Cât de mare este infinitul?

La sfârșitul blockbuster-ului Marvel Avengers: Endgame, o hologramă preînregistrată a lui Tony Stark își ia rămas bun de la mica sa fiică spunând: „Te iubesc 3,000”. Momentul emoționant face ecoul unei scene anterioare în care cei doi sunt angajați în ritualul jucăuș de culcare de a-și cuantifica dragostea unul față de celălalt. Potrivit lui Robert Downey Jr., actorul care îl interpretează pe Stark, replica a fost inspirată din schimburi similare cu proprii săi copii.

Jocul poate fi o modalitate distractivă de a explora numere mari:

„Te iubesc 10.”

„Dar te iubesc 100.”

„Ei bine, te iubesc 101!”

Tocmai așa a devenit „googolplex” un cuvânt popular în casa mea. Dar știm cu toții unde duce acest argument în cele din urmă:

„Te iubesc infinit!”

"Oh da? Te iubesc infinitul plus 1!”

Fie că este pe locul de joacă sau la culcare, copiii întâlnesc conceptul de infinit cu mult înainte de cursul de matematică și, în mod înțeles, dezvoltă o fascinație pentru acest concept misterios, complicat și important. Unii dintre acești copii cresc pentru a deveni matematicieni fascinați de infinit, iar unii dintre acești matematicieni descoperă lucruri noi și surprinzătoare despre infinit.

Poate știi că unele seturi de numere sunt infinit de mari, dar știai că unele infinite sunt mai mari decât altele? Și că nu suntem siguri dacă mai există și alte infinitate între cele două pe care le cunoaștem cel mai bine? Matematicienii s-au gândit la această a doua întrebare de cel puțin un secol, iar unele lucrări recente au schimbat modul în care oamenii gândesc despre această problemă.

Pentru a aborda întrebările despre dimensiunea seturilor infinite, să începem cu seturi care sunt mai ușor de numărat. O mulțime este o colecție de obiecte sau elemente, iar o mulțime finită este doar o mulțime care conține un număr finit de obiecte.

Determinarea dimensiunii unei mulțimi finite este ușoară: numărați doar numărul de elemente pe care le conține. Deoarece setul este finit, știi că în cele din urmă nu vei mai număra, iar când ai terminat, știi dimensiunea setului tău.

Această strategie nu funcționează cu seturi infinite. Iată setul de numere naturale, care se notează ℕ. (Unii ar putea argumenta că zero nu este un număr natural, dar această dezbatere nu afectează investigațiile noastre asupra infinitului.)

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$

Care este dimensiunea acestui set? Deoarece nu există cel mai mare număr natural, încercarea de a număra numărul de elemente nu va funcționa. O soluție este să declari pur și simplu dimensiunea acestui set infinit ca fiind „infinit”, ceea ce nu este greșit, dar când începi să explorezi alte seturi infinite, realizezi că nici nu este chiar corect.

Luați în considerare mulțimea numerelor reale, care sunt toate numerele exprimabile într-o expansiune zecimală, cum ar fi 7, 3.2, −8.015, sau o expansiune infinită precum $latexsqrt{2} = 1.414213…$. Deoarece fiecare număr natural este, de asemenea, un număr real, mulțimea realelor este cel puțin la fel de mare ca și mulțimea numerelor naturale și, prin urmare, trebuie să fie și infinită.

Dar există ceva nesatisfăcător în declararea mărimii setului de numere reale ca fiind același „infinit” folosit pentru a descrie dimensiunea numerelor naturale. Pentru a vedea de ce, alegeți oricare două numere, cum ar fi 3 și 7. Între aceste două numere vor exista întotdeauna un număr finit de numere naturale: Aici sunt numerele 4, 5 și 6. Dar vor exista întotdeauna infinit de numere reale între ele, numere. cum ar fi 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666... ​​și așa mai departe.

Destul de remarcabil, indiferent cât de aproape sunt două numere reale distincte unul de celălalt, vor exista întotdeauna infinite de numere reale între ele. În sine, acest lucru nu înseamnă că mulțimile numerelor reale și ale numerelor naturale au dimensiuni diferite, dar sugerează că există ceva fundamental diferit la aceste două mulțimi infinite care merită investigații suplimentare.

Matematicianul Georg Cantor a investigat acest lucru la sfârșitul secolului al XIX-lea. El a arătat că aceste două seturi infinite au într-adevăr dimensiuni diferite. Pentru a înțelege și a aprecia cum a făcut asta, mai întâi trebuie să înțelegem cum să comparăm seturi infinite. Secretul este un element de bază al orelor de matematică de peste tot: funcțiile.

Există o mulțime de moduri diferite de a gândi funcții — notație de funcții cum ar fi $latex f(x) = x^2 +1$, grafice ale parabolelor în planul cartezian, reguli precum „luați intrarea și adăugați 3 la ea” — dar aici ne vom gândi la o funcție ca la o modalitate de a potrivi elementele unui set cu elementele altuia.

Să considerăm că una dintre acele seturi este ℕ, mulțimea numerelor naturale. Pentru celălalt set, pe care îl vom numi S, vom lua toate numerele naturale pare. Iată cele două seturi ale noastre:

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $latex S= {0,2,4,6,8,…}$

Există o funcție simplă care transformă elementele lui ℕ în elementele lui S: $latex f(x) = 2x$. Această funcție pur și simplu își dublează intrările, așa că dacă ne gândim la elementele lui ℕ ca la intrările $latex f(x)$ (numim setul de intrări ale unei funcții „domeniu”), ieșirile vor fi întotdeauna elemente ale S. De exemplu, $latex f(0)=0$, $latex f(1) = 2$, $latex f(2) = 4$, $latex f(3) = 6$ și așa mai departe.

Puteți vizualiza acest lucru prin alinierea elementelor celor două seturi una lângă alta și folosind săgeți pentru a indica modul în care funcția $latex f$ transformă intrările din ℕ în ieșiri în S.

Observați cum $latex f(x)$ atribuie exact un element al S la fiecare element din ℕ. Asta fac funcțiile, dar $latex f(x)$ o face într-un mod special. În primul rând, $latex f$ atribuie totul în S la ceva în ℕ. Folosind terminologia funcției, spunem că fiecare element al S este „imaginea” unui element de ℕ sub funcția $latex f$. De exemplu, numărul par 3,472 este în S, și putem găsi un x în ℕ astfel încât $latex f(x) = 3,472$ (și anume 1,736). În această situație spunem că funcția $latex f(x)$ se mapează pe ℕ S. Un mod mai sofisticat de a spune este că funcția $latex f(x)$ este „surjectivă”. Oricum ai descrie-o, ceea ce este important este următorul: deoarece funcția $latex f(x)$ transformă intrările de la ℕ în ieșiri în S, nimic in S este ratat în proces.

Al doilea lucru special despre modul în care $latex f(x)$ alocă ieșirile intrărilor este că nu există două elemente din ℕ transformate în același element în S. Dacă două numere sunt diferite, atunci dublurile lor sunt diferite; 5 și 11 sunt numere naturale diferite în ℕ, iar rezultatele lor în S sunt de asemenea diferite: 10 și 22. În acest caz spunem că $latex f(x)$ este „1-to-1” (scris și „1-1”), și descriem $latex f(x)$ ca „injectiv”. Cheia aici este că nimic înăuntru S este folosit de două ori: Fiecare element din S este asociat cu un singur element în ℕ.

Aceste două caracteristici ale $latex f(x)$ se combină într-un mod puternic. Funcția $latex f(x)$ creează o potrivire perfectă între elementele lui ℕ și elementele lui S. Faptul că $latex f(x)$ este „pe” înseamnă că totul în S are un partener în ℕ, iar faptul că $latex f(x)$ este 1-la-1 înseamnă că nimic din S are doi parteneri în ℕ. Pe scurt, funcția $latex f(x)$ îmbină fiecare element al lui ℕ cu exact un element al S.

O funcție care este atât injectivă, cât și surjectivă se numește bijecție, iar o bijecție creează o corespondență 1-la-1 între cele două mulțimi. Aceasta înseamnă că fiecare element dintr-un set are exact un partener în celălalt set și aceasta este o modalitate de a arăta că două seturi infinite au aceeași dimensiune.

Deoarece funcția noastră $latex f(x)$ este o bijecție, aceasta arată că cele două mulțimi infinite ℕ și S au aceeasi dimensiune. Acest lucru ar putea părea surprinzător: la urma urmei, fiecare număr natural par este el însuși un număr natural, așa că ℕ conține totul în S și altele. Nu ar trebui să facă ℕ mai mare decât S? Dacă am avea de-a face cu mulțimi finite, răspunsul ar fi da. Dar un set infinit poate conține complet altul și pot avea în continuare aceeași dimensiune, așa cum „infinitul plus 1” nu este de fapt o cantitate mai mare de dragoste decât „infinitul” vechi. Aceasta este doar una dintre multele proprietăți surprinzătoare ale seturilor infinite.

O surpriză și mai mare poate fi faptul că există seturi infinite de dimensiuni diferite. Mai devreme am explorat diferitele naturi ale mulțimilor infinite de numere reale și naturale, iar Cantor a demonstrat că aceste două mulțimi infinite au dimensiuni diferite. A făcut asta cu argumentul său strălucit și faimos, diagonal.

Întrucât există infinit de numere reale între oricare două reale distincte, să ne concentrăm pentru moment pe infinitul de numere reale dintre zero și 1. Fiecare dintre aceste numere poate fi gândit ca o expansiune zecimală (posibil infinită), ca aceasta.

Aici $latex a_1, a_2, a_3$ și așa mai departe sunt doar cifrele numărului, dar vom cere ca nu toate cifrele să fie zero, astfel încât să nu includem numărul zero în setul nostru.

Argumentul diagonal începe în esență cu întrebarea: Ce s-ar întâmpla dacă ar exista o bijecție între numerele naturale și aceste numere reale? Dacă ar exista o astfel de funcție, cele două mulțimi ar avea aceeași dimensiune și ați putea folosi funcția pentru a potrivi fiecare număr real între zero și 1 cu un număr natural. Vă puteți imagina o listă ordonată a potrivirilor, ca aceasta.

Geniul argumentului diagonal este că poți folosi această listă pentru a construi un număr real care nu poate fi pe listă. Începeți să construiți un număr real cifră cu cifră în felul următor: Faceți din prima cifră după virgulă ceva diferit de $latex a_1$, faceți a doua cifră diferită de $latex b_2$, faceți a treia cifră diferită de $latex c_3 $ și așa mai departe.

Acest număr real este definit prin relația sa cu diagonala listei. Este pe lista? Nu poate fi primul număr din listă, deoarece are o altă cifră. Nici nu poate fi al doilea număr din listă, deoarece are o a doua cifră diferită. De fapt, nu poate fi nal-lea număr din această listă, pentru că are un alt na-a cifră. Și acest lucru este adevărat pentru toți n, deci acest număr nou, care este între zero și 1, nu poate fi pe listă.

Dar toate numerele reale între zero și 1 trebuiau să fie pe listă! Această contradicție rezultă din presupunerea că există o bijecție între numerele naturale și reale între zero și 1, deci nu poate exista o astfel de bijecție. Aceasta înseamnă că aceste seturi infinite au dimensiuni diferite. Un pic mai mult de lucru cu funcțiile (vezi exercițiile) poate arăta că mulțimea tuturor numerelor reale are aceeași dimensiune cu mulțimea tuturor numerelor reale între zero și 1 și, deci, realele, care conțin numerele naturale, trebuie să fie un set infinit mai mare.

Termenul tehnic pentru dimensiunea unui set infinit este „cardinalitatea” acestuia. Argumentul diagonal arată că cardinalitatea realelor este mai mare decât cardinalitatea numerelor naturale. Cardinalitatea numerelor naturale se scrie $latex aleph_0$, pronunțat „aleph naught”. Într-o viziune standard a matematicii, acesta este cel mai mic cardinal infinit.

Următorul cardinal infinit este $latex aleph_1$ („aleph unu”), iar o întrebare simplă i-a derutat pe matematicieni de mai bine de un secol: $latex aleph_1$ este cardinalitatea numerelor reale? Cu alte cuvinte, există alte infinitate între numerele naturale și numerele reale? Cantor a crezut că răspunsul a fost nu - o afirmație care a ajuns să fie cunoscută sub numele de ipoteza continuumului — dar nu a fost în stare să demonstreze asta. La începutul anilor 1900, această întrebare a fost considerată atât de importantă încât, atunci când David Hilbert a pus la punct faimoasa sa listă de 23 de probleme deschise importante din matematică, ipoteza continuumului a fost numărul unu.

O sută de ani mai târziu, s-au făcut multe progrese, dar acest progres a dus la noi mistere. În 1940 celebrul logician Kurt Gödel a dovedit că, în conformitate cu regulile general acceptate ale teoriei mulțimilor, este imposibil să se demonstreze că există o infinitate între cea a numerelor naturale și cea a realelor. Acesta ar putea părea un pas mare spre a demonstra că ipoteza continuumului este adevărată, dar două decenii mai târziu, matematicianul Paul Cohen s-au dovedit că e imposibil să demonstrezi că un asemenea infinit nu există! Se pare că ipoteza continuumului nu poate fi dovedită într-un fel sau altul.

Împreună, aceste rezultate au stabilit „independența” ipotezei continuumului. Aceasta înseamnă că regulile de mulțimi acceptate în mod obișnuit nu spun suficient pentru a ne spune dacă există sau nu o infinitate între numerele naturale și reale. Dar, în loc să-i descurajeze pe matematicieni în căutarea lor de a înțelege infinitul, i-a condus în direcții noi. Matematicienii caută acum noi reguli fundamentale pentru mulțimi infinite care să explice ceea ce se știe deja despre infinit și să ajute la completarea golurilor.

A spune „Dragostea mea pentru tine este independentă de axiome” poate să nu fie la fel de distractiv ca și a spune „Te iubesc infinitul plus 1”, dar poate că va ajuta următoarea generație de matematicieni iubitori de infinit să aibă un somn bun.

Exerciții

1. Fie $latex T = {1,3,5,7,…}$, mulțimea numerelor naturale impare pozitive. Este T mai mare decât, mai mic decât sau de aceeași dimensiune cu ℕ, mulțimea de numere naturale?

2. Găsiți o corespondență 1 la 1 între mulțimea numerelor naturale, ℕ, și mulțimea numerelor întregi $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}$.

3. Găsiți o funcție $latex f(x)$ care este o bijecție între mulțimea numerelor reale între zero și 1 și mulțimea numerelor reale mai mari decât zero.

4. Găsiți o funcție care este o bijecție între mulțimea numerelor reale între zero și 1 și mulțimea tuturor numerelor reale.

Faceți clic pentru răspunsul 1:

Faceți clic pentru răspunsul 2:

Faceți clic pentru răspunsul 3:

Faceți clic pentru răspunsul 4: