O veche presupunere cade, făcând sferele mult mai complicate | Revista Quanta

La începutul lunii iunie, zgomotul s-a creat pe măsură ce matematicienii au aterizat pe aeroportul Heathrow din Londra. Destinația lor a fost Universitatea din Oxford și a conferință în onoarea împlinirii a 65 de ani de Michael Hopkins, un matematician de la Universitatea Harvard care a servit ca mentor pentru mulți dintre participanți.

Hopkins și-a făcut un nume la sfârșitul anilor 1980 pentru a lucra la șapte presupuneri care Doug Ravenel de la Universitatea din Rochester formulase cu un deceniu mai devreme. Au avut de-a face cu tehnicile pentru a determina când două forme sau spații care ar putea arăta diferite sunt într-adevăr aceleași. Hopkins și colaboratorii săi au demonstrat că toate conjecturile lui Ravenel, cu excepția uneia, o problemă cu un nume sugestiv, dar misterios, numită conjectura telescopului.

La acea vreme, Hopkins și-a pus lucrările asupra conjecturilor lui Ravenel. Timp de decenii după aceea, conjectura telescopului părea aproape imposibil de rezolvat.

„Nu ai putea atinge o teoremă ca asta”, a spus Hopkins.

Dar, pe măsură ce matematicienii au aterizat la Londra, au existat zvonuri că acest lucru ar fi fost făcut - de un grup de patru matematicieni cu legături cu Institutul de Tehnologie din Massachusetts, dintre care trei fuseseră sfătuiți de Hopkins la școala absolventă. Cel mai mic dintre cei patru, numit un student absolvent Ishan Levy, era programat să susțină o discuție marți, a doua zi a conferinței, care părea să fie momentul în care ar putea fi anunțată o dovadă.

„Auzisem zvonuri că se va întâmpla asta și nu știam exact la ce să mă aștept”, a spus Vesna Stojanoska, un matematician la Universitatea din Illinois, Urbana-Champaign, care a participat la conferință.

Curând a fost clar că zvonurile erau adevărate. Începând de marți și în următoarele trei zile, Levy și coautorii săi - Robert Burklund, Jeremy Hahn și Tomer Schlank — a explicat mulțimii de aproximativ 200 de matematicieni cum au dovedit că conjectura telescopului este falsă, făcând-o singura dintre conjecturile originale ale lui Ravenel care nu este adevărată.

Infirmarea conjecturii telescopului are implicații ample, dar una dintre cele mai simple și mai profunde este aceasta: înseamnă că în dimensiuni foarte mari (gândiți-vă la o sferă cu 100 de dimensiuni), universul de diferite forme este mult mai complicat decât anticipau matematicienii.

Cartografierea hărților

Pentru a clasifica formele sau spațiile topologice, matematicienii disting între diferențele care contează și cele care nu contează. Teoria homotopiei este o perspectivă din care să se facă aceste distincții. Consideră că o minge și un ou sunt în esență același spațiu topologic, deoarece vă puteți îndoi și întinde unul în celălalt fără a rupe nici unul. În același mod, teoria homotopiei consideră că o bilă și o cameră interioară sunt fundamental diferite, deoarece trebuie să rupeți o gaură în bilă pentru a o deforma în tubul interior.

Homotopy este utilă pentru clasificarea spațiilor topologice - creând o diagramă cu toate tipurile de forme posibile. De asemenea, este important pentru a înțelege altceva de care le pasă matematicienii: hărțile dintre spații. Dacă aveți două spații topologice, o modalitate de a le examina proprietățile este să căutați funcții care convertesc sau mapează punctele de pe unul la puncte de pe celălalt - introduceți un punct în spațiul A, obțineți un punct în spațiul B ca rezultat, și faceți asta pentru toate punctele de pe A.

Pentru a vedea cum funcționează aceste hărți și de ce luminează proprietățile spațiilor implicate, începeți cu un cerc. Acum mapați-l pe sfera bidimensională, care este suprafața unei mingi. Există nenumărate moduri de a face acest lucru. Dacă vă imaginați sfera ca suprafața Pământului, ați putea pune cercul la orice linie de latitudine, de exemplu. Din perspectiva teoriei homotopiei, toate sunt echivalente sau homotopice, deoarece toate se pot micșora până la un punct la polul nord sau sud.

Apoi, mapați cercul pe suprafața bidimensională a unui tub interior (un torus cu o singură gaură). Din nou, există infinit de moduri de a face acest lucru, iar cele mai multe sunt homotopice. Dar nu toate. Puteți plasa un cerc orizontal sau vertical în jurul torului și niciunul nu poate fi deformat ușor în celălalt. Acestea sunt două (dintre multe) moduri de a mapa un cerc pe tor, în timp ce există doar o modalitate de a-l mapa pe o sferă, reflectând o diferență fundamentală între cele două spații: Torul are o gaură, în timp ce sfera nu are nici una.

Este ușor să numărăm modalitățile prin care putem mapa de la cerc la sfera bidimensională sau tor. Sunt spații familiare care sunt ușor de vizualizat. Dar numărarea hărților este mult mai dificilă atunci când sunt implicate spații de dimensiuni superioare.

Diferențele dimensionale

Dacă două sfere au aceeași dimensiune, există întotdeauna infinit de hărți între ele. Și dacă spațiul din care mapați este mai dimensional decât spațiul pe care îl mapați (ca în exemplul nostru de cerc unidimensional mapat pe o sferă bidimensională), există întotdeauna o singură hartă.

Parțial din acest motiv, numărarea hărților este cea mai interesantă atunci când spațiul din care mapați are o dimensiune mai mare decât spațiul pe care îl mapați, cum ar fi atunci când mapați o sferă cu șapte dimensiuni pe o sferă tridimensională. În astfel de cazuri, numărul de hărți este întotdeauna finit.

„Hărțile dintre sfere, în general, tind să fie mai interesante atunci când sursa are o dimensiune mai mare”, a spus Hahn.

Mai mult decât atât, numărul de hărți depinde doar de diferența dintre numărul de dimensiuni (odată ce dimensiunile devin suficient de mari în comparație cu diferența). Adică, numărul de hărți dintr-o sferă de 73 de dimensiuni la o sferă de 53 de dimensiuni este același cu numărul de hărți de la o sferă de 225 de dimensiuni la o sferă de 205, deoarece, în ambele cazuri, diferența de dimensiune este 20.

Matematicienii ar dori să știe numărul de hărți dintre spații de orice diferență de dimensiune. Au reușit să calculeze numărul de hărți pentru aproape toate diferențele de dimensiune până la 100: există 24 de hărți între sfere când diferența este de 20 și 3,144,960 când este de 23.

Dar calcularea numărului de hărți pentru orice diferență mai mare de 100 epuizează puterea de calcul modernă. Și, în același timp, matematicienii nu au detectat suficiente modele în numărul de hărți pentru a extrapola în continuare. Scopul lor este să completeze un tabel care specifică numărul de hărți pentru orice diferență de dimensiune, dar acest obiectiv pare foarte îndepărtat.

„Nu este o întrebare la care mă aștept la o soluție completă în viața nepoților mei”, a spus Ravenel, care are 76 de ani.

Conjectura telescopului face o predicție despre cum crește numărul de hărți pe măsură ce crește diferența de dimensiune. De fapt, prezice că numărul crește încet. Dacă ar fi fost adevărat, ar fi ușurat puțin problema completării acelui tabel.

Îndoiala în neîncredere

Conjectura telescopului și-a primit numele într-un mod improbabil.

A plecat de la faptul că în dimensiuni foarte mari, intuiția geometrică formată în dimensiuni mai mici se defectează adesea și este dificil să numărați hărțile între sfere. Dar formulându-și conjectura, Ravenel a înțeles că nu trebuie. În loc să numărați hărțile între sfere, puteți face o numărare proxy mai ușoară a hărților dintre sfere și obiecte numite telescoape.

Telescoapele implică o serie de copii ale unei curbe de dimensiuni superioare închise, fiecare fiind o versiune redusă a celei care a apărut înaintea ei. Seria de curbe seamănă cu tuburile interconectate ale unui telescop efectiv pliabil. „Oricât de bizar sună acest telescop când îl descrii, este de fapt un obiect mai ușor de tratat decât sfera în sine”, a spus Ravenel.

Dar totuși, sferele se pot mapa pe telescoape în multe moduri diferite, iar provocarea este să știm când acele hărți sunt cu adevărat distincte.

Pentru a determina dacă două spații sunt homotopice necesită un test matematic cunoscut sub numele de invariant, care este un calcul bazat pe proprietățile spațiilor. Dacă calculul dă o valoare diferită pentru fiecare spațiu, știți că acestea sunt unice din perspectiva homotopiei.

Există multe tipuri de invarianți, iar unii pot percepe diferențe la care alți invarianți sunt orbi. Conjectura telescopului prezice că un invariant numit Morava E-teoria (și simetriile sale) poate distinge perfect toate hărțile dintre sfere și telescoape până la homotopie - adică dacă Morava E- teoria spune că hărțile sunt distincte, sunt distincte, iar dacă spune că sunt la fel, sunt la fel.

Dar până în 1989 Ravenel începuse să se îndoiască că era adevărat. Scepticismul său a apărut din calculele pe care le-a efectuat care nu păreau să fie în concordanță cu conjectura. Dar abia în octombrie a acelui an, când un cutremur masiv a lovit zona Bay în timp ce se afla în Berkeley, acele îndoieli s-au transformat în neîncredere cu drepturi depline.

„Am ajuns la această concluzie într-o zi sau două de la cutremur, așa că îmi place să cred că s-a întâmplat ceva care m-a făcut să cred că nu este adevărat”, a spus Ravenel.

Infirmarea conjecturii telescopului ar necesita găsirea unui invariant mai puternic care ar putea vedea lucrurile Morava E- Teoria nu poate. Timp de zeci de ani nici un astfel de invariant nu a părut să fie disponibil, punând conjectura ferm la îndemână. Dar progresul din ultimii ani a schimbat asta - și Burklund, Hahn, Levy și Schlank au valorificat acest lucru.

Exoticul care explodează

Dovada lor se bazează pe un set de instrumente numite algebrice K-teoria, care a fost stabilită în anii 1950 de Alexander Grothendieck și s-a dezvoltat rapid în ultimul deceniu. Are aplicații în matematică, inclusiv în geometrie, unde are capacitatea de a supraîncărca un invariant.

Cei patru autori folosesc algebricul K-teoria ca gadget: Ei introduc Morava E-teoria, iar rezultatul lor este un nou invariant pe care îl numesc algebric K-teoria punctelor fixe ale Moravei E-teorie. Apoi aplică acest nou invariant hărților de la sfere la telescoape și demonstrează că poate vedea hărțile pe care Morava E- Teoria nu poate.

Și nu este doar faptul că acest nou invariant mai vede câteva hărți. Vede mult mai multe, chiar infinit mai multe. Atât de multe, încât e corect să spunem Morava E-teoria abia zgâria suprafața când a fost vorba de identificarea hărților de la sfere la telescoape.

Infinit mai multe hărți de la sfere la telescoape înseamnă infinit mai multe hărți între sfere înseși. Numărul de astfel de hărți este finit pentru orice diferență de dimensiune, dar noua dovadă arată că numărul crește rapid și inexorabil.

Faptul că există atât de multe hărți indică o realitate geometrică tulburătoare: există atât de multe sfere.

În 1956, John Milnor a identificat primele exemple de ceea ce se numesc sfere „exotice”. Acestea sunt spații care pot fi deformate în sfera reală din perspectiva homotopiei, dar sunt diferite de sferă într-un anumit sens precis. Sferele exotice nu există deloc în dimensiunile unu, două sau trei și nimeni nu a descoperit exemple de ele sub dimensiunea șapte - dimensiunea în care Milnor le-a găsit pentru prima dată. Dar pe măsură ce dimensiunea crește, numărul de sfere exotice explodează. Există 16,256 în dimensiunea 15 și 523,264 în dimensiunea 19.

Și totuși, oricât de uriașe sunt aceste numere, infirmarea conjecturii telescopului înseamnă că sunt multe, multe altele. Infirmarea înseamnă că există mai multe hărți între sfere decât se anticipa când Ravenel a formulat conjectura și singurul mod în care obțineți mai multe hărți este să aveți o varietate mai mare de sfere între care să mapați.

Există diferite tipuri de progres în matematică și știință. Un fel aduce ordine în haos. Dar un altul intensifică haosul prin eliminarea presupunerilor pline de speranță care nu erau adevărate. Infirmarea conjecturii telescopului este așa. Aceasta adâncește complexitatea geometriei și crește șansele ca multe generații de nepoți să vină și să plece înainte ca cineva să înțeleagă pe deplin hărțile dintre sfere.

„Fiecare progres major în subiect pare să ne spună că răspunsul este mult mai complicat decât credeam înainte”, a spus Ravenel.