Colorarea după numere dezvăluie modele aritmetice în fracții

La un an după ce și-a început doctoratul. la matematică la Universitatea McGill, Matt Bowen a avut o problemă. „Mi-am susținut examenele de calificare și le-am făcut absolut oribil”, a spus el. Bowen era sigur că notele sale nu reflectă abilitățile sale matematice și s-a hotărât să demonstreze acest lucru. Toamna trecută a făcut-o, când el și consilierul său, Marcin Sabok, a înregistrat un avans major în domeniul cunoscut ca Teoria Ramsey.

De aproape un secol, teoreticienii Ramsey au adunat dovezi că structura matematică persistă în circumstanțe ostile. Ele pot sparge seturi mari de numere, cum ar fi numerele întregi sau fracții, sau pot tăia conexiunile dintre punctele dintr-o rețea. Ei găsesc apoi modalități de a dovedi că anumite structuri sunt inevitabile, chiar dacă încerci să eviți să le crezi prin ruperea sau felierea într-un mod inteligent.

Când teoreticienii Ramsey vorbesc despre împărțirea unui set de numere, ei folosesc adesea limbajul colorării. Alegeți mai multe culori: roșu, albastru și galben, de exemplu. Acum atribuiți o culoare fiecărui număr dintr-o colecție. Chiar dacă faci acest lucru într-un mod aleatoriu sau haotic, anumite modele vor apărea inevitabil atâta timp cât folosești doar un număr finit de culori diferite, chiar dacă acel număr este foarte mare. Teoreticienii lui Ramsey încearcă să găsească aceste modele, căutând seturi structurate de numere care sunt „monocromatice”, ceea ce înseamnă că tuturor elementelor lor li s-a atribuit aceeași culoare.

Primele rezultate de colorare datează de la sfârșitul secolului al XIX-lea. Până în 19, Issai Schur a demonstrat că, indiferent dacă colorați numerele întregi pozitive (cunoscute și ca numere naturale), va exista întotdeauna o pereche de numere. x și y astfel încât x, y, și suma lor x+y sunt toate de aceeași culoare. De-a lungul secolului al XX-lea, matematicienii au continuat să lucreze la probleme de colorare. În 20, Neil Hindman a extins rezultatul lui Schur pentru a include o submulțime infinită de numere întregi. Ca și teorema lui Schur, cea a lui Hindman se aplică indiferent de modul în care sunt colorate numerele naturale (cu un număr finit de creioane). Nu numai că aceste numere întregi din setul lui Hindman sunt toate de aceeași culoare, dar dacă însumați orice colecție dintre ele, rezultatul va fi și acea culoare. Astfel de mulțimi seamănă cu numerele pare prin aceea că, așa cum orice sumă de numere pare este întotdeauna pare, la fel și suma oricăror numere dintr-una dintre mulțimile lui Hindman ar fi conținută în acea mulțime.

„Teorema lui Hindman este o piesă uimitoare de matematică”, a spus Sabok. „Este o poveste din care putem face un film.”

Dar Hindman a crezut că este posibil mai mult. El credea că poți găsi un set monocromatic arbitrar de mare (dar finit) care conținea nu numai sumele membrilor săi, ci și produsele. „Am susținut de zeci de ani că acesta este un fapt”, a spus el, adăugând: „Nu susțin că pot dovedi acest lucru”.

Conjectura lui Hindman

Dacă renunțați la sumă și doriți doar să vă asigurați că produsele au aceeași culoare, este simplu să adaptați teorema lui Hindman folosind exponențiarea pentru a transforma sumele în produse (la fel cum o face o regulă de calcul).

Totuși, lupta cu sume și produse simultan este mult mai grea. „Este foarte greu să-i faci pe cei doi să vorbească între ei”, a spus Joel Moreira, un matematician la Universitatea din Warwick. „Înțelegerea modului în care adunarea și înmulțirea se leagă – aceasta este, într-un fel, baza întregii teorii a numerelor, aproape.”

Chiar și o versiune mai simplă pe care Hindman a sugerat-o pentru prima dată în anii 1970 s-a dovedit provocatoare. El a presupus că orice colorare a numerelor naturale trebuie să conțină o mulțime monocromatică de forma {x, y, xy, x+y} — două numere x și y, precum și suma și produsul acestora. „Oamenii nu au făcut niciun progres în această problemă timp de zeci de ani”, a spus Bowen. „Și apoi dintr-o dată, în jurul anului 2010, oamenii au început să demonstreze din ce în ce mai multe lucruri despre asta.”

Bowen a aflat despre {x, y, xy, x+y} problemă în 2016, al doilea semestru de facultate, când unul dintre profesorii săi de la Universitatea Carnegie Mellon a descris problema în clasă. Bowen a fost uimit de simplitatea sa. „Este unul dintre aceste lucruri grozave în care este ca, ei bine, nu știu prea multe matematică, dar pot într-un fel să înțeleg asta”, a spus el.

În 2017, Moreira s-au dovedit acea tu poate să mereu găsiți un set monocromatic care conține trei dintre cele patru elemente dorite: x, xy, și x + y. Între timp, Bowen a început să joace cu ochiul ocazional întrebarea în ultimul an. „De fapt, nu am putut rezolva problema”, a spus el. „Dar m-aș întoarce la asta la fiecare șase luni și ceva.” După prezenta sa slabă la doctoratul său. examenele de calificare în 2020, și-a dublat eforturile. Câteva zile mai târziu, a dovedit că {x, y, xy, x+y} conjectura pentru cazul a două culori, un rezultat pe care Ron Graham îl dovedise deja în anii 1970 cu ajutorul unui computer.

Cu acest succes, Bowen a lucrat cu Sabok pentru a extinde rezultatul la orice număr de culori. Dar s-au încurcat rapid în detalii tehnice. „Complexitatea problemei crește complet scăpată de sub control atunci când numărul de culori este mare”, a spus Sabok. Timp de 18 luni, au încercat să se desprindă, cu puțin noroc. „În acest an și jumătate, am avut aproximativ un milion de dovezi greșite”, a spus Sabok.

O dificultate în special i-a împiedicat pe cei doi matematicieni să progreseze. Dacă alegeți două numere întregi la întâmplare, probabil că nu le veți putea împărți. Împărțirea funcționează numai în cazul rar în care primul număr este un multiplu al celui de-al doilea. Acest lucru s-a dovedit a fi extrem de limitator. Odată cu această realizare, Bowen și Sabok au început să demonstreze {x, y, xy, x+y} conjectura în numerele raționale (cum numesc matematicienii fracții). Acolo, numerele pot fi împărțite cu abandon.

Dovada lui Bowen și Sabok este cea mai elegantă atunci când toate culorile implicate apar frecvent în numerele raționale. Culorile pot apărea „frecvent” în mai multe moduri diferite. Ar putea acoperi fiecare bucăți mari ale dreptei numerice. Sau ar putea însemna că nu poți călători prea departe de-a lungul liniei numerice fără să vezi fiecare culoare. De obicei, însă, culorile nu sunt conforme cu astfel de reguli. În aceste cazuri, vă puteți concentra pe regiuni mici din numerele raționale în care culorile apar mai frecvent, a explicat Sabok. „Aici a venit cea mai mare parte a lucrării”, a spus el.

În octombrie 2022, Bowen și Sabok au postat o dovadă că, dacă colorați numerele raționale cu un număr finit de culori, va exista un set de forma {x, y, xy, x+y} ale cărui elemente au toate aceeași culoare. „Este o dovadă incredibil de inteligentă”, a spus Imre Leader de la Universitatea din Cambridge. „Folosește rezultate cunoscute. Dar le combină într-un mod absolut genial, foarte original, foarte inovator.”

Au rămas multe întrebări. Poate un al treilea număr z să fie adăugat la colecție, împreună cu sumele și produsele care rezultă? Satisfacerea celor mai îndrăznețe predicții ale lui Hindman ar însemna adăugarea unui al patrulea, al cincilea și, în cele din urmă, în mod arbitrar, multe numere noi la secvență. Ar fi nevoie, de asemenea, de trecerea de la numerele raționale la numerele naturale și de a găsi o cale de a ocoli diviziunea care a împiedicat eforturile lui Bowen și Sabok.

Leader crede că, având în vedere că Moreira, Bowen și Sabok lucrează cu toții la această problemă, această dovadă poate să nu fie departe. „Acei băieți par deosebit de străluciți în a găsi noi moduri de a face lucrurile”, a spus el. „Așa că sunt oarecum optimist că ei sau unii dintre colegii lor ar putea găsi asta.”

Sabok este mai precaut în predicțiile sale. Dar el nu exclude nimic. „Unul dintre farmecele matematicii este că înainte de a obține o dovadă, totul este posibil”, a spus el.