Matematicienii aruncă zarurile și iau piatră-hârtie-foarfece

După cum spune Bill Gates povestea, Warren Buffett l-a provocat odată la un joc de zaruri. Fiecare ar selecta unul dintre cele patru zaruri care îi aparțin lui Buffett și apoi ar arunca, cu numărul mai mare câștigător. Acestea nu erau zaruri standard – aveau o gamă diferită de numere decât cele obișnuite de la 1 la 6. Buffett s-a oferit să-l lase pe Gates să aleagă primul, pentru a putea alege cel mai puternic zar. Dar după ce Gates a examinat zarurile, a întors o contrapropunere: Buffett ar trebui să aleagă primul.

Gates recunoscuse că zarurile lui Buffett prezentau o proprietate curioasă: niciunul dintre ei nu era cel mai puternic. Dacă Gates ar fi ales primul, apoi oricare zar ar fi ales, Buffett ar fi fost capabil să găsească un alt zar care l-ar putea învinge (adică unul cu mai mult de 50% șanse de câștig).

Cele patru zaruri ale lui Buffett (numiți-le A, B, C și D) a format un model care amintește de piatră-hârtie-foarfece, în care A bătăi B, B bătăi C, C bătăi D și D bătăi A. Matematicienii spun că un astfel de set de zaruri este „intranzitiv”.

„Nu este deloc intuitiv că [zarurile intranzitive] ar trebui să existe”, a spus Brian Conrey, directorul Institutului American de Matematică (AIM) din San Jose, care a scris o lucrare influentă pe acest subiect în 2013.

Matematicienii au venit cu primele exemple de zaruri intranzitive cu mai bine de 50 de ani în urmă și în cele din urmă s-au dovedit că, pe măsură ce luați în considerare zarurile cu din ce în ce mai multe fețe, este posibil să creați cicluri intranzitive de orice lungime. Ceea ce matematicienii nu știau până de curând era cât de comune sunt zarurile intranzitive. Trebuie să concepeți astfel de exemple cu atenție sau puteți alege zarurile la întâmplare și aveți o șansă bună de a găsi un set intranzitiv?

Privind trei zaruri, dacă știi asta A bătăi B și B bătăi C, asta pare o dovadă că A este cel mai puternic; situatii in care C bătăi A ar trebui să fie rar. Și într-adevăr, dacă numerele de pe zaruri li se permite să se adună la totaluri diferite, atunci matematicienii cred că această intuiție este adevărată.

Dar a hârtie postată online sfârșitul anului trecut arată că într-un alt cadru natural, această intuiție eșuează spectaculos. Să presupunem că cereți ca zarurile dvs. să folosească numai numerele care apar pe un zar obișnuit și să aibă același total ca un zar obișnuit. Apoi, hârtia arăta, dacă A bătăi B și B bătăi C, A și C au, în esență, șanse egale de a se învinge unul împotriva celuilalt.

"Știind că A bătăi B și B bătăi C pur și simplu nu vă oferă informații despre dacă A bătăi C," a spus Timothy Gowers de la Universitatea din Cambridge, un medaliat Fields și unul dintre contribuitorii la noul rezultat, care a fost dovedit printr-o colaborare online deschisă cunoscută sub numele de proiect Polymath.

Între timp, altul hârtie recentă analizează seturi de patru sau mai multe zaruri. Această constatare este, fără îndoială, și mai paradoxală: dacă, de exemplu, alegeți patru zaruri la întâmplare și descoperiți că A bătăi B, B bătăi C și C bătăi D, atunci este ușor mai mult probabil pentru D a bate A decât invers.

Nici Puternic, nici Slab

Recenta erupție de rezultate a început în urmă cu aproximativ un deceniu, după ce Conrey a participat la o adunare a profesorilor de matematică cu o sesiune care a acoperit zarurile intranzitive. „Nu aveam idee că astfel de lucruri ar putea exista”, a spus el. „Am fost oarecum fascinat de ei.”

S-a hotărât (ajuns mai târziu de colegul său Kent Morrison la AIM) pentru a explora subiectul cu trei elevi de liceu pe care îi îndruma — James Gabbard, Katie Grant și Andrew Liu. Cât de des, s-a întrebat grupul, zarurile alese aleatoriu vor forma un ciclu intranzitiv?

Se consideră că seturile intranzitive de zaruri sunt rare dacă numerele feței zarurilor se adună la totaluri diferite, deoarece zarul cu cel mai mare total este probabil să le învingă pe celelalte. Deci, echipa a decis să se concentreze pe zarurile care au două proprietăți: în primul rând, zarurile folosesc aceleași numere ca pe un zar standard - de la 1 la n, în cazul unui n-moare laterală. Și în al doilea rând, numerele fețelor se adună la același total ca pe un zar standard. Dar, spre deosebire de zarurile standard, fiecare zar poate repeta unele dintre numere și poate lăsa afară altele.

În cazul zarurilor cu șase fețe, există doar 32 de zaruri diferite care au aceste două proprietăți. Deci, cu ajutorul unui computer, echipa a putut identifica toate triplele în care A bătăi B și B bătăi C. Cercetătorii au descoperit, spre uimirea lor, că A bătăi C în 1,756 triple şi C bătăi A în 1,731 de triple — numere aproape identice. Pe baza acestui calcul și a simulărilor de zaruri cu mai mult de șase fețe, echipa a presupus că pe măsură ce numărul de laturi de pe zar se apropie de infinit, probabilitatea ca A bătăi C se apropie de 50%.

Conjectura, cu amestecul ei de accesibilitate și nuanță, l-a lovit pe Conrey drept un bun nutreț pentru un proiect Polymath, în care mulți matematicieni se reunesc online pentru a împărtăși idei. La mijlocul anului 2017, i-a propus ideea lui Gowers, inițiatorul abordării Polymath. „Mi-a plăcut foarte mult întrebarea, din cauza valorii sale surpriză”, a spus Gowers. A scris a blog despre conjectura care a atras un val de comentarii, iar pe parcursul a șase postări suplimentare, comentatorii au reușit să o demonstreze.

În lucrarea lor, postat on-line la sfârșitul lunii noiembrie 2022, o parte cheie a dovezii implică să arăți că, în cea mai mare parte, nu are sens să vorbim despre dacă un singur zar este puternic sau slab. Zarurile lui Buffett, dintre care niciunul nu este cel mai puternic din pachet, nu sunt atât de neobișnuite: dacă alegeți un zar la întâmplare, a arătat proiectul Polymath, este probabil să învingă aproximativ jumătate din celelalte zaruri și să piardă în fața cealaltă jumătate. „Aproape fiecare zar este destul de medie”, a spus Gowers.

Proiectul s-a îndepărtat de modelul original al echipei AIM într-un singur aspect: pentru a simplifica unele aspecte tehnice, proiectul a declarat că ordinea numerelor de pe un zar contează - deci, de exemplu, 122556 și 152562 ar fi considerate două zaruri diferite. Dar rezultatul Polymath, combinat cu dovezile experimentale ale echipei AIM, creează o prezumție puternică că presupunerea este adevărată și în modelul original, a spus Gowers.

„Am fost absolut încântat că au venit cu această dovadă”, a spus Conrey.

Când a venit vorba de strângeri de patru sau mai multe zaruri, echipa AIM a prezis un comportament similar cu cel al celor trei zaruri: De exemplu, dacă A bătăi B, B bătăi C și C bătăi D atunci ar trebui să existe o probabilitate de aproximativ 50-50 ca D bătăi A, apropiindu-se exact de 50-50 pe măsură ce numărul de laturi de pe zar se apropie de infinit.

Pentru a testa presupunerea, cercetătorii au simulat turnee head-to-head pentru seturi de patru zaruri cu 50, 100, 150 și 200 de fețe. Simulările nu s-au supus predicțiilor lor la fel de strâns ca în cazul celor trei zaruri, dar au fost totuși suficient de aproape pentru a le susține credința în conjectura. Dar, deși cercetătorii nu și-au dat seama, aceste mici discrepanțe au purtat un mesaj diferit: pentru seturi de patru sau mai multe zaruri, presupunerea lor este falsă.

„Ne-am dorit cu adevărat [conjectura] să fie adevărată, pentru că ar fi grozav”, a spus Conrey.

În cazul a patru zaruri, Elisabetta Cornacchia al Institutului Federal Elvețian de Tehnologie Lausanne și Jan Hązła al Institutului African pentru Științe Matematice din Kigali, Rwanda, a arătat într-un hârtie postat online la sfârșitul anului 2020 că dacă A bătăi B, B bătăi C și C bătăi D, Apoi D are o șansă puțin mai mare de 50% de a bate A — probabil undeva în jur de 52%, a spus Hązła. (Ca și în lucrarea Polymath, Cornacchia și Hązła au folosit un model ușor diferit de cel din lucrarea AIM.)

Descoperirea lui Cornacchia și Hązła reiese din faptul că, deși, de regulă, un singur zar nu va fi nici puternic, nici slab, o pereche de zaruri poate avea uneori zone comune de forță. Dacă alegeți două zaruri la întâmplare, au arătat Cornacchia și Hązła, există o probabilitate decentă ca zarurile să fie corelate: vor tinde să bată sau să piardă în fața aceluiași zar. „Dacă vă cer să creați două zaruri care sunt aproape unul de celălalt, se dovedește că acest lucru este posibil”, a spus Hązła. Aceste mici buzunare de corelație îndepărtează rezultatele turneului de la simetrie de îndată ce există cel puțin patru zaruri în imagine.

Ziarele recente nu sunt sfârșitul poveștii. Lucrarea lui Cornacchia și Hązła începe abia să descopere cum corelațiile dintre zaruri dezechilibrează simetria turneelor. Între timp, totuși, știm acum că există o mulțime de seturi de zaruri intranzitive – poate chiar unul care este suficient de subtil pentru a-l păcăli pe Bill Gates să aleagă primul.