„Entropie Covrigi” și alte structuri complexe apar din reguli simple | Revista Quanta

Repetarea nu trebuie să fie întotdeauna banală. În matematică, este o forță puternică, capabilă să genereze o complexitate uluitoare.

Chiar și după zeci de ani de studiu, matematicienii se simt incapabili să răspundă la întrebări despre executarea repetată a unor reguli foarte simple - cele mai elementare „sisteme dinamice”. Dar încercând să facă acest lucru, au descoperit conexiuni profunde între acele reguli și alte domenii aparent îndepărtate ale matematicii.

De exemplu, setul Mandelbrot, pe care eu a scris despre luna trecută, este o hartă a modului în care o familie de funcții - descrisă de ecuație f(x) = x² + c — se comportă ca valoare a c se întinde pe așa-numitul plan complex. (Spre deosebire de numerele reale, care pot fi plasate pe o linie, numerele complexe au două componente, care pot fi reprezentate pe x- și y- axele unui plan bidimensional.)

Indiferent cât de mult ai mări setul Mandelbrot, intotdeauna apar modele noi, fără limită. „Este complet uimitor pentru mine, chiar și acum, că această structură foarte complexă rezultă din reguli atât de simple”, a spus Matthew Baker al Institutului de Tehnologie din Georgia. „Este una dintre descoperirile cu adevărat surprinzătoare ale secolului al XX-lea.”

Complexitatea mulțimii Mandelbrot apare în parte pentru că este definită în termeni de numere care sunt ele însele, ei bine, complexe. Dar, poate în mod surprinzător, asta nu este toată povestea. Chiar și când c este un număr real simplu, cum ar fi, de exemplu, –3/2, pot apărea tot felul de fenomene ciudate. Nimeni nu știe ce se întâmplă atunci când aplici în mod repetat ecuația f(x) = x² – 3/2, folosind fiecare ieșire ca următoarea intrare într-un proces cunoscut sub numele de iterație. Dacă începi să iterați de la x = 0 („punctul critic” al unei ecuații pătratice), nu este clar dacă veți produce o secvență care în cele din urmă converge către un ciclu repetat de valori sau una care continuă să sară la nesfârșit într-un model haotic.

Pentru valorile de c mai mic de –2 sau mai mare de 1/4, iterația explodează rapid până la infinit. Dar în acest interval, există infinite de valori ale c cunoscut pentru a produce un comportament haotic și nenumărate cazuri precum –3/2, în care „nu știm ce se întâmplă, deși este foarte concret”, a spus Giulio Tiozzo de la Universitatea din Toronto.

Dar în anii 1990, matematicianul de la Universitatea Stony Brook Mişa Lyubici, care a ocupat un loc important în raportul meu despre platoul Mandelbrot, s-au dovedit că în intervalul dintre –2 și 1/4, marea majoritate a valorilor de c produce un comportament „hiperbolic” plăcut. (Matematicienii Jacek Graczyk și Grzegorz Swiatek dovedit independent rezultatul aproximativ în același timp.) Aceasta înseamnă că ecuațiile corespunzătoare, atunci când sunt iterate, converg către o singură valoare sau către un ciclu repetat de numere.

Un deceniu mai târziu, un trio de matematicieni au arătat că cele mai multe valori ale c sunt hiperbolice nu numai pentru ecuațiile pătratice, ci și pentru orice familie de polinoame reale (funcții mai generale care combină variabile ridicate la puteri, cum ar fi x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). Și acum unul dintre ei, Sebastian van Strien de la Imperial College London, crede că are o dovadă a acestei proprietăți pentru o clasă și mai largă de ecuații numite funcții analitice reale, care includ funcții sinus, cosinus și exponențiale. Van Strien speră să anunțe rezultatul în mai. Dacă va rezista după evaluarea inter pares, va marca un progres major în caracterizarea modului în care se comportă sistemele unidimensionale reale.

Intersecții puțin probabile și covrigi de entropie

Există o infinitate de ecuații pătratice reale care, atunci când sunt iterate de la zero, se știe că ajung să producă un ciclu repetat de numere. Dar dacă restricționezi c la valorile raționale — cele care pot fi scrise ca fracții — doar trei valori generează în cele din urmă secvențe periodice: 0, –1 și –2. „Aceste sisteme dinamice sunt foarte, foarte speciale”, a spus Clayton Petsche de la Universitatea de Stat din Oregon.

In o hartie publicat anul trecut, Petsche and Chatchai Noytaptim de la Universitatea din Waterloo au demonstrat că sunt chiar mai speciali decât par la prima vedere. Matematicienii s-au uitat la numerele „total reale”, care sunt mai restrictive decât numerele reale, dar mai puțin restrictive decât cele raționale.

Dacă conectați un număr într-un polinom și obțineți o ieșire de zero, acel număr este o soluție sau rădăcină a polinomului. De exemplu, 2 este o rădăcină a lui f(x) = x² - 4, f(x) = x³ - 10x² + 31x – 30 și o infinitate de alte ecuații. Astfel de polinoame pot avea rădăcini care sunt reale sau rădăcini care sunt complexe. (De exemplu, rădăcinile lui x² + 1 sunt rădăcina pătrată a lui –1, scrisă ca i, și -i - ambele numere complexe.)

Un număr este total real dacă satisface o ecuație polinomială cu coeficienți întregi care are doar rădăcini reale. Toate numerele raționale sunt total reale, dar la fel sunt și unele numere iraționale. De exemplu, $latex sqrt{2}$ este total real, deoarece este o soluție pentru f(x) = x² – 2, care are doar rădăcini reale ($latex sqrt{2}$ și rădăcina sa „sora” $latex -sqrt{2}$). Dar rădăcina cubă a lui 2, $latex sqrt[3]{2}$, nu este total reală. Este o soluție pentru f(x) = x³ – 2, care are două rădăcini surori suplimentare, cunoscute și sub numele de conjugate Galois, care sunt complexe.

Petsche și Noytaptim au demonstrat că nu există numere iraționale total reale care să producă în cele din urmă cicluri periodice. Mai degrabă, 0, –1 și –2 sunt singurele numere total reale care fac acest lucru. Ele reprezintă o intersecție puțin probabilă între proprietăți din două lumi aparent diferite - teoria numerelor (studiul numerelor întregi) și sistemele dinamice. Petsche și Noytaptim au folosit rezultate importante din teoria numerelor în demonstrarea lor, evidențiind legătura dintre cele două domenii.

Matematicienii Xavier Buff și Sarah Koch găsit o altă intersecție puțin probabilă. Ei au arătat că doar patru valori total reale ale c — 1/4, –3/4, –5/4 și –7/4 — generează secvențe de un anumit tip, bine înțeles, numit ciclu parabolic.

Conjugatele Galois au deschis, de asemenea, calea către descoperirea unui obiect misterios numit „entropie bagel”, un inel fractal strălucitor în planul complex. Entropia este o măsură a aleatoriei; în acest context, măsoară cât de dificil este să prezici succesiunea de numere generate prin iterare x² + c. În ultima lucrare pe care a scris-o înainte de a muri în 2012, renumitul topolog William Thurston a reprezentat grafic setul de valori de entropie care corespunde la aproape un miliard de valori reale diferite ale c — împreună cu conjugatele Galois ale acelor valori de entropie, care pot fi complexe. Noțiunea de entropie „este doar pe linia reală, dar cumva încă poți vedea această umbră a lumii complexe”, a spus Tiozzo.

„Vedeți că acest lucru se organizează în această structură fractală incredibilă”, a spus Koch. "E atât de cool." Entropia covrigi este doar un model foarte complicat care reiese din iterarea ecuațiilor pătratice reale. „Încă învățăm toate aceste afirmații magice – mici pietre prețioase – despre polinoamele pătratice reale”, a adăugat ea. „Poți oricând să te întorci și să fii surprins de acest lucru pe care credeai că îl știi extrem de bine.”