Un secol mai târziu, o nouă matematică netezește relativitatea generală | Revista Quanta

Teoria generală a relativității a lui Albert Einstein a avut un succes extraordinar în a descrie modul în care funcționează gravitația și cum modelează structura pe scară largă a universului. Este rezumat într-o vorbă a fizicianului John Wheeler: „Spațiul-timp spune materiei cum să se miște; materia spune spațiu-timp cum să se curbeze.” Cu toate acestea, matematica relativității generale este, de asemenea, profund contraintuitivă.

Deoarece ecuațiile sale de bază sunt atât de complicate, chiar și cele mai simple afirmații care sună sunt greu de demonstrat. De exemplu, abia în 1980, matematicienii au demonstrat, ca parte a unei teoreme majore a relativității generale, că un sistem fizic izolat, sau spațiu, fără nicio masă în el, trebuie să fie plat.

Acest lucru a lăsat nerezolvată întrebarea cum arată un spațiu dacă este aproape un vid, având doar o cantitate mică de masă. Este neapărat aproape plat?

Deși ar putea părea evident că o masă mai mică ar duce la o curbură mai mică, lucrurile nu sunt atât de tăiate și uscate când vine vorba de relativitatea generală. Conform teoriei, concentrațiile dense de materie pot „deforma” o porțiune a spațiului, făcându-l foarte curbat. În unele cazuri, această curbură poate fi extremă, ducând posibil la formarea de găuri negre. Acest lucru se poate întâmpla chiar și într-un spațiu cu cantități mici de materie, dacă este suficient de puternic concentrat.

Într-un recent hârtie, Conghan Dong, un student absolvent la Universitatea Stony Brook și Antoine Song, profesor asistent la Institutul de Tehnologie din California, a demonstrat că o secvență de spații curbe cu cantități din ce în ce mai mici de masă va converge în cele din urmă către un spațiu plat cu curbură zero.

Acest rezultat este un progres demn de remarcat în explorarea matematică a relativității generale - o activitate care continuă să plătească dividende la mai mult de un secol după ce Einstein și-a conceput teoria. Dan Lee, un matematician de la Queens College care studiază matematica relativității generale, dar nu a fost implicat în această cercetare, a spus că dovada lui Dong și Song reflectă o înțelegere profundă a modului în care curbura și masa interacționează.

Ceea ce au dovedit

Dovada lui Dong și Song se referă la spații tridimensionale, dar mai întâi luați în considerare un exemplu bidimensional de dragul ilustrației. Imaginează-ți un spațiu plat fără masă ca pe o foaie de hârtie obișnuită și netedă. Un spațiu cu masă mică, în acest caz, ar putea arăta similar de la distanță - adică în mare parte plat. Cu toate acestea, o inspecție mai atentă ar putea dezvălui niște vârfuri ascuțite sau bule care apar ici și colo - consecințe ale grupării materiei. Aceste aflorințe aleatorii ar face hârtia să semene cu un gazon bine întreținut, cu ciuperci sau tulpini ocazionale ieșind de la suprafață.

Dong și Song au dovedit a presupunere care a fost formulat în 2001 de către matematicieni Gerhard Huisken și Tom Ilmanen. Conjectura afirmă că, pe măsură ce masa unui spațiu se apropie de zero, la fel trebuie să se facă și curbura acestuia. Huisken și Ilmanen au recunoscut, totuși, că acest scenariu este complicat de prezența bulelor și a vârfurilor (care sunt distincte matematic unele de altele). Ei au emis ipoteza că bulele și vârfurile ar putea fi tăiate în așa fel încât zona de limite lăsată în urmă pe suprafața spațiului de fiecare excizie să fie mică. Ei au sugerat, dar nu au putut dovedi, că spațiul care a rămas după îndepărtarea acestor anexe supărătoare ar fi aproape plat. De asemenea, nu erau siguri cum ar trebui făcute astfel de reduceri.

„Aceste întrebări au fost dificile și nu mă așteptam să văd o soluție la conjectura Huisken-Ilmanen”, a spus Lee.

În centrul conjecturii se află o măsurare a curburii. Spațiul se poate curba în moduri diferite, în cantități diferite și în direcții diferite - ca o șa (în două dimensiuni) care se curbează în sus mergând înainte și înapoi, dar în jos mergând spre stânga și dreapta. Dong și Song ignoră aceste detalii. Folosesc un concept numit curbură scalară, care reprezintă curbura ca un singur număr care rezumă curbura completă în toate direcțiile.

Noua lucrare a lui Dong și Song, a spus Daniel Stern de la Universitatea Cornell, este „unul dintre cele mai puternice rezultate pe care le avem până acum, care ne arată cum curbura scalară controlează [geometria]” spațiului în ansamblu. Lucrarea lor ilustrează că „dacă avem curbură scalară nenegativă și masă mică, înțelegem foarte bine structura spațiului”.

Dovada

Conjectura Huisken-Ilmanen se referă la geometria spațiilor cu masă în scădere constantă. Acesta prescrie o metodă specifică pentru a spune cât de aproape este un spațiu cu masă mică de spațiul plat. Această măsură se numește distanța Gromov-Hausdorff, numită după matematicieni Mihail Gromov și Felix Hausdorff. Calcularea distanței Gromov-Hausdorff este un proces în două etape.

Primul pas este să găsiți distanța Hausdorff. Să presupunem că aveți două cercuri, A și B. Începeți cu orice punct de pe A și aflați cât de departe este de cel mai apropiat punct de pe B.

Repetați acest lucru pentru fiecare punct de pe A. Cea mai mare distanță pe care o găsiți este distanța Hausdorff dintre cercuri.

Odată ce ai distanța Hausdorff, poți calcula distanța Gromov-Hausdorff. Pentru a face acest lucru, plasați obiectele într-un spațiu mai mare, astfel încât să minimizați distanța Hausdorff dintre ele. În cazul a două cercuri identice, deoarece le-ați putea pune literalmente unul peste altul, distanța Gromov-Hausdorff dintre ele este zero. Obiectele identice din punct de vedere geometric ca acestea sunt numite „izometrice”.

Măsurarea distanței este mai dificilă, desigur, atunci când obiectele sau spațiile comparate sunt asemănătoare, dar nu la fel. Distanța Gromov-Hausdorff oferă o măsură precisă a asemănărilor (sau diferențelor) dintre formele a două obiecte care se află inițial în spații diferite. „Distanța Gromov-Hausdorff este una dintre cele mai bune moduri pe care le avem de a spune că două spații sunt aproape izometrice și dă un număr la acel „aproape””, a spus Stern.

Înainte ca Dong și Song să poată face comparații între un spațiu cu o masă mică și un spațiu care este perfect plat, au trebuit să taie protuberanțe neplăcute - vârfurile înguste în care materia este strâns strâns și bule chiar mai dense care pot adăposti mici găuri negre. „Le-am tăiat astfel încât zona de delimitare [unde a fost făcută felia] să fie mică”, a spus Song, „și am arătat că zona devine mai mică pe măsură ce masa coboară”.

Deși acea tactică ar putea suna ca o înșelăciune, Stern a spus că este permis, pentru a demonstra conjectura, să se facă un fel de pre-procesare prin tăierea bulelor și a vârfurilor a căror zonă se micșorează la zero pe măsură ce masa scade.

Ca proxy pentru un spațiu cu masă mică, a sugerat el, ne-am putea imagina o foaie de hârtie mototolită care, după ce a fost netezită din nou, are încă cute și pliuri ascuțite. Puteți folosi un perforator pentru a elimina cele mai proeminente nereguli, lăsând o bucată de hârtie ușor neuniformă cu câteva găuri în ea. Pe măsură ce dimensiunea acestor găuri se micșorează, la fel se va reduce denivelarea terenului hârtiei. La limită, ați putea spune, găurile s-ar micșora la zero, movilele și crestele ar dispărea și veți rămâne cu o bucată de hârtie uniform netedă - un adevărat substitut pentru spațiul plat.

Asta au încercat să demonstreze Dong și Song. Următorul pas a fost să vedem cum aceste spații dezintegrate - scăpate de trăsăturile lor aspre - s-au comparat cu standardul de planeitate totală. Strategia pe care au urmat-o a folosit un tip special de hartă, care este o modalitate de a compara două spații prin asocierea punctelor dintr-un spațiu cu puncte din altul. Harta pe care au folosit-o a fost elaborată în a hârtie scris de Stern și trei colegi — Hubert Bray, Demetre Kazaras și Marcus Khuri. Această procedură poate explica exact cât de aproape sunt două spații.

Pentru a-și simplifica sarcina, Dong și Song au adoptat un alt truc matematic de la Stern și coautorii săi, care a arătat că un spațiu tridimensional poate fi împărțit în infinit de multe felii bidimensionale numite seturi de niveluri, la fel ca un ou fiert tare. să fie segmentate în foi înguste de firele întinse ale unei mașini de tăiat ouă.

Seturile de niveluri moștenesc curbura spațiului tridimensional pe care îl cuprind. Concentrându-și atenția pe seturile de niveluri, mai degrabă decât pe spațiul tridimensional mai mare, Dong și Song au reușit să reducă dimensionalitatea problemei de la trei la două. Acest lucru este foarte benefic, a spus Song, pentru că „știm multe despre obiectele bidimensionale... și avem o mulțime de instrumente pentru a le studia”.

Dacă ar putea demonstra cu succes că fiecare set de niveluri este „un fel de plat”, a spus Song, acest lucru le-ar permite să-și atingă obiectivul general de a arăta că un spațiu tridimensional cu masă mică este aproape de plat. Din fericire, această strategie a dat rezultate.

Pasii urmatori

Privind în perspectivă, Song a spus că una dintre următoarele provocări ale domeniului este de a face dovada mai explicită prin stabilirea unei proceduri precise pentru a scăpa de bule și vârfuri și de a descrie mai bine regiunile care au fost tăiate. Dar pentru moment, a recunoscut el, „nu avem o strategie clară pentru a realiza asta”.

 O altă cale promițătoare, a spus Song, ar fi explorarea a conjectura separata care a fost formulat în 2011 de Lee și Christina Sormani, matematician la Universitatea City din New York. Conjectura Lee-Sormani pune o întrebare similară cu cea pusă de Huisken și Ilmanen, dar se bazează pe un mod diferit de a măsura diferența dintre forme. În loc să ia în considerare distanța maximă dintre două forme, așa cum o face distanța Gromov-Hausdorff, abordarea Lee-Sormani întreabă despre volumul spațiului între ele. Cu cât volumul este mai mic, cu atât sunt mai aproape.

Song, între timp, speră să analizeze întrebările de bază despre curbura scalară care nu sunt motivate de fizică. „În relativitatea generală”, a spus el, „ne ocupăm de spații foarte speciale care sunt aproape plate la infinit, dar în geometrie ne pasă de tot felul de spații.”

„Există speranța că aceste tehnici ar putea fi de valoare în alte situații” fără legătură cu relativitatea generală, a spus Stern. „Există o familie mare de probleme conexe”, a spus el, care așteaptă să fie explorate.

Cuante efectuează o serie de sondaje pentru a servi mai bine publicul nostru. Ia-ne sondaj pentru cititorii de matematică și vei fi înscris pentru a câștiga gratuit Cuante Merch.