Cât de simplă mișcă matematica acul | Revista Quanta

Imaginează-ți că mergi pe stradă într-o mașină fără șofer când vezi o problemă în față. Un șofer de livrare Amazon și-a luat duba la jumătatea drumului pe lângă un camion UPS cu parcare dublă înainte de a realiza că nu putea trece. Acum sunt blocați. Asa si tu.

Strada este prea îngustă pentru a scoate un U-ey, așa că automobilul tău îmbunătățit cu inteligență artificială inițiază o viraj în trei puncte. În primul rând, mașina urmează o cale curbă spre o bordură. Odată ajuns acolo, se îndreaptă spre cealaltă direcție și se întoarce spre bordura opusă. Apoi întoarce volanul înapoi în direcția primului traseu de curbă, conducând înainte și departe de obstacol.

Acest algoritm geometric simplu de a face viraje intermediare vă poate ajuta să vă deplasați în situații dificile. (Dacă ați parcat în paralel, știți ce poate face pentru dvs. această mișcare dus-întors.)

Există o problemă distractivă de matematică aici despre cât spațiu aveți nevoie pentru a vă întoarce mașina, iar matematicienii lucrează la o versiune idealizată a acesteia de peste 100 de ani. A început în 1917, când matematicianul japonez Sōichi Kakeya a pus o problemă care seamănă puțin cu ambuteiajul nostru. Să presupunem că ai un ac infinit de subțire de lungime 1. Care este zona celei mai mici regiuni în care poți întoarce acul cu 180 de grade și să-l readuci în poziția inițială? Aceasta este cunoscută sub numele de problema acului lui Kakeya, iar matematicienii studiază încă variante ale acesteia. Să aruncăm o privire la geometria simplă care face ca problema acului lui Kakeya să fie atât de interesantă și surprinzătoare.

La fel ca multe probleme de matematică, aceasta implică câteva ipoteze simplificatoare care o fac mai puțin realistă, dar mai ușor de gestionat. De exemplu, lungimea și lățimea unei mașini contează atunci când conduceți, dar vom presupune că acul nostru are lungimea 1 și lățimea zero. (Aceasta înseamnă că acul în sine are o zonă de zero, care joacă un rol important în a ne permite să rezolvăm problema.) De asemenea, vom presupune că acul, spre deosebire de o mașină, poate pivota în jurul capătului său din față, al capătului din spate. , sau orice punct între ele.

Scopul este de a găsi cea mai mică regiune care permite acului să se rotească la 180 de grade. Găsirea celui mai mic lucru care satisface un anumit set de condiții poate fi o provocare, dar o modalitate bună de a începe este să cauți orice care satisface acele condiții și să vezi ce poți învăța pe parcurs. De exemplu, un răspuns ușor este să rotiți acul cu 180 de grade în jurul punctului său final și apoi să-l glisați înapoi în sus. Acest lucru readuce acul în poziția inițială, dar acum este îndreptat în direcția opusă, așa cum o cere problema cu acul lui Kakeya.

Regiunea necesară pentru viraj este un semicerc cu raza 1, care are o zonă de $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. Deci am găsit o regiune care funcționează.

Ne putem descurca mai bine profitând de capacitatea acului nostru matematic magic de a se roti în orice punct. În loc să-l rotim în jurul punctului său de capăt, să-l rotim în jurul punctului său de mijloc.

Ați putea numi asta busola lui Kakeya: acul nostru începe să îndrepte spre nord, dar după rotație este în același loc, dar îndreptat spre sud. Această regiune este un cerc de rază $latex frac{1}{2}$, deci aria sa este $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. Aceasta este jumătate din suprafața primei noastre regiuni, așa că facem progrese.

Incotro acum? Ne-am putea inspira din dilema mașinii noastre fără șofer și ne-am gândi să folosim ceva de genul unei viraj în trei puncte pentru ac. Acest lucru funcționează de fapt destul de bine.

Regiunea măturată de ac folosind această tehnică se numește deltoid și, de asemenea, satisface cerințele lui Kakeya. Calcularea ariei sale necesită mai mult decât geometria elementară despre care discutăm aici (cunoașterea curbelor parametrice ajută), dar se dovedește că aria acestui deltoid anume - cea măturată de un segment de linie de lungime 1 - este exact $latex. frac{pi}{8}$. Acum avem o regiune și mai mică în care putem întoarce acul lui Kakeya și ai putea fi iertat că crezi că acesta este cel mai bun lucru pe care îl putem face. Kakeya însuși a crezut că ar putea fi.

Dar această problemă a acului a luat o întorsătură mare când matematicianul rus Abram Besicovitch a descoperit că poți face infinit mai bine. A venit cu o procedură pentru a tăia bucăți inutile din regiune până când devine cât de mică și-a dorit.

Procesul este tehnic și complicat, dar o strategie bazată pe ideea lui Besicovitch se bazează pe două idei simple. Mai întâi, luați în considerare triunghiul dreptunghic de mai jos, cu o înălțime de 1 și o bază de 2.

Pentru moment, vom uita să întoarcem complet acul și să ne concentrăm doar pe un fapt simplu: dacă plasăm un ac cu lungimea 1 în vârful superior, triunghiul este suficient de mare pentru a permite acului să se rotească complet 90. grade de la o parte la alta.

Deoarece aria triunghiului este $latex A=frac{1}{2}bh$, acest triunghi are aria $latex A=frac{1}{2} ori de 2 ori 1 = 1$.

Acum, iată prima idee importantă: putem reduce suprafața regiunii, păstrând în același timp rotația de 90 de grade. Strategia este simplă: tăiem triunghiul la mijloc și apoi împingem cele două jumătăți împreună.

Aria acestei noi figuri trebuie să fie mai mică decât cea originală, deoarece părți ale triunghiului se suprapun acum. De fapt, este ușor să calculezi aria figurii: este doar trei sferturi din pătratul laturii 1, deci aria este $latex A = frac{3}{4}$, care este mai mică decât aria triunghiul cu care am început.

Și încă putem îndrepta acul în aceleași direcții ca înainte. Există o singură problemă: unghiul inițial a fost împărțit în două părți, astfel încât acele direcții sunt acum împărțite în două regiuni separate.

Dacă acul este pe partea stângă a noii regiuni, îl putem roti cu 45 de grade între sud și sud-est, iar dacă este în dreapta îl putem roti cu 45 de grade între sud și sud-vest, dar din moment ce cele două părți sunt separate , nu pare că îl putem roti la 90 de grade așa cum am putut înainte.

Aici intervine a doua idee importantă. Există o modalitate ascunsă de a duce acul dintr-o parte în alta, care nu necesită multă zonă. La șah poate știi că cavalerul se mișcă în formă de L. Ei bine, acul nostru se va mișca într-o formă de N.

Iată cum se face. Mai întâi, acul alunecă în sus pe o parte a N. Apoi se rotește pentru a indica de-a lungul diagonalei și alunecă în jos. Apoi se rotește din nou și își încheie călătoria alunecând pe cealaltă parte a N.

La început, această mișcare în formă de N poate să nu arate prea mult, dar face ceva foarte util. Acesta permite acului să „sare” de la o linie paralelă la alta, ceea ce ne va ajuta să ne ducem acul dintr-o regiune în alta. Mai important, face acest lucru fără a necesita mult spațiu. De fapt, îl puteți face să necesite cât de puțină suprafață doriți. Iata de ce.

Amintiți-vă că acul nostru are lățime zero. Deci, orice linie pe care acul se mișcă de-a lungul, înainte sau înapoi, va avea zonă zero. Aceasta înseamnă că regiunea necesară pentru a muta acul în sus, în jos sau în diagonală de-a lungul formei N va fi alcătuită din piese cu zonă zero.

Asta lasă doar rotațiile la colțurile formei N.

Aceste mișcări necesită zonă. Puteți vedea un mic sector de cerc la fiecare colț. Dar iată partea ascunsă: puteți face aceste regiuni mai mici prin alungirea N.

Formula pentru aria unui sector al unui cerc este $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$, unde $latex theta$ este măsura unghiului sectorului în grade. Indiferent cât de înalt este N, raza sectorului va fi întotdeauna 1: asta este lungimea acului. Dar pe măsură ce N crește, unghiul se micșorează, ceea ce va reduce aria sectorului. Astfel, puteți face zona suplimentară cât de mică doriți, întinzând N-ul cât aveți nevoie.

Amintiți-vă că am reușit să reducem aria regiunii noastre triunghiulare împărțind-o în două și suprapunând piesele. Problema a fost că acest lucru a împărțit unghiul de 90 de grade în două bucăți separate, împiedicându-ne să rotim acul la 90 de grade. Acum putem rezolva această problemă prin lipirea unei forme N adecvate pentru a ne asigura că acul are o cale dintr-o parte în alta.

În această regiune actualizată, acul se poate roti în continuare la 90 de grade ca înainte, tocmai acum se întâmplă în două etape. Mai întâi, acul se întoarce la 45 de grade și se aliniază cu marginea verticală din stânga. Apoi, se mișcă de-a lungul formei N pentru a ajunge pe cealaltă parte. Odată ajuns acolo, este liber să rotiți celelalte 45 de grade.

Acest lucru mută acul cu 90 de grade și, pentru a-l menține în rotație, trebuie doar să adăugați copii rotite ale regiunii.

Prin adăugarea formelor N corespunzătoare, acul poate sări de la o peninsulă triunghiulară la alta, întorcându-se puțin câte puțin, până când ajunge complet, la fel ca o mașină care execută o viraj în trei puncte.

Există mai multă matematică diabolică în detalii, dar aceste două idei - că putem reduce continuu aria regiunii originale, tăind-o și deplasându-l, asigurându-ne în același timp că putem ajunge de la o piesă la alta folosind formele N arbitrar mici - ne ajută mutați acul într-o regiune în continuă micșorare care poate fi în cele din urmă atât de mică pe cât doriți.

O abordare mai standard pentru construirea acestui tip de regiune începe cu triunghiuri echilaterale și folosește „arborele Perron”, care sunt modalități inteligente de a tăia triunghiuri în sus și de a întinde și aluneca piesele înapoi împreună. Rezultatul este destul de uluitor.

Recent, matematicienii au a făcut progrese pe noi variații ale acestei vechi probleme, așezate în dimensiuni mai mari și cu noțiuni diferite de mărime. Probabil că nu vom vedea niciodată o mașină alimentată de inteligență artificială care urmărește o viraj Kakeya, dar încă putem aprecia frumusețea și simplitatea neantului său aproape.

Exerciții

1. Care este aria celui mai mic triunghi echilateral care funcționează ca un set de ace Kakeya?

2. Puteți face ceva mai bine decât triunghiul echilateral din exercițiul 1 folosind un „triunghi Reuleaux”, o regiune formată din trei sectoare circulare suprapuse. Care este aria celui mai mic triunghi Reuleaux care funcționează?