Michel Talagrand a câștigat premiul Abel pentru muncă Wrangling Randomness | Revista Quanta

Procese aleatorii au loc în jurul nostru. Plouă într-o zi, dar nu în alta; acțiunile și obligațiunile câștigă și pierd valoare; blocajele de trafic se unesc și dispar. Deoarece sunt guvernați de numeroși factori care interacționează unul cu celălalt în moduri complicate, este imposibil de prezis comportamentul exact al unor astfel de sisteme. În schimb, ne gândim la ele în termeni de probabilități, caracterizând rezultatele ca fiind probabile sau rare.

Astăzi, teoreticianul francez al probabilității Michel Talagrand a fost distins cu Premiul Abel, una dintre cele mai înalte distincții în matematică, pentru dezvoltarea unei înțelegeri profunde și sofisticate a unor astfel de procese. Premiul, prezentat de regele Norvegiei, este modelat după Nobelul și vine cu 7.5 milioane de coroane norvegiene (aproximativ 700,000 de dolari). Când i s-a spus că a câștigat, „mintea mea a rămas în gol”, a spus Talagrand. „Tipul de matematică pe care îl fac nu era deloc la modă când am început. Era considerată matematică inferioară. Faptul că mi s-a acordat acest premiu este o dovadă absolută că nu este cazul.”

Alți matematicieni sunt de acord. Lucrarea lui Talagrand „a schimbat modul în care văd lumea”, a spus Assaf Naor de la Universitatea Princeton. Astăzi, a adăugat Helge Holden, președintele comitetului premiului Abel, „devine foarte popular să descrii și să modelezi evenimente din lumea reală prin procese aleatorii. Cutia de instrumente a lui Talagrand apare imediat.”

Talagrand își vede propria viață ca pe un lanț de evenimente improbabile. Abia a trecut de școala generală la Lyon: deși era interesat de știință, nu-i plăcea să studieze. Când avea 5 ani, și-a pierdut vederea la ochiul drept după ce i s-a detașat retina; la 15 ani, a suferit trei dezlipiri de retină la celălalt ochi, forțându-l să petreacă o lună în spital, cu ochii bandajați, temându-se că nu va orbi. Tatăl său, profesor de matematică, îl vizita în fiecare zi, ținându-și mintea ocupată predându-l matematică. „Așa am învățat puterea abstracției”, Talagrand a scris în 2019 după ce a câștigat Premiul Shaw, un alt premiu major de matematică care vine cu o recompensă de 1.2 milioane de dolari. (Talagrand folosește o parte din acești bani, împreună cu câștigurile sale Abel, pentru a fonda un premiu propriu, „recunoscând realizările tinerilor cercetători în domeniile cărora mi-am dedicat viața.”

A lipsit jumătate de an de școală în timp ce și-a revenit, dar a fost inspirat să înceapă să se concentreze pe studii. A excelat la matematică, iar după ce a absolvit facultatea în 1974, a fost angajat la Centrul Național Francez de Cercetare Științifică, cel mai mare institut de cercetare din Europa, unde a lucrat până la pensionare, în 2017. În acea perioadă și-a obținut doctoratul; s-a îndrăgostit de viitoarea lui soție, statisticiană, la prima vedere (i-a cerut-o în căsătorie la trei zile după ce a cunoscut-o); și a dezvoltat treptat un interes pentru probabilitate, publicând sute de lucrări pe această temă.

Asta nu a fost prestabilit. Talagrand și-a început cariera studiind spațiile geometrice cu dimensiuni mari. „De 10 ani, nu am descoperit la ce mă pricepeam”, a spus el. Dar nu regretă acest ocol. În cele din urmă, l-a condus la teoria probabilității, unde „aveam acest alt punct de vedere... care mi-a oferit o modalitate de a privi lucrurile diferit”, a spus el. I-a permis să examineze procese aleatorii prin prisma geometriei cu dimensiuni mari.

„El aduce intuiția sa geometrică pentru a rezolva întrebări pur probabiliste”, a spus Naor.

Un proces aleatoriu este o colecție de evenimente ale căror rezultate variază în funcție de șansă într-un mod care poate fi modelat - cum ar fi o secvență de răsturnări de monede, sau traiectoriile atomilor într-un gaz sau totalurile zilnice ale precipitațiilor. Matematicienii doresc să înțeleagă relația dintre rezultatele individuale și comportamentul agregat. De câte ori trebuie să arunci o monedă pentru a-ți da seama dacă este corect? Își va revărsa un râu malurile?

Talagrand sa concentrat asupra proceselor ale căror rezultate sunt distribuite conform unei curbe în formă de clopot numită Gaussian. Astfel de distribuții sunt comune în natură și au un număr de proprietăți matematice dezirabile. El a vrut să știe ce se poate spune cu certitudine despre rezultatele extreme în aceste situații. Așa că a dovedit un set de inegalități care pun limite superioare și inferioare strânse ale posibilelor rezultate. „A obține o inegalitate bună este o piesă de artă”, a spus Holden. Această artă este utilă: metodele lui Talagrand pot oferi o estimare optimă a, de exemplu, cel mai înalt nivel la care s-ar putea ridica un râu în următorii 10 ani sau magnitudinea celui mai puternic cutremur potențial.

Când avem de-a face cu date complexe, cu dimensiuni mari, găsirea unor astfel de valori maxime poate fi dificilă.

Să presupunem că doriți să evaluați riscul de inundare a unui râu - care va depinde de factori precum precipitațiile, vântul și temperatura. Puteți modela înălțimea râului ca un proces aleatoriu. Talagrand a petrecut 15 ani dezvoltând o tehnică numită înlănțuire generică care i-a permis să creeze un spațiu geometric cu dimensiuni mari legate de un astfel de proces aleatoriu. Metoda lui „vă oferă o modalitate de a citi maximul din geometrie”, a spus Naor.

Tehnica este foarte generală și, prin urmare, aplicabilă pe scară largă. Să presupunem că doriți să analizați un set de date masiv, cu dimensiuni mari, care depinde de mii de parametri. Pentru a trage o concluzie semnificativă, doriți să păstrați cele mai importante caracteristici ale setului de date în timp ce îl caracterizați în termeni de doar câțiva parametri. (De exemplu, aceasta este o modalitate de a analiza și compara structurile complicate ale diferitelor proteine.) Multe metode de ultimă generație realizează această simplificare prin aplicarea unei operații aleatorii care mapează datele cu dimensiuni mari într-un spațiu de dimensiuni inferioare. . Matematicienii pot folosi metoda generică de înlănțuire a lui Talagrand pentru a determina cantitatea maximă de eroare pe care o introduce acest proces - permițându-le să determine șansele ca o caracteristică importantă să nu fie păstrată în setul de date simplificat.

Munca lui Talagrand nu s-a limitat doar la analiza celor mai bune și mai rele rezultate posibile ale unui proces aleatoriu. De asemenea, a studiat ce se întâmplă în cazul mediu.

În multe procese, evenimentele individuale aleatorii pot duce, în total, la rezultate extrem de deterministe. Dacă măsurătorile sunt independente, atunci totalurile devin foarte previzibile, chiar dacă fiecare eveniment individual este imposibil de prezis. De exemplu, aruncați o monedă corectă. Nu poți spune nimic în avans despre ceea ce se va întâmpla. Întoarceți-l de 10 ori și veți obține patru, cinci sau șase capete - aproape de valoarea așteptată de cinci capete - aproximativ 66% din timp. Dar răsturnați moneda de 1,000 de ori și veți obține între 450 și 550 de capete 99.7% din timp, un rezultat care este și mai concentrat în jurul valorii așteptate de 500. „Este excepțional de clar în jurul valorii medii”, a spus Holden.

„Chiar dacă ceva are atât de mult aleatoriu, aleatorietatea se anulează de la sine”, a spus Naor. „Ceea ce inițial părea a fi o mizerie oribilă este de fapt organizat.”

Acest fenomen, cunoscut sub numele de concentrație de măsură, apare și în procese aleatorii mult mai complicate. Talagrand a venit cu o colecție de inegalități care fac posibilă cuantificarea acestei concentrări și a demonstrat că ea apare în multe contexte diferite. Tehnicile sale au marcat o abatere de la lucrările anterioare din zonă. Dovedind prima astfel de inegalitate, a scris el în eseul său din 2019, a fost „o experiență magică”. Era „într-o stare de bucurie constantă”.

Este deosebit de mândru de una dintre inegalitățile sale de concentrare ulterioare. „Nu este ușor să obții un rezultat care încearcă să se gândească la univers și care, în același timp, are o dovadă de o pagină care este ușor de explicat”, a spus el. (Își amintește cu încântare că a folosit odată un serviciu de taxi al cărui proprietar i-a recunoscut numele, după ce a aflat inegalitatea în timpul unui curs de probabilitate la școala de afaceri. „A fost extraordinar”, a spus el.)

La fel ca metoda sa generică de înlănțuire, inegalitățile de concentrare ale lui Talagrand apar peste tot în matematică. „Este uimitor cât de departe merge”, a spus Naor. „Inegalitățile Talagrand sunt șuruburile care țin lucrurile împreună.”

Luați în considerare o problemă de optimizare în care trebuie să sortați articole de diferite dimensiuni în coșuri - un model de alocare a resurselor. Când aveți o mulțime de articole, este foarte dificil să vă dați seama de cel mai mic număr de pubele de care veți avea nevoie. Dar inegalitățile lui Talagrand vă pot spune de câte coșuri este posibil să aveți nevoie dacă dimensiunile articolelor sunt aleatorii.

Metode similare au fost folosite pentru a demonstra fenomenele de concentrare în combinatorică, fizică, informatică, statistică și alte setări.

Mai recent, Talagrand și-a aplicat înțelegerea proceselor aleatorii pentru a demonstra o presupunere importantă despre ochelarii de spin, materiale magnetice dezordonate create de interacțiuni aleatorii, adesea conflictuale. Talagrand a fost frustrat că, deși ochelarii spin sunt bine definiti din punct de vedere matematic, fizicienii i-au înțeles mai bine decât matematicienii. „A fost un ghimpe în piciorul nostru”, a spus el. El a dovedit un rezultat - despre așa-numita energie liberă a ochelarilor de spin - care a oferit o bază pentru o teorie mai matematică.

De-a lungul carierei sale, cercetarea lui Talagrand a fost marcată de „această abilitate de a face un pas înapoi și de a găsi principiile generale care sunt reutilizabile peste tot”, a spus Naor. „Revede și revede și se gândește la ceva din tot felul de perspective. Și în cele din urmă el scoate o perspectivă care devine un cal de bătaie, pe care toată lumea o folosește.”

„Îmi place să înțeleg lucruri simple foarte bine, pentru că creierul meu este foarte lent”, a spus Talagrand. „Așa că mă gândesc la ei foarte, foarte mult timp.” El este condus, a spus el, de dorința de a „înțelege ceva profund, într-un mod pur, ceea ce face teoria mult mai ușoară. Apoi, următoarea generație poate începe de acolo și poate progresa în propriile condiții.”

În ultimul deceniu, el a reușit acest lucru scriind manuale – nu doar despre procese aleatorii și ochelari de spin, ci și despre un domeniu în care nu lucrează deloc, teoria câmpului cuantic. El dorise să afle despre asta, dar și-a dat seama că toate manualele pe care le putea găsi erau scrise de și pentru fizicieni, nu matematicieni. Așa că a scris unul singur. „După ce nu mai poți inventa lucruri, le poți explica”, a spus el.