Cum poate cineva să vorbească cu certitudine despre infinit? Ce putem ști cu adevărat despre numerele prime misterioase fără să le cunoaștem pe toate? Așa cum oamenii de știință au nevoie de date pentru a-și evalua ipotezele, matematicienii au nevoie de dovezi pentru a dovedi sau infirma presupunerile. Dar ce contează drept dovezi în domeniul intangibil al teoriei numerelor? În acest episod, Steven Strogatz vorbește cu Melanie Matchett Wood, profesor de matematică la Universitatea Harvard, pentru a afla cum probabilitatea și aleatorietatea pot ajuta la stabilirea dovezilor pentru argumentele etanșe cerute de matematicieni.
Ascultă Podcast-uri Apple, Spotify, Podcast-uri Google, stitcher, TuneIn sau aplicația ta de podcasting preferată, sau poți transmite-l de la Cuante.
Copie
Steven Strogatz (00:02): Eu sunt Steve Strogatz și asta este Bucuria de ce, un podcast de la Revista Quanta care te duce la unele dintre cele mai mari întrebări fără răspuns din matematică și știință astăzi. În acest episod, vom vorbi despre dovezi în matematică. Ce tipuri de dovezi folosesc matematicienii? Ce îi face să bănuiască că ceva ar putea fi adevărat, înainte de a avea o dovadă etanșă?
(00:26) S-ar putea să sune ca un paradox, dar se dovedește că raționamentul bazat pe teoria probabilității, studiul întâmplării și ale aleatoriei, poate duce uneori la ceea ce urmăresc matematicienii cu adevărat, care este certitudinea, nu doar probabilitatea. De exemplu, în ramura matematicii cunoscută sub numele de teoria numerelor, există o lungă istorie în utilizarea aleatoriei pentru a ajuta matematicienii să ghicească ce este adevărat. Acum, probabilitatea este folosită pentru a-i ajuta să demonstreze ce este adevărat.
(00:53) Ne vom concentra aici pe numere prime. Probabil vă amintiți numerele prime, nu? Ai aflat despre ei la școală. Un număr prim este un număr întreg mai mare decât 1, care poate fi împărțit doar la 1 și la el însuși. De exemplu, 7 sau 11. Acestea sunt numere prime, dar 15 nu este pentru că 15 poate fi împărțit egal la 3 sau la 5. Ați putea crede că numerele prime sunt un fel ca elementele din tabelul periodic al chimiei, în sensul că sunt atomii indivizibili care alcătuiesc toate celelalte numere.
(01:27) Numerele prime par să fie simple, dar unele dintre cele mai mari mistere în matematică sunt întrebările despre numerele prime. În unele cazuri, întrebări care există de sute de ani. Există într-adevăr ceva foarte subtil în ceea ce privește numerele prime. Ei par să trăiască într-o zonă de graniță între ordine și aleatoriu. Invitatul meu de astăzi ne va ajuta să înțelegem mai multe despre natura dovezilor în matematică și, mai ales, cum și de ce aleatorietatea ne poate spune atât de multe despre numerele prime și de ce modelele bazate pe probabilitate pot fi atât de utile la vârful teoriei numerelor. Melanie Matchett Wood, profesor de matematică la Universitatea Harvard, mi se alătură acum pentru a discuta despre toate acestea. Bine ai venit, Melanie!
Melanie Matchett Wood (02:09): Bună, mă bucur să vorbesc cu tine.
Strogatz (02:11): E foarte bine să vorbesc cu tine, sunt un mare fan. Să vorbim despre matematică și știință în relație între ele, deoarece cuvintele sunt adesea folosite împreună, și totuși tehnicile pe care le folosim pentru a ajunge la dovezi și certitudine în matematică sunt oarecum diferite de ceea ce încercăm să facem în știință. De exemplu, când vorbim despre strângerea dovezilor în matematică, cum este la fel sau cum este diferită de strângerea dovezilor prin metoda științifică în știință?
Lemn (02:38): O dovadă matematică este un argument logic complet etanș, conform căruia unele afirmații matematice trebuie să fie așa și nu ar putea fi altfel. Deci, spre deosebire de o teorie științifică - care poate fi cea mai bună pe care o avem pe baza dovezilor pe care le avem astăzi, dar vom obține mai multe dovezi, știți, în următorii 10 ani și poate că va exista o nouă teorie - o dovadă matematică spune că o afirmație trebuie să fie așa, nu putem descoperi că va fi greșită peste 10 sau 20 de ani.
Strogatz (03:17): Ei bine, ce fel de lucruri contează drept dovezi în matematică?
Lemn (03:19): Deci s-ar putea să vedeți că ceva este adevărat în multe exemple. Și pe baza faptului că este adevărat într-o mulțime de exemple, despre care poate ați putea spune că ar fi o dovadă pentru acest fapt, ai putea face o presupunere, ceea ce matematicienii ar numi o presupunere, o presupunere că ceva este adevărat. Dar apoi, ceea ce și-ar dori matematicienii ar fi o dovadă că acel lucru pe care l-ai văzut a funcționat în atâtea exemple va funcționa întotdeauna așa cum ai susținut.
Strogatz (03:49): Corect, foarte diferit de doar greutatea dovezilor. Aceasta este o afirmație că există un motiv pentru care ceva va fi adevărat pentru totdeauna, pentru tot timpul, în fiecare caz.
Lemn (03:58): Și nu doar „oh, bine, m-am uitat la un milion de cazuri și este adevărat în fiecare dintre ele.” Ceea ce este un motiv pentru a ghici sau a presupune că este întotdeauna adevărat. Dar în matematică, facem o distincție între o astfel de presupunere care s-ar putea baza pe o mulțime de cazuri sau dovezi și a avea o teoremă sau o demonstrație, un argument care îți spune că va funcționa în fiecare caz, chiar și în cele pe care le ai nu am incercat.
Strogatz (04:25): Acum, doar că matematicienii sunt pretențioși din fire sau există cazuri în care ceva care părea adevărat, până la un număr foarte mare de posibilități, a ajuns să nu fie adevărat dincolo de un alt număr mare? ?
Lemn (04:39): Oh, asta e o întrebare grozavă. Ei bine, iată un exemplu care îmi place, pentru că îmi plac numerele prime. Așadar, pe măsură ce parcurgeți numerele prime - 2, 3, 5, 7 - unul dintre lucrurile pe care le-ați putea face, ați putea să vă uitați și să spuneți: „hei, sunt ele divizibile cu 2?” Și asta se dovedește a nu fi foarte interesant. După 2, niciunul dintre ei nu este divizibil cu 2. Sunt toate, toate sunt impare.
(05:10) Și atunci s-ar putea să vă gândiți: „Ei bine, sunt divizibili cu 3?” Și bineînțeles că după 3 nu pot fi divizibile nici cu 3, deoarece sunt numere prime. Cu toate acestea, s-ar putea să observați că unii dintre ei, când le împărțiți la 3, obțineți un rest de 1, că sunt cu 1 mai mult decât un multiplu de 3. Deci lucruri precum 7, care este 1 mai mult decât 6, sau 13. , care este cu 1 mai mult decât 12. Și unele dintre acele numere prime, cum ar fi 11 sau 17, care este 2 mai mult decât 15, vor avea un rest de 2 când le împărțiți la 3, pentru că sunt cu 2 mai mult decât un multiplu de 3.
(05:47) Și așa te poți gândi la aceste prime în echipe. Echipa 1 este toate cele care sunt cu 1 mai mult decât un multiplu de 3 și Echipa 2 sunt toate cele care sunt cu 2 mai mult decât un multiplu de 3. Și pe măsură ce parcurgeți numerele prime și enumerați primele, ați putea enumera toate numerele prime și ați putea să vă numărați și să vedeți câți sunt în Echipa 1 și câți sunt în Echipa 2. Și dacă ați face acest număr de până la 600 de miliarde, la fiecare punct, fiecare număr de până la 600 de miliarde, ați găsi că există mai multe numere prime ale echipei 2 decât prime ale echipei 1. Deci, ați putea presupune în mod natural, pe baza acestor dovezi, că vor exista întotdeauna mai multe numere prime ale echipei 2 decât prime ale echipei 1.
Strogatz (06:33): Sigur. Sună în totalitate.
Lemn: Se pare că la un număr în jur de 608 de miliarde de ceva, uit numărul exact, se schimbă.
Strogatz (06:46): Oh, haide.
Lemn: Da, chiar se schimbă. Și acum, dintr-o dată, echipa 1 este în frunte. Deci, acesta este un -
Strogatz (06:53): Așteaptă puțin. Stai, dar asta este uimitor. Ce - acum, se continuă să se schimbe? Știm ce se întâmplă pe măsură ce continui? Se tot schimba?
Lemn (07:01): Da, grozavă întrebare. Deci, într-adevăr, este o teoremă că ei vor schimba pistele infinit de des.
Strogatz (07:07): Serios?
Lemn: Deci vor continua să facă schimb de clienți potențiali. Dar este un exemplu grozav pe care să-l păstrezi în mintea ta când studiezi numere prime, că doar pentru că ceva a fost adevărat pentru primele 600 de miliarde de cazuri nu înseamnă că va fi întotdeauna adevărat.
Strogatz (07:25): Oh, wow. Grozav. Bine. Deci, ca în general, cum treci de la o presupunere la o dovadă?
Lemn (07:31): Depinde foarte mult de caz. Adică, există multe cazuri de matematică în care avem presupuneri și nu avem dovezi. Deci nu există o rețetă simplă pentru a trece de la o presupunere la o dovadă, altfel nu am avea atât de multe probleme celebre deschise în care, știi, există unele - unele presupuneri că oamenii cred că ceva funcționează într-un anumit fel, dar noi nu nu o stiu sigur. Dar, știi, uneori conjectura ar putea sugera motive pentru care ceva este adevărat. Uneori este vorba doar de teorie matematică, care se bazează pe tot mai multă teorie matematică pe care oamenii au dezvoltat-o de sute de ani, ne oferă suficiente instrumente și structură cu care să lucrăm pentru a înțelege lucruri pe care le-am găsit cu o dovadă. Dar nu este că presupunerea conduce neapărat la dovadă. Conjectura ar putea inspira oamenii să încerce să găsească dovada, dar modul în care se realizează demonstrarea poate fi complet separat de conjectura însăși.
Strogatz (08:31): Da, sunt interesat să enumerez sau să enumerez tipurile de dovezi care nu ajung la o dovadă, care îi determină pe oameni să aibă încrederea că merită să încerce să caute o dovadă.
Lemn (08:41): Da, un alt lucru pe care l-am putea numi drept dovezi care nu sunt doar exemple ar fi o euristică. O euristică ar putea fi ceva ca un argument, cu excepția unui standard de rigoare mult mai scăzut. E ca și cum, ți se pare în regulă? Nu „am stabilit cu siguranță acest fapt dincolo de orice umbră de îndoială?” dar „fa asta – da, pare destul de plauzibil”. Deci, o euristică ar putea fi o linie de raționament care pare destul de plauzibilă, știi, dar nu este de fapt un argument riguros. Deci acesta este un fel de dovadă.
(09:12) Uneori s-ar putea să aibă un model despre care credem că surprinde elementele esențiale ale sistemului matematic pe care încercăm să-l înțelegem și atunci ai presupune că sistemul tău are același comportament ca modelul tău.
Strogatz (09:30): Bine. La un moment dat, vreau să aud câteva exemple de modele și presupuneri și, știi, în ce măsură funcționează sau nu funcționează la unele întrebări sau nu la altele, dar, dacă nu te superi, aș Îmi place să mă întorc doar la câteva lucruri personale, pentru că vorbim aici despre numere, iar tu ești un teoretician al numerelor. Este posibil ca oamenii să nu cunoască mulți teoreticieni ai numerelor în viața lor de zi cu zi. Deci, mă întreb dacă ați putea să ne spuneți ce este teoria numerelorși, de asemenea, de ce vi se pare interesant? De ce ai venit să-l studiezi?
Lemn (10:02) Ei bine, teoria numerelor este studiul matematic al numerelor întregi. Deci, gândiți-vă la 1, 2, 3, 4, 5. Și, în special, unul dintre lucrurile importante în numerele întregi sunt numerele prime. După cum ați explicat, chiar de la început, ele sunt blocurile din care putem, prin multiplicare, să construim toate celelalte numere. Deci, deoarece teoria numerelor se preocupă de toate aceste numere întregi, este, de asemenea, preocupată de blocurile lor de construcție, numerele prime și modul în care alte numere se transformă în numere prime și cum sunt construite din numere prime.
Strogatz (10:37): Deci, teoria numerelor, pentru scopurile noastre de astăzi, cred că va fi studiul numerelor întregi, cu un interes deosebit pentru numerele prime. Pare un început destul de bun. Presupun că este mai mult decât atât. Dar poate că aceasta este o definiție bună pentru noi acum. Crezi asta?
Lemn (10:50): Ăsta e un început bun. Adică, de acolo, se explorează mai multe lucruri, cum ar fi, ei bine, ce se întâmplă dacă începeți să luați în considerare sisteme de numere care sunt mai complicate decât numerele întregi? Așa cum începeți să introduceți alte numere, cum ar fi rădăcina pătrată a lui 2, atunci ce se întâmplă cu numerele prime și cu factorizarea? Veți fi condus la alte întrebări. Dar sincer, există o mulțime de matematică bogată și frumoasă doar în numerele întregi și în numerele prime.
Strogatz (11:16): Deci, având în vedere asta, de ce vi se pare convingător? De ce vă place studiul teoriei numerelor? Ce te-a atras la asta?
Lemn (11:22): Cred că îmi place că întrebările pot fi atât de concrete. Știi, mă duc și vorbesc cu copiii din școala elementară. Și le pot spune despre, știi, câteva dintre lucrurile la care... la care mă gândesc. Deci, este distractiv pentru mine să lucrez la ceva care, pe de o parte, întrebările pot fi atât de concrete, dar, pe de altă parte, puzzle-ul încercării de a-l rezolva poate fi atât de dificil. Adică, oamenii au încercat să răspundă la întrebări despre numerele întregi, despre numere prime de literalmente mii de ani.
(11:54) Și există o mulțime de ramuri ale matematicii. Una dintre părțile importante ale teoriei numerelor moderne este că, pentru a face progrese cu privire la aceste întrebări vechi, încăpățânate, la care oamenii au lucrat atât de mult, trebuie să aducem idei noi și trebuie să facem conexiuni cu alte părți ale matematicii. Așa că, deși m-aș numi un teoretician al numerelor, folosesc matematica din toate tipurile diferite de domenii. De la studiul, știți, geometria și topologia și formele spațiilor până la probabilitate și studierea aleatoriei. Folosesc tot felul de matematică, dar pentru a încerca să spun ceva despre lucruri precum numerele întregi și numere prime și factorizare.
Strogatz (12:36): Da, îmi place acea viziune a matematicii ca această rețea uriașă de idei interconectate și îți poți dori să trăiești într-o anumită parte a ei care este preferata ta. Dar ați menționat numerele prime ca fiind un domeniu special de interes în teoria numerelor, cea mai fundamentală parte a acesteia, într-adevăr. Ce e greu la ei? Încă nu este clar, în discuția noastră, ce e așa de misterios acolo? După cum le-am definit, probabil că am putea continua să le enumeram, presupun. Care sunt unele dintre acele probleme la care te referi și care sunt vechi de sute de ani?
Lemn (13:05): Ei bine, una dintre cele mai mari și mai importante întrebări, care are poate aproximativ 120 de ani sau cam asa ceva, este, ați spus, „oh, ați putea să le enumerați. Dacă ai face asta, câți ai găsi?” Deci, să presupunem că ați enumerat numerele prime, până la o sută, sau o mie, sau o sută de mii, sau un milion, un miliard. Pe măsură ce enumerați numere prime până la numere din ce în ce mai mari, câte dintre acele numere prin care treceți vor fi de fapt prime? Deci, înțelegerea acestei cantități este cu adevărat inima ipoteza Riemann, care este unul din Institutul Clay Math Probleme ale Premiului Mileniului, există un premiu de un milion de dolari pentru un răspuns. Este una dintre cele mai faimoase întrebări și nu avem idee cum să o facem, și într-adevăr este vorba doar despre întrebarea, când enumerați acele numere prime, câte veți găsi?
Strogatz (13:58): Bine. Este amuzant, nu? Pentru că, pe măsură ce începi să faci lista, chiar dacă cineva tocmai a început să enumere la întâmplare numerele care sunt prime până la 100 — observi câteva lucruri amuzante. Ca, la început, 11 și 13, sunt la 2 distanță. Cincisprezece, ei bine, asta nu funcționează, pentru că este divizibil cu 5 și 3. Apoi 17, deci acum e un decalaj de 4, între 13 și 17. Dar apoi 19 este din nou aproape. Nu știu, vreau să spun, așa că distanța dintre numere prime poate fi oarecum neplăcută. Ca și cum uneori există un decalaj destul de mare acolo, iar uneori sunt chiar unul lângă celălalt, la doar 2 distanță.
Lemn (14:31): Da, deci înțelegerea că spațierea și acele goluri a fost, de asemenea, o mare problemă de interes. S-au înregistrat progrese remarcabile în ultimul deceniu în înțelegerea distanței dintre numere prime. Dar există încă o întrebare de bază cu adevărat tentantă la care nu știm răspunsul. Așa că ați menționat că aceste numere prime, 11 și 13, sunt doar la 2. Astfel de numere prime se numesc prime gemene. Nu ne-am putea aștepta ca numerele prime să se apropie mai mult de 2, deoarece după 2, toate trebuie să fie impare. Iată o întrebare deschisă în matematică, adică nu știm răspunsul și acesta este: Există infinit de perechi de numere prime gemene? Și aici, există o presupunere, presupunerea ar fi, da. Adică, nu numai că există o presupunere că „da, ar trebui să continue pentru totdeauna și ar trebui să fie întotdeauna mai multe”, dar există chiar și o presupunere despre câte vei găsi pe măsură ce mergi. Dar asta este complet deschis. Din câte știm, s-ar putea ca odată ce ajungi la un număr cu adevărat mare, ele pur și simplu se opresc și să nu mai găsești deloc perechi de numere prime gemene.
Strogatz (15:40): Există ceva foarte poetic în asta, emoționant, gândul că ar putea fi sfârșitul firului la un moment dat. Adică, probabil niciunul dintre noi nu crede asta. Dar e posibil, cred, e de imaginat că există o ultimă pereche de gemeni singuratici care se ghemuiesc în întuneric, acolo, știi, pe linia numerică.
Lemn (15:57): Da, ar putea exista. Și, știi, ca matematicieni, am spune, știi, nu știm. Chiar dacă ai putea face un grafic pe măsură ce mergi cu câte ai găsit, dacă trasezi acel grafic, se pare că cu siguranță crește și crește într-un ritm care nu s-ar întoarce niciodată. Dar cred că asta face parte din diferența dintre matematică și știință este că păstrăm acel scepticism și spunem, ei bine, nu știm. Adică, poate la un moment dat, graficul se întoarce și nu mai există.
Strogatz (16:29): Așa că — îmi place imaginea ta acolo a unui grafic, pentru că cred că toată lumea se poate raporta la această idee, de a face o diagramă, de a face un fel de grafic. Știi, gândindu-mă la numerele prime ca la un fel de date. Și, așadar, cred că acesta este poate un moment bun să ne întoarcem, să începem să vorbim despre teoria probabilității. Și pare puțin ciudat să vorbim despre probabilități și statistici în legătură cu numerele prime, pentru că nu există nicio șansă implicată aici. Primele sunt determinate de definiția pe care am dat-o, că nu sunt divizibile. Dar totuși, matematicienii și teoreticienii numerelor, ca și tine, au folosit argumente statistice sau probabilistice pentru a gândi numerele prime. Mă întreb dacă ai putea să schițezi așa ceva pentru mine folosind aruncarea monedelor și înapoi la — despre ce vorbeam la început, numere impare și numere pare.
Lemn (17:14): Bine. Deci, spre deosebire de numerele prime, înțelegem de fapt foarte bine modelul numerelor pare și impare. Ele merg impar, par, impar, par, desigur. Dar să presupunem că nu am înțeles acest tipar. Și folosim asta pentru a înțelege câte numere impare ai putea găsi dacă te-ai uita la toate numerele de până la un milion. Vă puteți imagina, deoarece există două posibilități, un număr ar putea fi impar sau un număr ar putea fi par, că poate cineva a mers și a aruncat o monedă pentru fiecare număr, iar dacă moneda a ieșit din cap, numărul era impar. Și dacă moneda ieșea în cozi, numărul era par. Așa că ai putea să-ți pui persoana care aruncă monede să meargă de-a lungul liniei numerice, aruncând o monedă la fiecare număr și vine, să zicem, să declare acel număr par sau impar.
(18:03) Acum, pe de o parte, asta e o prostie. Pe de altă parte, modelul de aruncare a monedelor va îndrepta unele lucruri. De exemplu, dacă spui, știi, aproximativ, câte dintre numerele de până la un milion sunt pare? Știm că, aproximativ, numărul de răsturnări de monede care, să zicem, vor apărea cozi, dacă faci un număr mare de răsturnări de monede, ca un milion, este de aproximativ jumătate din ele. Și așa, modelul acela, oricât de prost ar fi, încă poate face unele predicții corect. Și ar trebui să spun, asta poate suna prostesc, pentru că știm deja răspunsul la această întrebare. Ideea este că construim modele pentru modele mai complicate, cum ar fi unde apar numerele prime printre numere, în loc să apară doar cotele.
Strogatz (18:55): Da. Adică, cred că trebuie să subliniem asta - cât de profund sunt de misterioase numerele prime. Nu există o formulă pentru numerele prime, așa cum există o formulă pentru numerele impare. Ca și cum te gândești, oh, haide, asta este - vorbim cu adevărat despre lucruri absurde aici, este de fapt foarte valoros să avem aceste modele statistice care pot prezice proprietăți care sunt proprietăți medii. La fel ca analogul, jumătate din numere mai puțin decât un număr mare vor fi impare. Acesta este ceva care, în cazul primelor, este o întrebare foarte serioasă, interesantă. Ce fracție de numere mai mică decât un număr mare este prime? Și, după cum spuneți, puteți face un model statistic care să fie corect. Și apoi ce, același model poate fi folosit pentru a prezice apoi câte numere prime gemene ar fi mai puțin decât un număr mare? Același model face o treabă bună în acest caz?
Lemn (19:41): Deci, în cazul numerelor prime, dacă am construi un model - știți, și există un model pe care matematicienii îl folosesc numit modelul Cramér al primelor — dacă am construi un model de răsturnare de monede al numerelor prime în care ne imaginăm pe cineva mergând de-a lungul liniei numerice și la fiecare număr, știți, aruncând o monedă, să zicem, pentru a decide dacă acel număr este prim sau nu prim, am fi să încorporăm câte știm despre numerele prime în acel model. Deci, în primul rând, știm că numerele mari sunt mai puțin probabil să fie prime decât numerele mai mici. Deci acele monede ar trebui să fie cântărite. Și am - ar trebui să încercăm să introducem exact ponderile la care ne așteptăm. Și știm lucruri precum, nu poți avea două numere prime una lângă alta, pentru că unul dintre ele ar trebui să fie impar, iar unul dintre ele ar trebui să fie par. Așa că am pus asta în model. Și apoi sunt mai multe lucruri pe care le știm despre numere prime.
(20:37) Deci modelul este ceva care începe cu acest model de aruncare a monedelor, dar apoi este modificat de toate aceste reguli și de toate celelalte lucruri pe care le știm despre numerele prime. Și odată ce ai pus toate acele lucruri pe care le cunoaștem în model, atunci întrebi această răsturnare de monede, știi, model, ei bine, vezi, la infinit de des, monede care apar la doar 2? Și modelul îți spune, oh, da, vedem asta. De fapt, o vedem în acest ritm foarte special pentru care vă putem oferi o formulă. Și apoi, dacă reprezentați grafic numărul de numere prime gemene reale, în numerele reale, unde nu există monede răsturnate, față de ceea ce prezice modelul, vedeți că modelul vă oferă o predicție foarte precisă pentru numărul de perechi de prime gemene vei găsi pe măsură ce mergi. Și atunci te gândești, știi, că poate acest model știe despre ce vorbește.
Strogatz (21:31): E grozav. Adică, este destul de important, la ce tocmai am ajuns acolo, că — încă nu ai folosit cuvântul computere. Dar presupun că nu faci asta manual. Oamenii care listează prime gemene, nu știu, despre ce vorbim? trilioane trilioane trilioane? Adică, acestea sunt numere mari despre care vorbim, nu-i așa?
Lemn (21:49): Ei bine, pentru listarea primelor gemene, adică - ar fi făcută de computer, absolut. Dar pentru construirea acestui model și pentru a veni cu formula pe care o oferă modelul. Știi, asta se face manual, în esență, de către matematicieni care se gândesc la model și își dau seama cu el.
Strogatz (22:07): E atât de tare. Așa că acolo modelul își arată lucrurile, că modelul poate prezice de fapt ceea ce vede computerul. Și nu necesită un computer pentru a face această predicție. Acest lucru poate fi făcut manual, de oameni și poate duce de fapt la dovezi. Cu excepția faptului că sunt dovezi ale proprietăților modelului, nu neapărat încă dovezi ale lucrului care te interesează.
Lemn (22:28): Corect. Și la un moment dat, computerul se oprește. Știi, există doar atâta putere de calcul. Dar acea formulă pe care ai obține-o, pe care ți-ar da-o modelul, pe care ai putea-o dovedi este adevărată, din nou, despre această situație a modelului de aruncare a monedelor, acea formulă va continua. Puteți pune numere din ce în ce mai mari în această formulă, mult mai mari decât ar putea calcula vreodată computerul dvs.
Strogatz (22:53): Așa că ne-ați spus puțin despre modul în care aleatoritatea poate ajuta să oferim modele de fenomene interesante în teoria numerelor și sunt sigur că este adevărat și în alte părți ale matematicii. Există unele cazuri în care puteți folosi aleatoriu pentru a oferi dovezi reale, nu doar modele?
Lemn (23:10): Absolut. O altă ramură a matematicii se numește teoria probabilității. Și în teoria probabilității, ei demonstrează teoreme despre sisteme aleatoare și despre modul în care se comportă. Și ai putea crede că, ei bine, dacă începi cu ceva întâmplător și faci ceva cu el, vei avea întotdeauna ceva întâmplător. Dar unul dintre lucrurile remarcabil de frumoase pe care le găsești în teoria probabilității este că uneori poți obține ceva determinist din ceva întâmplător.
Strogatz (23:45): Ei bine, cum funcționează? Precum ce?
Lemn (23:48): Da. Deci ați văzut curba clopotului, sau distribuția normală, o numesc matematicienii. Apare peste tot în natură. Parcă pare dacă te uiți la tensiunea arterială a oamenilor, la greutatea copilului la naștere sau așa ceva. Și ați putea crede, oh, această curbă clopot, că aceasta este o, este un fapt al naturii. Dar, de fapt, există o teoremă, numită teorema limită centrală în teoria probabilității, care vă spune că, de fapt, această curbă clopot este într-un anumit sens, nu un fapt al naturii, ci un fapt al matematicii. Teorema limită centrală vă spune că, dacă combinați o grămadă de efecte aleatoare mici în mod independent, rezultatul acestora se va potrivi întotdeauna cu o anumită distribuție. Această formă, această curbă clopot. Matematica și teoria probabilității pot dovedi că, dacă ai — dacă combini o mulțime de lucruri mici aleatorii independente, rezultatul acestei combinații îți va oferi o distribuție care arată ca această curbă clopot. Și așa, chiar dacă nu știi cum au fost intrările. Și aceasta este o teoremă cu adevărat puternică și un instrument foarte puternic în matematică.
Strogatz (25:05): Da, cu siguranță este. Și mi-a plăcut accentul tău asupra faptului că nu trebuie să știi ce se întâmplă cu micile efecte. Că asta, cumva, este spălată. Aceste informații nu sunt necesare. Curba clopotului este previzibilă, chiar dacă nu știi care este natura efectelor mici. Atâta timp cât sunt mulți și sunt mici. Și nu se afectează unul pe celălalt, corect, sunt independenți, într-un fel.
Lemn (25:27): Da, absolut. Și deci aceasta este o idee, știi, uneori se numește universalitate în teoria probabilității, că există anumite tipuri de mașini pe care dacă introduci o mulțime de intrări aleatorii, poți prezice rezultatul. Ca, de exemplu, că ai obține această curbă clopot, sau această distribuție normală, chiar dacă nu știi ce ai pus în mașină. Și asta este incredibil de puternic când există lucruri pe care nu le înțelegem foarte bine, pentru că...
Strogatz (25:56): Dar deci, îmi spui — oh, îmi pare rău că te-am întrerupt — dar îmi spui că asta se întâmplă și în teoria numerelor acum? Că într-un fel înțelegem ideea universalității să apară în teoria numerelor? Sau visez?
Lemn (26:09): Ei bine, într-o oarecare măsură, aș spune că este un vis al meu care începe. Știi, doar că facem primii pași pentru a vedea că se realizează. Deci nu este doar visul tău, este și visul meu. O parte din munca pe care o fac astăzi și la care colaboratorii mei și cu mine lucrăm încearcă să transforme acest tip de vis în realitate, astfel încât, la unele dintre aceste întrebări uluitoare despre numere la care nu știm răspunsul, poate am putea înțelegeți că există modele care ies, ca o curbă clopot, ca o distribuție normală, despre care putem dovedi că au ieșit din mașină chiar dacă nu știm ce mistere au fost puse.
Strogatz (26:55): Ei bine, este o viziune foarte inspirată, palpitantă, de fapt, și sper că totul se va întâmpla. Mulțumim foarte mult că ai vorbit cu noi astăzi, Melanie.
Lemn (27:03): Mulțumesc. Asta a fost foarte distractiv.
crainic (27:06): Dacă îți place Bucuria de ce, verificați Podcast Știință Magazine Quanta, găzduită de mine, Susan Valot, unul dintre producătorii acestei emisiuni. De asemenea, spune-le prietenilor tăi despre acest podcast și dă-ne un like sau urmărește unde asculți. Ajută oamenii să găsească Bucuria de ce Podcast.
Strogatz (27: 26): Bucuria de ce este un podcast de la Revista Quanta, o publicație independentă din punct de vedere editorial susținută de Fundația Simons. Deciziile de finanțare ale Fundației Simons nu au nicio influență asupra selecției subiectelor, invitaților sau altor decizii editoriale în acest podcast sau în Revista Quanta. Bucuria de ce este produs de Susan Valot și Polly Stryker. Editorii noștri sunt John Rennie și Thomas Lin, cu sprijinul lui Matt Carlstrom, Annie Melchor și Leila Sloman. Tema noastră muzicală a fost compusă de Richie Johnson. Logo-ul nostru este de Jackie King, iar opera de artă pentru episoade este de Michael Driver și Samuel Velasco. Sunt gazda ta, Steve Strogatz. Dacă aveți întrebări sau comentarii pentru noi, vă rugăm să ne trimiteți un e-mail la quanta@simonsfoundation.org. Mulțumesc pentru ascultare.
