Introducere
Timp de secole, matematicienii au căutat să înțeleagă și să modeleze mișcarea fluidelor. Ecuațiile care descriu modul în care ondulațiile creează suprafața unui iaz au ajutat, de asemenea, cercetătorii să prezică vremea, să proiecteze avioane mai bune și să caracterizeze modul în care sângele curge prin sistemul circulator. Aceste ecuații sunt înșelător de simple atunci când sunt scrise în limbajul matematic potrivit. Cu toate acestea, soluțiile lor sunt atât de complexe încât să înțelegem chiar și întrebările de bază despre ele poate fi prohibitiv de dificil.
Poate cea mai veche și mai proeminentă dintre aceste ecuații, formulată de Leonhard Euler cu mai bine de 250 de ani în urmă, descrie curgerea unui fluid ideal, incompresibil: un fluid fără vâscozitate sau frecare internă, care nu poate fi forțat într-un volum mai mic. „Aproape toate ecuațiile neliniare ale fluidelor sunt cam derivate din ecuațiile lui Euler”, a spus Tarek Elgindi, un matematician la Universitatea Duke. „Sunt primii, ai putea spune.”
Cu toate acestea, rămân multe necunoscute despre ecuațiile Euler - inclusiv dacă acestea sunt întotdeauna un model precis al fluxului ideal de fluid. Una dintre problemele centrale în dinamica fluidelor este să ne dăm seama dacă ecuațiile eșuează vreodată, producând valori fără sens care le fac incapabile să prezică stările viitoare ale unui fluid.
Matematicienii au bănuit de mult timp că există condiții inițiale care determină ruperea ecuațiilor. Dar nu au reușit să demonstreze asta.
In o preimprimare postat online luna trecută, o pereche de matematicieni a arătat că o anumită versiune a ecuațiilor lui Euler eșuează într-adevăr uneori. Dovada marchează o descoperire majoră - și, deși nu rezolvă complet problema pentru versiunea mai generală a ecuațiilor, oferă speranța că o astfel de soluție este în sfârșit la îndemână. „Este un rezultat uimitor”, a spus Tristan Buckmaster, un matematician de la Universitatea din Maryland care nu a fost implicat în lucrare. „Nu există rezultate de acest gen în literatură.”
Există doar o captură.
Dovada de 177 de pagini – rezultatul unui program de cercetare de un deceniu – folosește în mod semnificativ computerele. Acest lucru, fără îndoială, face dificil pentru alți matematicieni să o verifice. (De fapt, ei sunt încă în proces de a face acest lucru, deși mulți experți cred că noua lucrare se va dovedi a fi corectă.) De asemenea, îi obligă să ia în calcul întrebări filozofice despre ce este o „dovadă” și ce va fi aceasta. înseamnă că singura modalitate viabilă de a rezolva întrebări atât de importante în viitor este cu ajutorul computerelor.
Observând Bestia
În principiu, dacă cunoașteți locația și viteza fiecărei particule dintr-un fluid, ecuațiile lui Euler ar trebui să poată prezice modul în care fluidul va evolua pentru totdeauna. Dar matematicienii vor să știe dacă acesta este de fapt cazul. Poate că în unele situații, ecuațiile vor decurge conform așteptărilor, producând valori precise pentru starea fluidului la un moment dat, doar pentru ca una dintre acele valori să se ridice brusc la infinit. În acel moment, se spune că ecuațiile lui Euler dau naștere unei „singularități” – sau, mai dramatic, „explodează”.
Odată ce au ajuns la acea singularitate, ecuațiile nu vor mai putea calcula debitul fluidului. Dar „în urmă cu câțiva ani, ceea ce oamenii au fost capabili să facă a fost foarte, foarte departe de [demonstrarea exploziei]”, a spus Charlie Fefferman, un matematician la Universitatea Princeton.
Devine și mai complicat dacă încercați să modelați un fluid care are vâscozitate (cum o fac aproape toate fluidele din lumea reală). Un milion de dolari Premiul Mileniului de la Institutul de Matematică Clay așteaptă pe oricine poate dovedi dacă eșecuri similare apar în ecuațiile Navier-Stokes, o generalizare a ecuațiilor Euler care ține cont de vâscozitate.
În 2013, Thomas Hou, un matematician la Institutul de Tehnologie din California și Guo Luo, acum la Universitatea Hang Seng din Hong Kong, a propus un scenariu în care ecuațiile Euler ar duce la o singularitate. Ei au dezvoltat o simulare computerizată a unui fluid dintr-un cilindru a cărui jumătate superioară se învârtea în sensul acelor de ceasornic, în timp ce jumătatea inferioară se învârtea în sens invers acelor de ceasornic. Pe măsură ce rulau simularea, curenții mai complicati au început să se miște în sus și în jos. Aceasta, la rândul său, a condus la un comportament ciudat de-a lungul graniței cilindrului unde se întâlneau fluxuri opuse. Vorticitatea fluidului - o măsură a rotației - a crescut atât de repede încât părea gata să explodeze.
Lucrarea lui Hou și Luo a fost sugestivă, dar nu o dovadă adevărată. Asta pentru că este imposibil ca un computer să calculeze valori infinite. Poate ajunge foarte aproape de a vedea o singularitate, dar nu poate ajunge la ea - ceea ce înseamnă că soluția ar putea fi foarte precisă, dar este totuși o aproximare. Fără susținerea unei dovezi matematice, valoarea vorticității ar putea părea să crească doar la infinit din cauza unor artefacte ale simulării. Soluțiile ar putea, în schimb, să crească la un număr enorm înainte de a se diminua din nou.
Astfel de inversări s-au întâmplat înainte: o simulare ar indica că o valoare din ecuații a explodat, doar pentru ca metodele de calcul mai sofisticate să arate contrariul. „Aceste probleme sunt atât de delicate încât drumul este plin de epave ale simulărilor anterioare”, a spus Fefferman. De fapt, așa a început Hou în acest domeniu: mai multe dintre rezultatele sale anterioare au infirmat formarea singularităților ipotetice.
Totuși, când el și Luo și-au publicat soluția, majoritatea matematicienilor au crezut că este foarte probabil o adevărată singularitate. „A fost foarte meticulos, foarte precis”, a spus Vladimir Sverak, un matematician la Universitatea din Minnesota. „Au făcut cu adevărat eforturi mari pentru a stabili că acesta este un scenariu real.” Lucrări ulterioare de Elgindi, Sverak și alții nu a făcut decât să întărească această convingere.
Dar o dovadă era evazivă. — Ai văzut fiara, spuse Fefferman. „Atunci încerci să-l captezi.” Asta însemna să arătăm că soluția aproximativă pe care Hou și Luo au simulat-o atât de atent este, într-un sens matematic specific, foarte, foarte aproape de o soluție exactă a ecuațiilor.
Acum, la nouă ani de la prima vedere, Hou și fostul său student absolvent Jiajie Chen au reușit în sfârșit să dovedească existența acelei singularități apropiate.
Mutarea către un ținut auto-asemănător
Hou, alăturat ulterior de Chen, a profitat de faptul că, la o analiză mai atentă, soluția aproximativă din 2013 părea să aibă o structură aparte. Pe măsură ce ecuațiile au evoluat de-a lungul timpului, soluția a afișat ceea ce se numește un model auto-similar: forma sa mai târziu semăna mult cu forma sa anterioară, doar redimensionată într-un mod specific.
Drept urmare, matematicienii nu au trebuit să încerce să se uite la singularitatea în sine. În schimb, ar putea să-l studieze indirect concentrându-se pe un moment anterior din timp. Mărind acea parte a soluției la ritmul potrivit - determinat pe baza structurii auto-similare a soluției - ei ar putea modela ceea ce s-ar întâmpla mai târziu, inclusiv la singularitatea în sine.
Le-a durat câțiva ani până să găsească un analog auto-similar cu scenariul de explozie din 2013. (La începutul acestui an, o altă echipă de matematicieni, care a inclus Buckmaster, a folosit diferite metode pentru a găsi o soluție aproximativă similară. Ei folosesc în prezent această soluție pentru a dezvolta o dovadă independentă a formării singularității.)
Cu o soluție aproximativă auto-similară în mână, Hou și Chen trebuiau să arate că există o soluție exactă în apropiere. Din punct de vedere matematic, acest lucru este echivalent cu demonstrarea faptului că soluția lor aproximativă auto-similară este stabilă - că, chiar dacă ar fi să o perturbați ușor și apoi să evoluați ecuațiile pornind de la acele valori perturbate, nu ar exista nicio modalitate de a scăpa dintr-un mic cartier din jurul solutie aproximativa. „Este ca o gaură neagră”, a spus Hou. „Dacă începi cu un profil din apropiere, vei fi absorbit.”
Dar a avea o strategie generală a fost doar un pas către soluție. „Detaliile complicate contează”, a spus Fefferman. Pe măsură ce Hou și Chen au petrecut următorii câțiva ani lucrând la aceste detalii, au descoperit că trebuie să se bazeze din nou pe computere - dar de data aceasta într-un mod cu totul nou.
O abordare hibridă
Printre primele lor provocări a fost să descopere afirmația exactă pe care trebuiau să o dovedească. Au vrut să arate că, dacă ar lua orice set de valori apropiate de soluția lor aproximativă și l-au conectat în ecuații, rezultatul nu s-ar putea îndepărta departe. Dar ce înseamnă ca o intrare să fie „aproape” de soluția aproximativă? Ei au trebuit să precizeze acest lucru într-o declarație matematică - dar există multe moduri de a defini noțiunea de distanță în acest context. Pentru ca dovada lor să funcționeze, trebuia să o aleagă pe cea corectă.
„Trebuie să măsoare diferite efecte fizice”, a spus Rafael de la Llave, un matematician la Institutul de Tehnologie din Georgia. „Deci trebuie să fie ales folosind o înțelegere profundă a problemei.”
Odată ce au avut modul corect de a descrie „apropierea”, Hou și Chen au trebuit să demonstreze afirmația, care s-a rezumat la o inegalitate complicată care implică termeni atât din ecuațiile redimensionate, cât și din soluția aproximativă. Matematicienii trebuiau să se asigure că valorile tuturor acelor termeni se echilibrează la ceva foarte mic: dacă o valoare ajungea să fie mare, alte valori trebuiau să fie negative sau ținute sub control.
„Dacă faci ceva puțin prea mare sau puțin prea mic, totul se strică”, a spus Javier Gómez-Serrano, matematician la Universitatea Brown. „Deci este o muncă foarte, foarte atentă și delicată.”
„Este o luptă cu adevărat acerbă”, a adăugat Elgindi.
Pentru a obține limitele strânse de care aveau nevoie în toți acești termeni diferiți, Hou și Chen au spart inegalitatea în două părți majore. Ei puteau avea grijă de prima parte manual, cu tehnici inclusiv una care datează din secolul al XVIII-lea, când matematicianul francez Gaspard Monge a căutat o modalitate optimă de transport al solului pentru a construi fortificații pentru armata lui Napoleon. „Lucruri de genul acesta au mai fost făcute înainte, dar mi s-a părut izbitor că [Hou și Chen] le-au folosit pentru asta”, a spus Fefferman.
Asta a lăsat a doua parte a inegalității. Abordarea acesteia ar necesita asistență computerizată. Pentru început, au fost atât de multe calcule care trebuiau făcute și atât de multă precizie necesară, încât „cantitatea de muncă pe care ai avea de făcut cu creionul și hârtia ar fi uluitoare”, a spus de la Llave. Pentru a echilibra diverși termeni, matematicienii au trebuit să efectueze o serie de probleme de optimizare care sunt relativ ușoare pentru computere, dar consumatoare de timp pentru oameni. Unele dintre valori depind și de cantități din soluția aproximativă; deoarece aceasta a fost calculată folosind un computer, a fost mai simplu să folosiți și un computer pentru a efectua aceste calcule suplimentare.
„Dacă încerci să faci manual unele dintre aceste estimări, probabil vei supraestima la un moment dat, iar apoi vei pierde”, a spus Gómez-Serrano. „Numerele sunt atât de mici și strânse... iar marja este incredibil de subțire.”
Dar, deoarece computerele nu pot manipula un număr infinit de cifre, apar inevitabil erori minuscule. Hou și Chen au trebuit să urmărească cu atenție acele erori, pentru a se asigura că nu interferau cu restul actului de echilibrare.
În cele din urmă, au reușit să găsească limite pentru toți termenii, completând demonstrația: ecuațiile au produs într-adevăr o singularitate.
Dovada pe calculator
Rămâne deschis dacă ecuațiile mai complicate - ecuațiile Euler fără prezența unei granițe cilindrice și ecuațiile Navier-Stokes - pot dezvolta o singularitate. „Dar [această lucrare] măcar îmi dă speranță”, a spus Hou. „Văd o cale de urmat, o modalitate de a rezolva poate chiar în cele din urmă întreaga problemă a Mileniului.”
Între timp, Buckmaster și Gómez-Serrano lucrează la o dovadă asistată de computer - una pe care speră că va fi mai generală și, prin urmare, capabilă să abordeze nu doar problema pe care Hou și Chen au rezolvat-o, ci și multe altele.
Aceste eforturi marchează o tendință în creștere în domeniul dinamicii fluidelor: utilizarea computerelor pentru rezolvarea unor probleme importante.
„Într-o serie de domenii diferite ale matematicii, se întâmplă din ce în ce mai frecvent”, a spus Susan Friedlander, un matematician la Universitatea din California de Sud.
Dar în mecanica fluidelor, dovezile asistate de calculator sunt încă o tehnică relativ nouă. De fapt, când vine vorba de afirmații despre formarea singularității, dovada lui Hou și Chen este prima de acest gen: dovezile anterioare asistate de computer au putut rezolva doar problemele jucăriilor din zonă.
Astfel de dovezi nu sunt atât de controversate, ci „o chestiune de gust”, a spus Petru Constantin de la Universitatea Princeton. Matematicienii sunt în general de acord că o demonstrație trebuie să-i convingă pe alți matematicieni că o anumită linie de raționament este corectă. Dar, mulți susțin, ar trebui, de asemenea, să le îmbunătățească înțelegerea de ce o anumită afirmație este adevărată, mai degrabă decât să ofere pur și simplu validarea că este corectă. „Învățăm ceva fundamental nou sau doar știm răspunsul la întrebare?” spuse Elgindi. „Dacă privești matematica ca pe o artă, atunci aceasta nu este atât de plăcută din punct de vedere estetic.”
„Un computer poate ajuta. E minunat. Îmi oferă o perspectivă. Dar nu îmi dă o înțelegere deplină”, a adăugat Constantin. „Înțelegerea vine de la noi.”
La rândul său, Elgindi încă speră să elaboreze o dovadă alternativă de explozie în întregime manual. „Sunt în general fericit că acest lucru există”, a spus el despre munca lui Hou și Chen. „Dar o iau mai mult ca o motivație să încerc să o fac într-un mod mai puțin dependent de computer.”
Alți matematicieni văd computerele ca pe un nou instrument vital care va face posibilă atacarea problemelor până acum insolubile. „Acum munca nu mai este doar hârtie și creion”, a spus Chen. „Aveți opțiunea de a folosi ceva mai puternic.”
Potrivit lui și al altora (inclusiv Elgindi, în ciuda preferinței sale personale pentru scrierea de dovezi de mână), există o bună posibilitate ca singura modalitate de a rezolva probleme mari din dinamica fluidelor - adică probleme care implică ecuații din ce în ce mai complicate - ar putea fi să te bazezi. foarte mult pe asistență computerizată. „Mi se pare că încercarea de a face acest lucru fără a folosi în mod intens probele asistate de computer este ca și cum ai lega una sau, eventual, două mâini la spate”, a spus Fefferman.
Dacă acesta ajunge să fie cazul și „nu ai de ales”, a spus Elgindi, „atunci oamenii... precum mine, care ar spune că acest lucru este suboptimal, ar trebui să tacă”. Asta ar însemna, de asemenea, că mai mulți matematicieni ar trebui să înceapă să învețe abilitățile necesare pentru a scrie dovezi asistate de computer - ceva pe care, sperăm, munca lui Hou și Chen îl va inspira. „Cred că au fost mulți oameni care pur și simplu așteptau ca cineva să rezolve o astfel de problemă înainte de a-și investi timpul în această abordare”, a spus Buckmaster.
Acestea fiind spuse, când vine vorba de dezbateri despre măsura în care matematicienii ar trebui să se bazeze pe computere, „nu este că trebuie să alegi o parte”, a spus Gómez-Serrano. „Dovada [Hou și Chen] nu ar funcționa fără analiză, iar dovada nu ar funcționa fără asistența computerului. … Cred că valoarea este că oamenii pot vorbi cele două limbi.”
Cu asta, de la Llave a spus, „există un joc nou în oraș”.
