Our sarcină de puzzle luna trecută a fost să salvez o Star Trek partid de suprafata de opt conduse de Afacere Ofițer de comunicare locotenentul Uhura (jucat de regretatul Nickelle Nichols). Echipajul este închis de o rasă extraterestră, Catenati, pe o planetă din Colier Nebula. Pentru a scăpa, ei trebuie să-și maximizeze probabilitatea de a îndeplini o sarcină care la început pare să ofere doar o probabilitate neplăcută de succes.
Echipajul de opt este informat despre sarcină în timp ce este ținut temporar într-o cameră comună, unde sunt liberi să comunice și să stabilească strategii. În câteva ore, vor fi conduși, pe rând, într-o cameră numită camera ruleta. Această cameră are opt butoane aranjate pe rând, fiecare dintre ele programat să răspundă unui alt membru al echipajului. Pentru a induce echipajul în eroare, fiecare buton este etichetat greșit la întâmplare cu numele altui membru al echipajului. Fiecare membru al echipajului are voie să apese până la patru butoane, în orice ordine. Ori de câte ori vor apăsa un buton, vor vedea cui îi aparține cu adevărat butonul. În cele patru încercări, ei trebuie să găsească butonul care le este atribuit. Pentru ca echipajul să fie liber, toți trebuie să reușească această sarcină. Dacă chiar și unul dintre ele eșuează, toate vor fi executate. După ce un membru al echipajului își finalizează încercarea, trebuie să fie izolați, fără nicio modalitate de a transmite informații vreunuia dintre colegii lor de echipaj.
Șansele de succes par minuscule. Dacă membrii echipajului aleg butoanele aleatoriu, fiecare va avea o șansă de 1 din 2 să-și găsească butonul. Șansa ca toți cei opt să reușească este de doar 1 din 256, sau aproximativ 0.4%.
Dar nu trebuie să apese pe butoane aleatoriu. O modalitate de a crește probabilitatea de succes ar putea fi uniformizarea tuturor apăsărilor de buton într-un fel. Acest lucru ne aduce la prima noastră întrebare puzzle.
puzzle 1
Cu cât poate fi îmbunătățită probabilitatea de supraviețuire a echipajului dacă se asigură că fiecare buton este apăsat la fel de des (în loc să apese la întâmplare oricare patru butoane)?
Rob Corlett și JPayette au răspuns bine la aceasta, așa cum au răspuns la toate celelalte întrebări. În ceea ce privește ideea centrală evazivă din spatele puzzle-urilor din această coloană, Rob Corlett, JPayette și Jouni Seppänen a descris-o frumos, în timp ce Sacha Bugnon a contribuit cu o soluție computerizată.
Iată răspunsul lui Rob Corlett:
O modalitate de a vă asigura că fiecare buton este apăsat de un număr egal de ori este să separați prizonierii în două grupuri egale de 4.
Fiecare grup apasă doar butoanele corespunzătoare membrilor grupului său. Astfel, dacă A, B, C și D sunt toate în același subgrup, apăsați doar butoanele pentru A, B, C și D.
Acest lucru schimbă problema în a cere probabilitatea ca fiecare prizonier să fie alocat grupului corect, deoarece atunci li se garantează că vor apăsa butonul în patru sau mai puține apăsări.
Numărul de moduri de populare a primului grup (și prin urmare și a celui de-al doilea grup) cu patru persoane este numărul de moduri de a alege 4 dintre 8 care este C(8, 4) = 70. Prin urmare, numărul total de moduri de alocarea tuturor în cele două grupuri este de 70.
Există o singură alocare care alocă corect fiecare deținut în grupul potrivit și astfel probabilitatea ca toți să fie în grupul potrivit și ca toți prizonierii să supraviețuiască este de 1/70, ceea ce este de 3.66 ori mai bun decât 1/256 din strategia anterioară. [Dar este încă foarte mic: doar o șansă de 1.4%.]
puzzle 2
Există o modalitate de a îmbunătăți cotele inițiale sumbre de peste 90 de ori, la aproximativ 36.5%, ceea ce pare miraculos! Această strategie implică utilizarea de bucle sau lanțuri de presupuneri - de unde și referirile la Nebuloasa Colier și Catenați (lanț este latină pentru lanț). În forma de bază a strategiei, fiecare membru al echipajului începe prin apăsarea butonului care poartă numele său, apoi trece la butonul care poartă numele membrului echipajului căruia i-a aparținut de fapt primul buton și așa mai departe, creând un lanț de nume.
Să vedem cum funcționează acest lucru în practică. În diagramă, butoanele sunt afișate cu etichetele lor în alb. Literele albastre de mai jos arată adevărații proprietari ai butoanelor. Când primul membru al echipajului, A, intră în camera ruletei, ea apasă mai întâi butonul A. Acesta este butonul lui C, așa că ea apasă butonul C în continuare, apoi butonul E și în final butonul F, care este de fapt butonul propriu al lui A, așa că l-a găsit cu succes în patru încercări. Rețineți că butoanele ACEF formează o buclă închisă de patru butoane. Când membrii echipajului C, E și F își iau rândul, ei vor parcurge, de asemenea, aceeași buclă închisă, pornind de la locurile lor respective și, de asemenea, își vor găsi propriile butoane în patru încercări.
Acest aranjament are, de asemenea, două bucle mai mici a câte două butoane fiecare: BD și GH. Acești patru membri ai echipajului își vor găsi propriile butoane în două încercări. Deci, cu acest aranjament, toți membrii echipajului vor avea succes și își vor fi câștigat libertatea. Este clar că dacă aranjamentul conține doar bucle de lungime 4 sau mai mică, toți membrii echipajului vor avea succes și vor fi eliberați. Dacă, pe de altă parte, există o singură buclă de 5 sau mai multe, atunci toți membrii echipajului din acea buclă nu vor reuși să-și găsească butonul în patru încercări, iar echipajul va fi executat. Pentru a găsi probabilitatea de succes, putem găsi probabilitatea de a avea o buclă de 5, 6, 7 sau 8, să le adunăm și să scădem acea sumă din 1. Acest lucru este mai ușor de calculat decât invers, deoarece pentru opt butoane, poate exista doar o singură buclă având 5, 6, 7 sau 8 membri.
Sunt 8! moduri diferite de a aranja opt butoane. Dar când facem bucle, aceeași buclă reprezintă opt dintre aceste aranjamente (ABCDEFGH formează aceeași buclă ca BCDEFGHA, care este aceeași cu CDEFGHAB etc.). Deci probabilitatea de a avea o buclă de dimensiunea 8 este (8!/8)/8!, care este pur și simplu 1/8. În mod similar, probabilitatea de a avea o buclă de dimensiunea 7 este de 1/7, de dimensiunea 6 este de 1/6 și de dimensiunea 5 este de 1/5. Prin urmare, probabilitatea de succes pentru echipajul nostru îndrăzneț este 1 - (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8), sau 36.5%, așa cum am menționat mai devreme.
Strategia de mai sus funcționează pentru orice număr de prizonieri, iar îmbunătățirea șanselor față de abordarea aleatorie crește rapid pe măsură ce acest număr crește. Este de aproximativ șapte ori pentru patru prizonieri, de 24 de ori pentru șase, de 93 de ori pentru opt și un uimitor (3.8 × 1029)-fold pentru 100 de prizonieri. Cheia înțelegerii acestei creșteri enorme este că metoda leagă succesul sau eșecul fiecărui membru al grupului de cel al celorlalți. Într-o foarte mare măsură, toți reușesc sau eșuează împreună. Probabilitatea de succes a grupului nu scade prea mult de la cea a unei singure persoane, scăzând doar de la 50% pentru un singur deținut la 30.69% pe măsură ce numărul deținuților crește fără limită. Pe de altă parte, probabilitatea unei abordări aleatorii sau chiar a unei abordări „apăsări chiar de butoane” scade rapid până la foarte aproape de zero, chiar și pentru un număr mic de prizonieri.
Dacă logica din spatele acestei strategii pare încă neclară, iată o analiză a problemei celor 100 de prizonieri în acest excelent videoclip de la Veritasium.
puzzle 3
Acest puzzle era despre locotenentul Uhura amintindu-și un joc din copilărie, care era în esență același puzzle, dar pentru șase persoane. Ca un indiciu, am sugerat să rezolvi problema pentru patru persoane. Acum că avem formula, putem calcula cu ușurință probabilitățile.
Pentru patru persoane, probabilitatea ca cea mai lungă buclă să fie doar 2 sau 1 este: 1 − (1/3 + 1/4) sau 41.7% cu un câștig de șapte ori față de alegerea aleatorie.
Pentru șase persoane, probabilitatea ca cea mai lungă buclă să fie 3, 2 sau 1 este: 1 - (1/4 + 1/5 + 1/6) sau 38.3% cu un câștig de peste 24 de ori față de alegerea aleatorie.
puzzle 4
Pe măsură ce povestea noastră continuă, se dovedește că unul dintre Catenați a luat o antipatie deosebită față de Afacere echipajul și îi monitorizează de la distanță. El bănuiește că au venit cu o strategie eficientă bazată pe diagrama lui Uhura. El este hotărât să le dejuteze planul alunecându-se în cameră și schimbând în mod deliberat ordinea etichetelor butoanelor înainte de a începe ruleta. Poate el dejuca planul cu succes? Ce trebuie să ascundă grupul de debarcare deosebit de atent?
Foarte devreme în discuția despre strategie a echipajului, ochii lui Uhura s-au îngustat brusc. Ea a dat un semnal echipajului său și a trecut la a vorbi în nicholesă, anunțând: „Toate discuțiile în continuare în nicholese, vă rog”. Nicholese era o limbă nouă pe care Uhura a inventat-o la începutul carierei ei tocmai pentru acest tip de situație, pentru a evita utilizarea traducătorilor universali. „Trebuie să fi observat acel Catenati suspect”, a continuat ea. „Ar putea încerca să ne saboteze, așa că trebuie să ne modificăm planul. Iată ce trebuie să facem...”
Uhura a schițat noul plan până când a fost mulțumită că fiecare membru al echipajului ei îl cunoștea perfect. Apoi a gândit, cu o privire îndepărtată în ochi: „L-am numit pe Nicholese după o actriță emblematică din secolul al XX-lea. Mă bucur că am insistat ca Flota Stelară să o facă standard pe toate navele noastre.”
Se întoarse spre echipaj. — Asta-i tot, ofiţeri. Știi ce să faci!”
Nu știm exact ce a spus Uhura echipei sale. Dar JPayette și Rob Corlett au avut o idee destul de bună. Iată din nou Rob Corlett:
Dacă răul Catenati aude că folosesc această strategie, atunci el poate schimba numele afișate pe afișaj pentru a se asigura că există un ciclu mai lung de 4.
Pentru a rupe acest lucru, prizonierii trebuie să fie de acord cu o ordine secretă care randomizează secvența. Ei fac asta spunând ceva de genul „dacă vezi numele lui Uhura, atunci mergi la butonul marcat Chekov. Dacă vezi numele lui Chekov afișat, mergi la butonul marcat Smith etc.”
În acest fel, reordonarea de către Catenați nu contează, deoarece funcționează doar dacă cunoașteți modul în care echipajul va răspunde la numele de pe afișaje. Totuși, trebuie să păstreze orice reordonare secretă, altfel poate fi ruptă din nou.
După cum am văzut, Uhura s-a asigurat că secretul va fi păstrat în siguranță. Fiecare membru al echipajului trebuia doar să folosească aceeași ordine secretă și să se asigure că diabolicii Catenati nu știau ce este. De fapt, ordinea schimbată de către maleficii Catenati a crescut efectiv probabilitatea de reușire a echipajului!
Asta s-a intamplat. Uhura a fost primul care a fost dus în camera de ruleta. A apăsat trei butoane. Niciuna nu era a ei. Ar trebui să fie tristă sau bucuroasă? Și-a ținut respirația și a apăsat pe a patra. Își găsise adevăratul buton!
Ea știa că toți urmau să fie mântuiți.
puzzle 5
Ce limită se apropie de procentul maxim de succes pe măsură ce dimensiunea grupului de debarcare crește la nesfârșit? Puteți explica de ce această metodă este mult mai eficientă decât apăsarea aleatorie a butoanelor?
JPayette a scris:
Toate cele de mai sus se generalizează direct la un echipaj de 2n fiecare membru a permis să apese cel mult n butoane. Din Puzzle 2, deducem că șansa lor de succes este
1 − (suma peste k între n + 1 și 2n din 1/k).
Suma poate fi comparată cu integrala lui 1/x în intervalul [n, 2n], ceea ce ne permite să demonstrăm că ca n crește la infinit, probabilitatea de mai sus scade pentru a converge la un uluitor 1 − ln(2) ≈ 30.6%. [De fapt, 30.69% până la două zecimale.]
Rob Corlett a adăugat:
Dacă nu cunoașteți integrarea, puteți ajunge rapid la un răspuns aproximativ prin calcul folosind o foaie de calcul. Am ajuns la 0.307 o dată n a ajuns la aproximativ 750, ceea ce este precis cu 3 zecimale.
Am explicat deja mai sus de ce funcționează această metodă. Toate buclele mai lungi de 1 sunt partajate de mai mulți membri ai echipajului. Deci succesele și eșecurile lor sunt strâns corelate. Este o ilustrare a principiului „Toți pentru unul și unul pentru toți”. Direct din manualul Flotei!
Mulțumim tuturor colaboratorilor noștri. JPayette și Rob Corlett au trimis ambii răspunsuri demne de preț, care au făcut ca această coloană de soluții să pară aproape redundantă. Din păcate, trebuie să respect regula noastră de a alege un câștigător pe coloană de puzzle. Premiul Insights îi revine JPayette, ca recunoaștere a contribuțiilor aici și în puzzle-ul anterior. Felicitări! Rob Corlett, contribuțiile tale nu vor fi uitate.
Ne vedem luna viitoare pentru statistici noi!
