Algoritmul cuantic Goemans-Williamson cu testul Hadamard și constrângerile aproximative de amplitudine

Algoritmul cuantic Goemans-Williamson cu testul Hadamard și constrângerile aproximative de amplitudine

Marca temporală: 12 iulie 2023, ora 8:29

Taylor L. Patti1,2, Jean Kossaifi2, Anima Anandkumar3,2și Susanne F. Yelin1

1Departamentul de Fizică, Universitatea Harvard, Cambridge, Massachusetts 02138, SUA
2NVIDIA, Santa Clara, California 95051, SUA
3Departamentul de Informatică + Științe Matematice (CMS), California Institute of Technology (Caltech), Pasadena, CA 91125 SUA

Găsiți această lucrare interesant sau doriți să discutați? Scite sau lasă un comentariu la SciRate.

Abstract

Programele semidefinite sunt metode de optimizare cu o gamă largă de aplicații, cum ar fi aproximarea problemelor combinatorii dificile. Un astfel de program semidefinit este algoritmul Goemans-Williamson, o tehnică populară de relaxare a numărului întreg. Introducem un algoritm cuantic variațional pentru algoritmul Goemans-Williamson care utilizează doar $n{+}1$ qubiți, un număr constant de pregătiri de circuit și valori de așteptare $text{poly}(n)$ pentru a rezolva aproximativ programe semidefinite. cu până la $N=2^n$ variabile și $M sim O(N)$ constrângeri. Optimizarea eficientă se realizează prin codificarea matricei obiective ca un unitar parametrizat corespunzător și condiționat de un qubit auxiliar, tehnică cunoscută sub numele de Testul Hadamard. Testul Hadamard ne permite să optimizăm funcția obiectiv prin estimarea unei singure valori de așteptare a qubitului ancilla, mai degrabă decât să estimăm separat exponențial multe valori așteptate. În mod similar, ilustrăm că constrângerile de programare semidefinită pot fi aplicate eficient prin implementarea unui al doilea Test Hadamard, precum și prin impunerea unui număr polinomial de constrângeri de amplitudine a șirului Pauli. Demonstrăm eficacitatea protocolului nostru prin conceperea unei implementări cuantice eficiente a algoritmului Goemans-Williamson pentru diferite probleme NP-hard, inclusiv MaxCut. Metoda noastră depășește performanța metodelor clasice analoge pe un subset divers de probleme MaxCut bine studiate din biblioteca GSet.

Algoritmul cuantic Goemans-Williamson cu testul Hadamard și constrângerile aproximative de amplitudine PlatoBlockchain Data Intelligence. Căutare verticală. Ai.

Imagine prezentată: Diagrama HTAAC-QSDP pentru algoritmul Goemans-Williamson cu $n=3$ qubiți non-auxiliari. a) O problemă clasică de $N$ variabile (aici o problemă MaxCut $N$-vertex unde $N=8$). Matricea de greutate $W$ este utilizată pentru a genera unitarul $U_W$. b) Testul Hadamard este utilizat pentru a evalua eficient funcția obiectiv și constrângerile de echilibrare a populației. Starea $n$-qubit $|psirangle = U_V|mathbf{0}rangle$ este pregătită cu un circuit cuantic variațional $U_V$. $n+1$al-lea qubit (auxiliar) este inițializat ca $(|0rangle -i |1rangle)/sqrt{2}$. Ulterior, testul Hadamard este efectuat: $U_W$ este implementat ca un unitar controlat condiționat de qubitul auxiliar, care este apoi măsurat pentru a calcula $langle sigma_{n+1} rangle_{W,t} = text{Im} [langle psi|U_W|psi rangle]$ sau $langle sigma_{n+1} rangle_{P,t} = text{Im}[langle psi|U_P|psi rangle]$. c) Constrângerile de amplitudine $M=2^n$ SDP sunt aplicate aproximativ doar cu $m text sim{poly}(n)$ constrângeri de șir Pauli. Acestea sunt calculate prin colectarea măsurătorilor $n$-qubit Pauli-$z$ și folosind statistici marginale pentru a estima valorile așteptărilor de $m$.

Rezumat popular

Programele semidefinite ne permit să aproximăm o gamă largă de probleme dificile, inclusiv probleme NP-hard. Un astfel de program semidefinit este algoritmul Goemans-Williamson, care poate rezolva probleme dificile, cum ar fi MaxCut. Introducem un algoritm cuantic variațional pentru algoritmul Goemans-Williamson care utilizează doar $n{+}1$ qubiți, un număr constant de pregătiri de circuit și un număr polinomial de valori așteptate pentru a rezolva aproximativ programe semidefinite cu un număr exponențial de variabile și constrângeri. Codificăm problema într-un circuit cuantic (sau unitar) și o citim pe un singur qubit auxiliar, o tehnică cunoscută sub numele de Testul Hadamard. În mod similar, ilustrăm că constrângerile problemei pot fi impuse de 1) un al doilea test Hadamard și 2) un număr polinomial de constrângeri de șir Pauli. Demonstrăm eficacitatea protocolului nostru prin conceperea unei implementări cuantice eficiente a algoritmului Goemans-Williamson pentru diferite probleme NP-hard, inclusiv MaxCut. Metoda noastră depășește performanța metodelor clasice analoge pe un subset divers de probleme MaxCut bine studiate.

► Date BibTeX

► Referințe

[1] Stephen P. Boyd și Lieven Vandenberghe. „Optimizare convexă”. Cambridge Press. (2004).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511804441

[2] Michel X. Goemans. „Programarea semidefinită în optimizarea combinatorie”. Programare matematică 79, 143–161 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02614315

[3] Lieven Vandenberghe și Stephen Boyd. „Aplicații ale programării semidefinite”. Matematică numerică aplicată 29, 283–299 (1999).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0168-9274(98)00098-1

[4] Wenjun Li, Yang Ding, Yongjie Yang, R. Simon Sherratt, Jong Hyuk Park și Jin Wang. „Algoritmi parametrizați ai problemelor fundamentale np-hard: un sondaj”. Calculatoare și științe informaționale centrate pe om 10, 29 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1186 / s13673-020-00226-w

[5] Christoph Helmberg. „Programare semidefinită pentru optimizare combinatorie”. Konrad-Zuse-Zentrum fur Informationstechnik Berlin. (2000).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02614315

[6] Michel X. Goemans și David P. Williamson. „Algoritmi de aproximare îmbunătățiți pentru probleme de tăiere maximă și de satisfacție folosind programarea semidefinită”. J. ACM 42, 1115–1145 (1995).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 227683.227684

[7] Florian A. Potra şi Stephen J. Wright. „Metodele punctului interior”. Journal of Computational and Applied Mathematics 124, 281–302 (2000).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0377-0427(00)00433-7

[8] Haotian Jiang, Tarun Kathuria, Yin Tat Lee, Swati Padmanabhan și Zhao Song. „O metodă de punct interior mai rapidă pentru programarea semidefinită”. În 2020, cel de-al 61-lea simpozion anual IEEE privind fundamentele informaticii (FOCS). Paginile 910–918. IEEE (2020).
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS46700.2020.00089

[9] Baihe Huang, Shunhua Jiang, Zhao Song, Runzhou Tao și Ruizhe Zhang. „Rezolvarea sdp mai rapidă: un cadru ipm robust și o implementare eficientă”. În 2022, cel de-al 63-lea simpozion anual IEEE privind fundamentele informaticii (FOCS). Paginile 233–244. IEEE (2022).
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS54457.2022.00029

[10] David P. Williamson și David B. Shmoys. „Proiectarea algoritmilor de aproximare”. Cambridge University Press. (2011).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511921735

[11] Nikolaj Moll, Panagiotis Barkoutsos, Lev S Bishop, Jerry M Chow, Andrew Cross, Daniel J Egger, Stefan Filipp, Andreas Fuhrer, Jay M Gambetta, Marc Ganzhorn și colab. „Optimizare cuantică folosind algoritmi variaționali pe dispozitive cuantice pe termen scurt”. Quantum Science and Technology 3, 030503 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1088 / 2058-9565 / aab822

[12] Edward Farhi, Jeffrey Goldstone, Sam Gutmann și Michael Sipser. „Calcul cuantic prin evoluție adiabatică” (2000). arXiv:quant-ph/​0001106.
arXiv: Quant-ph / 0001106

[13] Tameem Albash și Daniel A. Lidar. „Calcul cuantic adiabatic”. Rev. Mod. Fiz. 90, 015002 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.90.015002

[14] Sepehr Ebadi, Alexander Keesling, Madelyn Cain, Tout T Wang, Harry Levine, Dolev Bluvstein, Giulia Semeghini, Ahmed Omran, JG Liu, Rhine Samajdar și colab. „Optimizarea cuantică a setului independent maxim folosind matrice de atomi Rydberg”. Science 376, 1209–1215 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1126/​science.abo6587

[15] Tadashi Kadowaki și Hidetoshi Nishimori. „Recoacerea cuantică în modelul transversal”. Fiz. Rev. E 58, 5355–5363 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.58.5355

[16] Elizabeth Gibney. „Actualizare D-wave: cum folosesc oamenii de știință cel mai controversat computer cuantic din lume”. Natura 541 (2017).
https://​/​doi.org/​10.1038/​541447b

[17] Edward Farhi, Jeffrey Goldstone și Sam Gutmann. „Un algoritm de optimizare cuantică aproximativă”. arXiv (2014). arXiv:1411.4028.
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.1411.4028
arXiv: 1411.4028

[18] Juan M Arrazola, Ville Bergholm, Kamil Brádler, Thomas R Bromley, Matt J Collins, Ish Dhand, Alberto Fumagalli, Thomas Gerrits, Andrey Goussev, Lukas G Helt și colab. „Circuite cuantice cu mulți fotoni pe un cip nanofotonic programabil”. Natura 591, 54–60 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41586-021-03202-1

[19] Fernando GSL Brandão, Amir Kalev, Tongyang Li, Cedric Yen-Yu Lin, Krysta M. Svore și Xiaodi Wu. „Rezolvatori cuantici SDP: viteze mari, optimitate și aplicații pentru învățarea cuantică”. Al 46-lea Colocviu internațional despre automate, limbaje și programare (ICALP 2019) 132, 27:1–27:14 (2019).
https: / / doi.org/ 10.4230 / LIPIcs.ICALP.2019.27

[20] Joran Van Apeldoorn și András Gilyén. „Îmbunătățiri în rezolvarea cuantică sdp cu aplicații”. În Proceedings of the 46th International Colocvium on Automata, Languages, and Programming (2019).
https://​/​doi.org/​10.4230/​LIPICS.ICALP.2019.99

[21] Joran van Apeldoorn, Andràs Gilyèn, Sander Gribling și Ronald de Wolf. „Rezolvatoare sdp cuantice: limite superioare și inferioare mai bune”. Quantum 4, 230 (2020).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2020-02-14-230

[22] Fernando GSL Brandão și Krysta M. Svore. „Accelerări cuantice pentru rezolvarea de programe semidefinite”. În 2017, cel de-al 58-lea simpozion anual IEEE privind fundamentele informaticii (FOCS). Paginile 415–426. (2017).
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS.2017.45

[23] Fernando GS L. Brandão, Richard Kueng și Daniel Stilck França. „Aproximații SDP cuantice și clasice mai rapide pentru optimizarea binară pătratică”. Quantum 6, 625 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-01-20-625

[24] Dhrumil Patel, Patrick J. Coles și Mark M. Wilde. „Algoritmi cuantici variaționali pentru programare semidefinită” (2021). arXiv:2112.08859.
arXiv: 2112.08859

[25] Anirban N. Chowdhury, Guang Hao Low și Nathan Wiebe. „Un algoritm cuantic variațional pentru pregătirea stărilor gibbs cuantice” (2020). arXiv:2002.00055.
arXiv: 2002.00055

[26] Taylor L Patti, Omar Shehab, Khadijeh Najafi și Susanne F Yelin. „Algoritmi cuantici variaționali îmbunătățiți din lanțul Markov Monte Carlo”. Quantum Science and Technology 8, 015019 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1088/​2058-9565/​aca821

[27] Youle Wang, Guangxi Li și Xin Wang. „Pregătirea variațională a stării cuantice gibbs cu o serie Taylor trunchiată”. Physical Review Applied 16, 054035 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevApplied.16.054035

[28] Sanjeev Arora, Elad Hazan și Satyen Kale. „Metoda de actualizare a greutăților multiplicative: un meta-algoritm și aplicații”. Theory of Computing 8, 121–164 (2012).
https: / / doi.org/ 10.4086 / toc.2012.v008a006

[29] Iordanis Kerenidis și Anupam Prakash. „O metodă cuantică a punctului interior pentru lps și sdps”. Tranzacții ACM pe calculul cuantic 1 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 3406306

[30] Brandon Augustino, Giacomo Nannicini, Tamás Terlaky și Luis F. Zuluaga. „Metode cuantice de punct interior pentru optimizare semidefinită” (2022). arXiv:2112.06025.
arXiv: 2112.06025

[31] M. Cerezo, Andrew Arrasmith, Ryan Babbush, Simon C. Benjamin, Suguru Endo, Keisuke Fujii, Jarrod R. McClean, Kosuke Mitarai, Xiao Yuan, Lukasz Cicio și Patrick J. Coles. „Algoritmi cuantici variaționali”. Nature Reviews Physics 3, 625–644 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s42254-021-00348-9

[32] Kishor Bharti, Tobias Haug, Vlatko Vedral și Leong-Chuan Kwek. „Algoritm cuantic zgomotos la scară intermediară pentru programare semidefinită”. Fiz. Rev. A 105, 052445 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.105.052445

[33] Lennart Bittel și Martin Kliesch. „Pregătirea algoritmilor cuantici variaționali este np-greu”. Fiz. Rev. Lett. 127, 120502 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.127.120502

[34] Jarrod R. McClean, Sergio Boixo, Vadim N. Smelyanskiy, Ryan Babbush și Hartmut Neven. „Plașuri sterile în peisajele de antrenament al rețelelor neuronale cuantice”. Nature Communications 9, 4812 (2018).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41467-018-07090-4

[35] Carlos Ortiz Marrero, Mária Kieferová și Nathan Wiebe. „Podisurile sterile induse de încurcare”. PRX Quantum 2, 040316 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.040316

[36] Taylor L. Patti, Khadijeh Najafi, Xun Gao și Susanne F. Yelin. „Entanglement conceput atenuarea platoului steril”. Fiz. Rev. Res. 3, 033090 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.3.033090

[37] Arthur Pesah, M. Cerezo, Samson Wang, Tyler Volkoff, Andrew T. Sornborger și Patrick J. Coles. „Lipsa platourilor sterile în rețelele neuronale cuantice convoluționale”. Fiz. Rev. X 11, 041011 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.041011

[38] Dorit Aharov, Vaughan Jones și Zeph Landau. „Un algoritm cuantic polinomial pentru aproximarea polinomului Jones”. Algorithmica 55, 395–421 (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s00453-008-9168-0

[39] Clayton W. Comandant. „Problemă de tăiere maximă, tăiere maximă problemă de tăiere maximă, tăiere maximă”. Paginile 1991–1999. Springer SUA. Boston, MA (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-0-387-74759-0_358

[40] Steven J. Benson, Yinyu Yeb și Xiong Zhang. „Programare mixtă liniară și semidefinită pentru optimizarea combinatorie și pătratică”. Optimization Methods and Software 11, 515–544 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 10556789908805761

[41] Changhui Choi și Yinyu Ye. „Rezolvarea de programe semidefinite rare folosind algoritmul de scalare duală cu un rezolvator iterativ”. Manuscris, Departamentul de Științe Management, Universitatea din Iowa, Iowa City, IA 52242 (2000). url: web.stanford.edu/​ yyye/​yyye/​cgsdp1.pdf.
https://​/​web.stanford.edu/​~yyye/​yyye/​cgsdp1.pdf

[42] Angelika Wiegele. „Biblioteca mac Biq – o colecție de instanțe de programare 0-1 cu tăiere maximă și pătratică de dimensiune medie”. Alpen-Adria-Universität Klagenfurt (2007). url: biqmac.aau.at/​biqmaclib.pdf.
https://​/​biqmac.aau.at/​biqmaclib.pdf

[43] Stefan H. Schmieta. „Biblioteca dimacs de programe mixte semidefinite-quadratic-liniare”. A 7-a provocare de implementare a DIMACS (2007). url: http://​/​archive.dimacs.rutgers.edu.
http://​/​archive.dimacs.rutgers.edu

[44] Yoshiki Matsuda. „Evaluarea comparativă a problemei de tăiere maximă pe mașina de bifurcație simulată”. Mediu (2019). url: medium.com/​toshiba-sbm/​benchmarking-the-max-cut-problem-on-the-simulated-bifurcation-machine-e26e1127c0b0.
https://​/​medium.com/​toshiba-sbm/​benchmarking-the-max-cut-problem-on-the-simulated-bifurcation-machine-e26e1127c0b0

[45] RM Karp. „Reductibilitate între probleme combinatorii”. Springer SUA. Boston, MA (1972).

[46] Dimitri P Bertsekas. „Metode de optimizare constrânsă și multiplicare lagrange”. Presa academica. (1982).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​C2013-0-10366-2

[47] G Mauro D'Ariano, Matteo GA Paris și Massimiliano F Sacchi. „Tomografie cuantică”. Progrese în imagistica și fizica electronilor 128, 206–309 (2003).
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.quant-ph/​0302028
arXiv: Quant-ph / 0302028

[48] Alessandro Bisio, Giulio Chiribella, Giacomo Mauro D'Ariano, Stefano Facchini și Paolo Perinotti. „Tomografie cuantică optimă”. IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics 15, 1646–1660 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1109 / JSTQE.2009.2029243

[49] Max S. Kaznady și Daniel FV James. „Strategii numerice pentru tomografia cuantică: alternative la optimizarea completă”. Fiz. Rev. A 79, 022109 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.79.022109

[50] Javier Peña. „Convergența metodelor de ordinul întâi prin conjugatul convex”. Operations Research Letters 45, 561–564 (2017).
https://​/​doi.org/​10.1016/​j.orl.2017.08.013

[51] Alan Frieze și Mark Jerrum. „Algoritmi de aproximare îmbunătățiți pentru maxk-cut și max bisect”. Algorithmica 18, 67–81 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02523688

[52] Clark David Thompson. „O teorie a complexității pentru vlsi”. Teză de doctorat. Universitatea Carnegie Mellon. (1980). url: dl.acm.org/​doi/​10.5555/​909758.
https: / / dl.acm.org/ doi / 10.5555 / 909758

[53] Chu Min Li și Felip Manya. „Maxsat, constrângeri dure și soft”. În Manualul de satisfacție. Paginile 903–927. IOS Press (2021).
https:/​/​doi.org/​10.3233/​978-1-58603-929-5-613

[54] Nicholas J Higham. „Calculul celei mai apropiate matrice de corelație – o problemă din partea finanțelor”. Jurnalul IMA de analiză numerică 22, 329–343 (2002).
https://​/​doi.org/​10.1093/​imanum/​22.3.329

[55] Tadayoshi Fushiki. „Estimarea matricelor de corelație semidefinită pozitivă prin utilizarea programării semidefinite pătratice convexe”. Neural Computation 21, 2028–2048 (2009).
https://​/​doi.org/​10.1162/​neco.2009.04-08-765

[56] Todd MJ. „Un studiu al direcțiilor de căutare în metodele de punct interior primal-dual pentru programarea semidefinită”. Metode de optimizare și software 11, 1–46 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 10556789908805745

[57] Roger Fletcher. „Funcții de penalizare”. Programare matematică Stadiul tehnicii: Bonn 1982Paginile 87–114 (1983).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-642-68874-4_5

[58] Robert M Freund. „Metode de penalizare și bariere pentru optimizarea constrânsă”. Note de curs, Massachusetts Institute of Technology (2004). url: ocw.mit.edu/​courses/​15-084j-nonlinear-programming-spring-2004.
https://​/​ocw.mit.edu/​courses/​15-084j-nonlinear-programming-spring-2004

[59] Eric Ricardo Anschuetz. „Puncte critice în modelele generative cuantice”. În cadrul Conferinței internaționale privind reprezentările învățării. (2022). url: openreview.net/​forum?id=2f1z55GVQN.
https://​/​openreview.net/​forum?id=2f1z55GVQN

[60] Amir Beck. „Metode de ordinul întâi în optimizare”. SIAM. (2017).
https: / / doi.org/ 10.1137 / 1.9781611974997

[61] Sanjeev Arora și Satyen Kale. „O abordare combinatorie, primal-duală a programelor semidefinite”. J. ACM 63 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 2837020

[62] Taylor L. Patti, Jean Kossaifi, Susanne F. Yelin și Anima Anandkumar. „Tensorly-quantum: Învățare automată cuantică cu metode tensorale” (2021). arXiv:2112.10239.
arXiv: 2112.10239

[63] Jean Kossaifi, Yannis Panagakis, Anima Anandkumar și Maja Pantic. „Tensor: Învățarea tensorului în python”. Journal of Machine Learning Research 20, 1–6 (2019). url: http://​/​jmlr.org/​papers/​v20/​18-277.html.
http: / / jmlr.org/ papers / v20 ​​/ 18-277.html

[64] Echipa cuQuantum. „Nvidia/​cuquantum: cuquantum v22.11” (2022).

[65] Diederik P. Kingma și Jimmy Ba. „Adam: O metodă de optimizare stocastică” (2017). arXiv:1412.6980.
arXiv: 1412.6980

[66] Brahim Chaourar. „Un algoritm de timp liniar pentru o variantă a problemei de tăiere maximă în grafice paralele în serie”. Progrese în cercetarea operațională (2017).
https: / / doi.org/ 10.1155 / 2017/1267108

[67] Iuri Makariciov. „O scurtă dovadă a criteriului de planaritate a graficului lui Kuratowski”. Journal of Graph Theory 25, 129–131 (1997).
<a href="https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0118(199706)25:23.0.CO;2-O”>https:/​/​doi.org/​10.1002/​(SICI)1097-0118(199706)25:2<129::AID-JGT4>3.0.CO;2-O

[68] Béla Bollobás. „Evoluția graficelor aleatorii — componenta gigant”. Pagina 130–159. Studii Cambridge în matematică avansată. Cambridge University Press. (2001). a 2-a editie.
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511814068.008

[69] Sanjeev Arora, David Karger și Marek Karpinski. „Scheme de aproximare a timpului polinomial pentru cazuri dense de probleme np-hard”. Journal of computer and system sciences 58, 193–210 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1006 / jcss.1998.1605

[70] Rick Durrett. „Grafe aleatoare Erdös–rényi”. Pagina 27–69. Seria Cambridge în matematică statistică și probabilistă. Cambridge University Press. (2006).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511546594.003

[71] Gary Chartrand și Ping Zhang. „Teoria grafurilor cromatice”. Taylor și Francis. (2008).
https: / / doi.org/ 10.1201 / 9781584888017

[72] John van de Wetering. „Calcul Zx pentru cercetătorul cuantic de lucru” (2020). arXiv:2012.13966.
arXiv: 2012.13966

[73] Alexander Cowtan, Silas Dilkes, Ross Duncan, Will Simmons și Seyon Sivarajah. „Sinteza gadget de fază pentru circuite superficiale”. Electronic Proceedings in Theoretical Computer Science 318, 213–228 (2020).
https: / / doi.org/ 10.4204 / eptcs.318.13

[74] Andrew M. Childs, Yuan Su, Minh C. Tran, Nathan Wiebe și Shuchen Zhu. „Teoria erorii trotterului cu scalarea comutatorului”. Fiz. Rev. X 11, 011020 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.011020

[75] Joseph W Britton, Brian C Sawyer, Adam C Keith, CC Joseph Wang, James K Freericks, Hermann Uys, Michael J Biercuk și John J Bollinger. „Interacțiuni bidimensionale proiectate într-un simulator cuantic de ioni prinși cu sute de rotiri”. Nature 484, 489–492 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature10981

[76] Hannes Bernien, Sylvain Schwartz, Alexander Keesling, Harry Levine, Ahmed Omran, Hannes Pichler, Soonwon Choi, Alexander S Zibrov, Manuel Endres, Markus Greiner și colab. „Sondarea dinamicii mai multor corpuri pe un simulator cuantic cu 51 de atomi”. Nature 551, 579–584 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature24622

[77] Gheorghe-Sorin Paraoanu. „Progresul recent în simularea cuantică folosind circuite supraconductoare”. Journal of Low Temperature Physics 175, 633–654 (2014).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s10909-014-1175-8

[78] Katsuki Fujisawa, Hitoshi Sato, Satoshi Matsuoka, Toshio Endo, Makoto Yamashita și Maho Nakata. „Rezolvator general de înaltă performanță pentru probleme de programare semidefinită la scară extrem de mare”. În SC '12: Proceedings of the International Conference on High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis. Paginile 1–11. (2012).
https: / / doi.org/ 10.1109 / SC.2012.67

[79] Adrian S. Lewis și Michael L. Overton. „Optimizarea valorilor proprii”. Acta Numerica 5, 149–190 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1017 / S0962492900002646

[80] Xiaosi Xu, Jinzhao Sun, Suguru Endo, Ying Li, Simon C. Benjamin și Xiao Yuan. „Algoritmi variaționali pentru algebră liniară”. Science Bulletin 66, 2181–2188 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.scib.2021.06.023

Citat de

Nu a putut să aducă Date citate încrucișate în ultima încercare 2023-07-12 14:07:40: Nu s-au putut prelua date citate pentru 10.22331 / q-2023-07-12-1057 de la Crossref. Acest lucru este normal dacă DOI a fost înregistrat recent. Pe ADS SAO / NASA nu s-au găsit date despre citarea lucrărilor (ultima încercare 2023-07-12 14:07:40).

Acest Lucru este publicat în Quantum sub Creative Commons Atribuire 4.0 internațională (CC BY 4.0) licență. Drepturile de autor rămân la deținătorii de drepturi de autor originale, precum autorii sau instituțiile lor.

Timestamp-ul:

Mai mult de la Jurnalul cuantic