50 anos sobre um nó de 11 cruzamentos descoberto por John Conway. A questão tinha a ver com uma propriedade chamada sliceness. Como vimos, quando fatiamos uma esfera com nós em quatro dimensões, obtemos um nó ou elo em três dimensões. Às vezes, podemos obter um dado nó de uma esfera bem atada, mas para outros nós a esfera tem que ser atada e enrugada como um pedaço de papel. Piccirillo provou, em essência, que o nó de Conway era do último tipo. No jargão técnico, ela provou que não é “fatia suave”.
A teoria dos nós cruzou a paisagem matemática ao longo dos séculos. Começou como uma área aplicada da matemática, com Thomson tentando usar nós para entender a composição da matéria. À medida que essa ideia se desvaneceu, tornou-se uma área de matemática pura, um ramo do domínio intrigante e ainda pouco prático da topologia. Mas nos últimos anos a teoria dos nós tornou-se novamente uma área aplicada da matemática, pois os cientistas usam ideias da teoria dos nós para investigar dinâmica de fluidos, eletrodinâmica, moléculas com nós, como DNA e assim por diante. Felizmente, enquanto os cientistas estavam ocupados estudando outras coisas, os matemáticos construíam catálogos de nós e as ferramentas para desvendar seus segredos.
