La începutul anilor 1950, un grup de cercetători de la Institutul pentru Studii Avansate s-a angajat într-un proiect de înaltă tehnologie. La cerere al lui John von Neumann și Herman Goldstine, fizicianul Hedvig Selberg a programat computerul IAS cu 1,700 de tuburi vid pentru a calcula sume matematice curioase ale căror origini se întind încă din secolul al XVIII-lea.
Sumele erau legate de sumele pătratice Gauss, numite după faimosul matematician Carl Friedrich Gauss. Gauss ar alege un număr prim p, apoi însumați numerele de forma $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$. De la începuturile lor, sumele Gauss pătratice s-au dovedit neprețuite pentru sarcini precum numărarea soluțiilor pentru anumite tipuri de ecuații. „Se pare că sumele Gauss sunt magice, că fac lucruri minunate pentru că Dumnezeu știe ce motiv”, a spus Jeffrey Hoffstein, matematician la Universitatea Brown.
La mijlocul secolului al XIX-lea, matematicianul german Ernst Eduard Kummer se juca cu o rudă apropiată cu aceste sume Gauss pătratice, unde n2 în exponent se înlocuiește cu un n3. Kummer a observat că ei aveau tendința de a colecta aproape anumite valori într-un grad surprinzător - o observație ascuțită care ar duce la secole de cercetare în teoria numerelor.
Dacă sumele Gauss cubice nu sunt prelucrate într-o formulă mai simplă, valorile lor sunt greu de dedut. Lipsit de o astfel de formulă, Kummer a început să calculeze sume Gauss cubice - și să calculeze și să calculeze. „Pe atunci era foarte obișnuit ca ei să facă astfel de calcule eroice manual”, a spus Matthew Young, matematician la Universitatea Texas A&M. După ce a analizat 45 de sume, corespunzătoare primelor 45 de numere prime netriviale, Kummer a renunțat în cele din urmă.
Analizându-și rezultatele, Kummer a observat ceva interesant. În teorie, sumele ar putea fi orice între -1 și 1 (după ce au fost „normalizate” - împărțite la o constantă adecvată). Dar când a făcut calculele, a descoperit că acestea erau distribuite într-un mod ciudat. Jumătate dintre rezultate au fost între ½ și 1, iar doar o șase dintre ele au fost între -1 și -½. Păreau să se grupeze în jurul 1.
Kummer și-a expus observațiile, împreună cu o presupunere: dacă ați reuși cumva să reprezentați toate infinitele sume cubice Gauss, le-ați vedea pe majoritatea între ½ și 1; mai puține între −½ și ½; și încă mai puțin între −1 și −½.
Selberg, von Neumann și Goldstine și-au propus să testeze acest lucru pe computerul lor timpuriu. Selberg l-a programat pentru a calcula sumele Gauss cubice pentru toate numerele prime netriviale mai mici de 10,000 - aproximativ 600 de sume în total. (Goldstine și von Neumann au continuat să fie autorul lucrării; contribuțiile ei ar ajunge să fie relegate la o linie de recunoaștere la sfârșit.) Ei au descoperit că, pe măsură ce numerele prime deveneau mai mari, sumele normalizate au devenit mai puțin înclinate să se grupeze lângă 1. dovezi convingătoare că conjectura lui Kummer era greșită, matematicienii au început să încerce să înțeleagă sumele cubice Gauss într-un mod mai profund, care a depășit simpla calcul.
Acest proces este acum finalizat. În 1978, matematicianul Samuel Patterson a aventurat o soluție la misterul matematic al lui Kummer, dar nu a putut să o demonstreze. Apoi, în toamna anului trecut, doi matematicieni de la Institutul de Tehnologie din California au dovedit conjectura lui Patterson, oferind în cele din urmă închiderea gândurilor lui Kummer din 1846.
Patterson a devenit pentru prima dată captivat de problemă ca student absolvent la Universitatea din Cambridge în anii 1970. Conjectura sa a fost motivată de ceea ce se întâmplă atunci când numerele sunt plasate aleatoriu între −1 și 1. Dacă adunați N dintre aceste numere aleatoare, dimensiunea tipică a sumei va fi $latexsqrt{N}$ (ar putea fi pozitivă sau negativă). De asemenea, dacă sumele cubice Gauss ar fi împrăștiate uniform de la -1 la 1, te-ai aștepta N dintre ele să se adună la aproximativ $latexsqrt{N}$.
Având în vedere acest lucru, a adăugat Patterson N sume Gauss cubice, ignorând (pentru moment) cerința de a rămâne la numerele prime. A descoperit că suma era în jur N5/6 — mai mare decât $latexsqrt{N}$ (care poate fi scris ca N1/2), dar mai puțin decât N. Această valoare a implicat că sumele s-au comportat ca numere aleatoare, dar cu o forță slabă care le presă spre valori pozitive, numită prejudecată. La fel de N devenind din ce în ce mai mare, aleatorietatea ar începe să copleșească părtinirea, și așa că, dacă te uiți cumva la toate infinitele sume Gauss cubice deodată, ele ar părea distribuite uniform.
Se pare că asta a explicat totul: calculele lui Kummer au arătat o părtinire, precum și calculele IAS care o infirmă.
Dar Patterson nu a fost capabil să facă aceleași calcule pentru numerele prime, așa că în 1978, el l-a notat oficial ca un presupunere: Dacă adunați sumele cubice Gauss pentru numere prime, ar trebui să obțineți același lucru N5/6 comportament.
La scurt timp după ce a ținut o discuție despre munca sa cu privire la problema Kummer, Patterson a fost contactat de un student absolvent pe nume Roger Heath-Brown, care a sugerat încorporarea tehnicilor din teoria numerelor prime. Cei doi au făcut echipă și în curând publicat un avans asupra problemei, dar încă nu au putut arăta că Patterson a prezis N5/6 biasul a fost corect pentru numere prime.
În deceniile care au urmat, au fost puține progrese. În cele din urmă, la începutul mileniului, Heath-Brown a făcut altul descoperire, în care o unealtă pe care a dezvoltat-o, numită sita cubică mare, a jucat un rol esențial.
Pentru a utiliza sita cubică mare, Heath-Brown a folosit o serie de calcule pentru a lega suma sumelor cubice Gauss la o sumă diferită. Cu acest instrument, Heath-Brown a reușit să arate că, dacă adunăm sumele cubice Gauss pentru numere prime mai mici decât N, rezultatul nu poate fi cu mult mai mare decât N5/6. Dar s-a gândit că ar putea face mai bine - că sita în sine ar putea fi îmbunătățită. Dacă ar putea, ar reduce limita la N5/6 exact, dovedind astfel conjectura lui Patterson. Într-un scurt rând de text, el a schițat care credea că ar fi cea mai bună formulă posibilă pentru sită.
Chiar și cu acest nou instrument în mână, matematicienii nu au putut avansa mai departe. Apoi două decenii mai târziu, o întâlnire norocoasă între postdoctoratul Caltech Alexander Dunn și supervizorul său Maksym Radziwiłł a marcat începutul sfârșitului. Înainte ca Dunn să-și înceapă funcția în septembrie 2020, Radziwiłł a propus să lucreze împreună la conjectura lui Patterson. Dar, în condițiile în care pandemia de Covid-19 încă face furori, cercetarea și predarea au continuat de la distanță. În cele din urmă, în ianuarie 2021, șansa – sau soarta – a intervenit când cei doi matematicieni s-au izbit pe neașteptate unul de altul într-o parcare din Pasadena. „Am discutat cu cordialitate și am convenit că ar trebui să începem să ne întâlnim și să vorbim despre matematică”, a scris Dunn într-un e-mail. Până în martie, lucrau cu sârguință la o dovadă a conjecturii lui Patterson.
„A fost emoționant să lucrez, dar un risc extrem de ridicat”, a spus Dunn. „Vreau să spun, îmi amintesc că am venit la biroul meu la 5 dimineața în fiecare dimineață, timp de patru sau cinci luni.”
Dunn și Radziwiłł, ca și Heath-Brown înaintea lor, au găsit sita cubică mare indispensabilă pentru demonstrarea lor. Dar, pe măsură ce au folosit formula pe care Heath-Brown o scrisese în lucrarea sa din 2000 - cea pe care o credea a fi cea mai bună sită posibilă, o presupunere pe care comunitatea teoriei numerelor ajunsese să o creadă că este adevărată - și-au dat seama că ceva nu era în regulă. . „Am putut demonstra că 1 = 2, după o muncă foarte, foarte complicată”, a spus Radziwiłł.
În acel moment, Radziwiłł era sigur că greșeala era a lor. „Eram oarecum convins că practic avem o eroare în dovezile noastre.” Dunn l-a convins de contrariu. Sita cubică mare, contrar așteptărilor, nu a putut fi îmbunătățită.
Înarmați cu exactitatea sităi mari cubice, Dunn și Radziwiłł și-au recalibrat abordarea conjecturii lui Patterson. De data aceasta, au reușit.
„Cred că acesta a fost principalul motiv pentru care nimeni nu a făcut asta, pentru că această presupunere [Heath-Brown] a indus în eroare pe toată lumea”, a spus Radziwiłł. „Cred că dacă i-aș spune lui Heath-Brown că presupunerea lui este greșită, atunci probabil că și-ar da seama cum să o facă.”
Dunn și Radziwiłł și-au postat lucrarea pe 15 septembrie 2021. În cele din urmă, demonstrația lor s-a bazat pe ipoteza Riemann generalizată, o conjectură faimoasă nedovedită în matematică. Dar alți matematicieni văd acest lucru doar ca pe un dezavantaj minor. „Am dori să scăpăm de ipoteză. Dar suntem fericiți să avem un rezultat care oricum este condiționat”, a spus Heath-Brown, care acum este profesor emerit la Universitatea din Oxford.
Pentru Heath-Brown, lucrarea lui Dunn și Radziwiłł este mai mult decât o dovadă a conjecturii lui Patterson. Cu o perspectivă neașteptată în sita cubică mare, lucrarea lor a adus un final surprinzător unei povești la care a făcut parte de zeci de ani. „Mă bucur că nu am scris în lucrarea mea „Sunt sigur că se poate scăpa de asta”, a spus el, referindu-se la fragmentul de sită pe care Dunn și Radziwiłł au descoperit că este esențial. „Tocmai am spus: „Ar fi bine dacă cineva poate scăpa de asta. Se pare că ar trebui să poți. Și m-am înșelat – nu pentru prima dată.”
