Probabilitatea și teoria numerelor se ciocnesc — într-un moment

Ambițiile lor au fost întotdeauna mari. Când Will Sawin și Melanie Matchett Wood au început să lucreze împreună în vara lui 2020, ei și-au propus să regândească componentele cheie ale unora dintre cele mai tentante conjecturi din teoria numerelor. Subiectele atenției lor, grupurile de clasă, sunt strâns legate de întrebările de bază despre cum funcționează aritmetica atunci când numerele sunt extinse dincolo de numerele întregi. Sawin, la Universitatea Columbia și Lemn, la Harvard, a vrut să facă predicții despre structuri care sunt și mai generale și mai intimidante din punct de vedere matematic decât grupul de clasă.

Chiar înainte de a termina de formulat previziunile, în octombrie au dovedit a rezultat nou care le permite matematicienilor să aplice unul dintre cele mai utile instrumente ale teoriei probabilităților nu numai grupurilor de clasă, ci și colecțiilor de numere, rețele și multe alte obiecte matematice.

„Acesta va fi doar lucrarea de bază la care se va adresa toată lumea când încep să se gândească la aceste probleme”, a spus David Zureick-Brown, matematician la Universitatea Emory. „Nu mai simte că trebuie să inventezi lucruri de la zero.”

Un act de clasă

Un grup de clasă este un exemplu de set matematic structurat numit grup. Grupurile includ multe seturi familiare, cum ar fi numerele întregi. Ceea ce face ca numerele întregi să fie un grup, mai degrabă decât un simplu set de numere, este că puteți adăuga elementele sale împreună și obține un alt număr întreg. În general, un set este un grup dacă vine cu o operațiune care, ca și adăugarea, combină două elemente într-un al treilea element într-un mod care satisface unele cerințe de bază. De exemplu, ar trebui să existe o versiune a lui zero, un element care nu le schimbă pe niciunul dintre celelalte.

Numerele întregi, pe care matematicienii le numesc de obicei $latex mathbb{Z}$, sunt infinite. Dar multe grupuri au un număr finit de elemente. De exemplu, pentru a face un grup care are patru elemente, luați în considerare mulțimea {0, 1, 2, 3}. În loc să efectuați adunarea obișnuită, împărțiți suma oricăror două numere la 4 și luați restul. (În conformitate cu aceste reguli, 2 + 2 = 0 și 2 + 3 = 1.) Acest grup se numește $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$.

În general, dacă doriți să faceți un grup cu $latex n$ elemente, puteți trece prin numerele zero n – 1 și luați în considerare restul când împărțiți cu n. Grupul rezultat se numește $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, deși acesta nu este întotdeauna singurul grup cu n elemente.

Grupul de clasă apare atunci când teoreticienii numerelor investighează structura numerelor dincolo de numerele întregi. Pentru a face acest lucru, ei adaugă numere noi numerelor întregi, cum ar fi i (rădăcina pătrată a lui −1), $latex sqrt{5}$ sau chiar $latex sqrt{–5}$.

„Lucrurile cu care ne-am obișnuit despre cifre nu mai sunt adevărate în acest context. Sau cel puțin, nu sunt neapărat adevărate”, a spus Jordan Ellenberg, un matematician la Universitatea din Wisconsin, Madison.

Mai exact, factorizarea funcționează diferit în extensiile numerelor întregi. Dacă rămâneți doar la numerele întregi, numerele pot fi factorizate în numere prime (numere care pot fi împărțite doar la ele însele și 1) într-un singur mod. De exemplu, 6 este 2 × 3 și nu poate fi factorizat în alte numere prime. Această proprietate se numește factorizare unică.

Dar dacă adăugați $latex sqrt{–5}$ la sistemul dvs. de numere, nu mai aveți factorizare unică. Puteți factoriza 6 în numere prime în două moduri diferite. Este încă 2 × 3, dar este și $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$.

Grupurile de clase sunt create din astfel de extensii la numere întregi. „Grupurile de clasă sunt incredibil de importante”, a spus Wood. „Și așa că este firesc să te întrebi: cum sunt de obicei?”

Mărimea grupului de clasă asociat cu orice extensie a numerelor întregi este un barometru pentru cât de multă factorizare unică se descompune. Deși matematicienii au dovedit că grupurile de clasă sunt întotdeauna finite, este complicat să se descopere structura și dimensiunea lor. De aceea, în 1984, Henri Cohen și Hendrik Lenstra a aventurat câteva ghiciri. Conjecturile lor, numite acum euristica Cohen-Lenstra, priveau toate grupurile de clasă care apar atunci când adăugați noi rădăcini pătrate la numerele întregi. Dacă toate acele grupuri de clasă au fost adunate împreună, Cohen și Lenstra au sugerat răspunsuri la întrebări precum: Ce proporție dintre ele conține grupul $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$? Sau $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? Sau un alt tip cunoscut de grup finit?

Cohen și Lenstra i-au îndemnat pe teoreticienii numerelor să ia în considerare nu doar exemple izolate de grupuri de clasă, ci și statistici care stau la baza grupurilor de clasă în ansamblu. Predicțiile lor au folosit o viziune a matematicii ca un univers cu modele care trebuie descoperite la fiecare nivel.

Aproape 40 de ani mai târziu, euristica Cohen-Lenstra este considerată adevărată, deși nimeni nu s-a apropiat de a le dovedi. Impactul lor asupra matematicii a fost palpabil, a spus Nigel Boston, profesor emerit la Universitatea din Wisconsin, Madison. „Ceea ce s-a descoperit este această rețea uimitoare”, a spus el. „Există această infrastructură uriașă a modului în care gândim că lumea este pusă cap la cap.”

Singurul joc din oraș

Incapabili să abordeze euristica direct, matematicienii au venit cu probleme mai tratabile, care sperau că vor lumina situația. Din acea lucrare, a apărut un set util de cantități pe care matematicienii au început să le numească momente, după un termen folosit în teoria probabilității.

În mod probabil, momentele vă pot ajuta să stabiliți distribuțiile din spatele numerelor aleatoare. De exemplu, luați în considerare distribuția temperaturii zilnice ridicate la 1 ianuarie în orașul New York — șansele ca la 1 ianuarie a anului viitor, să fie de 10 grade Fahrenheit, sau 40 de grade, sau 70 sau 120. Tot ce trebuie să munciți cu date trecute: o istorie a maximului zilnic de la 1 ianuarie în fiecare an de la începutul istoriei înregistrate.

Dacă calculezi media acestor temperaturi, vei învăța puțin, dar nu totul. O temperatură medie ridicată de 40 de grade nu vă spune șansele ca temperatura să fie peste 50 de grade sau sub 20.

Dar acest lucru se schimbă dacă vi se oferă mai multe informații. Mai exact, s-ar putea să înveți media pătratului temperaturii, o cantitate cunoscută sub numele de al doilea moment al distribuției. (Media este primul moment.) Sau ați putea învăța media cuburilor, care este cunoscută sub denumirea de al treilea moment, sau media celor de-a patra puteri - al patrulea moment.

În anii 1920, matematicienii și-au dat seama că, dacă momentele din această serie cresc suficient de lent, atunci cunoașterea tuturor momentelor vă permite să deduceți că o singură distribuție posibilă are acele momente. (Deși acest lucru nu vă permite neapărat să calculați direct acea distribuție.)

„Este cu adevărat neintuitiv”, a spus Wood. „Dacă te gândești la o distribuție continuă, ea are o formă. Se pare că are mai mult decât poate fi surprins într-o secvență de numere.”

Matematicienii interesați de euristica Cohen-Lenstra și-au dat seama că, la fel cum momentele din teoria probabilității ar putea fi utilizate pentru a ajunge la o distribuție a probabilității, momentele definite într-un mod special pentru grupurile de clasă pot fi o lentilă prin care putem vedea dimensiunea și structura lor. . Jacob Tsimerman, un matematician la Universitatea din Toronto, a spus că nu își poate imagina cum ar putea fi calculată direct distribuția dimensiunilor grupurilor de clasă. Folosirea momentelor, a spus el, este „mai mult decât mai ușor. Este singurul joc din oraș.”

Acest Moment Magic

În timp ce fiecare moment al probabilității este asociat cu un număr întreg - a treia putere, a patra putere și așa mai departe - noile cantități introduse de teoreticienii numerelor corespund fiecare unui grup. Aceste noi momente depind de faptul că deseori poți reduce un grup la un grup mai mic prin prăbușirea diferitelor elemente împreună.

Pentru a calcula momentul asociat unui grup G, luați toate grupurile posibile de clasă — câte unul pentru fiecare rădăcină pătrată nouă pe care o adăugați la numerele întregi. Pentru fiecare grup de clasă, numărați numărul de moduri diferite în care îl puteți restrânge G. Apoi, luați media acelor numere. Acest proces ar putea părea complicat, dar este mult mai ușor de lucrat cu el decât distribuția reală din spatele predicțiilor lui Cohen și Lenstra. Deși euristica Cohen-Lenstra în sine este complicat de afirmat, momentele distribuției pe care le prezic sunt toate 1.

„Asta te face să te gândești, wow, poate că momentele sunt modalitatea naturală de a-l aborda”, a spus Ellenberg. „Pare mai credibil să poți demonstra că ceva este egal cu 1 decât să dovedești că este egal cu un produs infinit nebunesc.”

Când matematicienii studiază distribuțiile pe grupuri (grupuri de clasă sau altfel) ajung să obțină o ecuație pentru fiecare grup G, cu probabilitățile reprezentând acum, de exemplu, proporția grupurilor de clasă care arată ca $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$. Cu infinit de ecuații și infinite de grupuri de clasă posibile, este dificil să rezolvi probabilitățile. Nu este evident că are sens să faci asta.

„Când ai sume infinite, lucrurile pot merge prost”, a spus Wood.

Cu toate acestea, matematicienii, încă incapabili să găsească alte căi pentru studierea distribuțiilor, au continuat să revină la problema momentului. În lucrarea publicată în Analele matematicii în 2016, Ellenberg, împreună cu Akshay Venkatesh și Craig Westerland, momente folosite pentru a studia statisticile grupurilor de clasă într-un cadru ușor diferit de cel pe care îl consideraseră Cohen și Lenstra. Această idee a fost reutilizate câteva ori. Dar de fiecare dată când cercetătorii foloseau momentele, se sprijineau pe ciudateniile problemei lor particulare pentru a demonstra că setul infinit de ecuații are o soluție. Asta însemna că tehnicile lor nu erau transferabile. Următorul matematician care trebuia să folosească momentele ar trebui să rezolve problema momentului din nou.

La începutul colaborării lor, Sawin și Wood au plănuit să meargă pe această cale. Ar folosi momentele pentru a face predicții despre modul în care versiunile mai complicate ale grupurilor de clasă erau distribuite. Dar la aproximativ un an după proiectul lor, și-au îndreptat atenția către problema momentului în sine.

A fi deturnat

Colegii îi descriu pe Sawin și Wood ca fiind neobișnuit de pasionați de munca lor. „Amândoi sunt foarte deștepți. Dar există o mulțime de oameni inteligenți”, a spus Zureick-Brown. „Au doar această atitudine pozitivă față de matematică.”

Inițial, Sawin și Wood au vrut să folosească momentele pentru a extinde predicțiile Cohen-Lenstra la noi setări. Dar în curând au devenit nemulțumiți de argumentul lor problema momentului. „Aveam nevoia să scriem argumente similare în mod repetat”, și-a amintit Sawin. Mai mult, a adăugat el, limbajul matematic pe care îl foloseau „nu părea să ajungă în centrul a ceea ce face argumentul... Ideile erau acolo, dar pur și simplu nu găsisem modalitatea corectă de a le exprima”.

Sawin și Wood au săpat mai adânc în dovezile lor, încercând să-și dea seama ce era cu adevărat sub toate acestea. Au ajuns să obțină o dovadă care a rezolvat problema momentului nu doar pentru aplicarea lor specifică, ci pentru orice distribuție de grupuri - și pentru tot felul de alte structuri matematice.

Au împărțit problema în pași mici, gestionați. În loc să încerce să rezolve întreaga distribuție a probabilității dintr-o singură mișcare, s-au concentrat doar pe o mică parte a momentelor.

De exemplu, pentru a rezolva problema momentului pentru o distribuție de probabilitate pe grupuri, fiecare moment ar fi asociat cu un grup G. La început, Sawin și Wood s-au uitat la un sistem de ecuații care includea doar momentele pentru o listă restrânsă de grupuri.. Apoi adăugau încet grupuri pe listă, uitându-se la tot mai multe momente de fiecare dată. Făcând treptat problema mai complexă, ei au transformat fiecare pas într-o problemă rezolvabilă. Puțin câte puțin, au ajuns la o soluție completă a problemei momentului.

„Acea listă fixă ​​este un fel ca ochelarii pe care îi pui și cu cât ești dispus să iei în considerare mai multe grupuri, cu atât ochelarii tăi sunt mai buni”, a explicat Wood.

Când, în cele din urmă, au făcut praf ultimele detalii străine, s-au trezit cu o ceartă ale cărei vârste au ajuns peste matematică. Rezultatul lor a funcționat pentru grupuri de clasă, pentru grupuri asociate cu forme geometrice, pentru rețele de puncte și linii, precum și pentru alte mulțimi cu mai multă complexitate matematică. În toate aceste situații, Sawin și Wood au găsit o formulă care preia un set de momente și scuipă distribuția care are acele momente (atâta timp cât momentele nu cresc prea repede, printre alte cerințe).

„Este foarte în stilul Melaniei”, a spus Ellenberg. „Pentru a fi de genul: „Să demonstrăm o teoremă foarte generală care tratează o mulțime de cazuri diferite într-un fel uniform și elegant.””

Sawin și Wood își fac acum drumul înapoi la scopul lor inițial. La începutul lunii ianuarie, au împărtășit o hârtie nouă care corectează predicții eronate Cohen-Lenstra realizată la sfârșitul anilor 1980 de Cohen și colegul său Jacques Martinet. Dincolo de asta, au și mai multe rezultate în coadă, cu planuri de a extinde euristica la și mai multe situații noi. „Nu știu dacă acest proiect se va termina vreodată”, a spus Sawin.

Problema momentului pe care Sawin și Wood au rezolvat-o a fost „un fel de ghimpe în spatele capului pentru o mulțime de întrebări diferite”, a spus Tsimerman. „Cred că mulți matematicieni vor răsufla ușurați.”