Conexiunea ascunsă care a schimbat teoria numerelor | Revista Quanta

Există trei tipuri de numere prime. Primul este un aberant solitar: 2, singurul prim par. După aceea, jumătate din numerele prime lasă un rest de 1 când se împarte la 4. Cealaltă jumătate lasă un rest de 3. (5 și 13 cad în prima tabără, 7 și 11 în a doua.) Nu există niciun motiv evident pentru care rămâne -1 prime și rest-3 prime ar trebui să se comporte în moduri fundamental diferite. Dar ei o fac.

O diferență cheie provine dintr-o proprietate numită reciprocitate pătratică, demonstrată pentru prima dată de Carl Gauss, probabil cel mai influent matematician al secolului al XIX-lea. „Este o afirmație destul de simplă care are aplicații peste tot, în tot felul de matematică, nu doar în teoria numerelor”, a spus James Rickards, un matematician la Universitatea din Colorado, Boulder. „Dar nu este suficient de evident pentru a fi cu adevărat interesant.”

Teoria numerelor este o ramură a matematicii care se ocupă cu numerele întregi (spre deosebire de, să zicem, forme sau cantități continue). Numerele prime - cele divizibile doar cu 1 și ele însele - sunt în centrul său, la fel cum ADN-ul este nucleul biologiei. Reciprocitatea cuadratică a schimbat concepția matematicienilor despre cât de mult este posibil să se demonstreze despre ei. Dacă te gândești la numerele prime ca la un lanț de munți, reciprocitatea este ca o cale îngustă care le permite matematicienilor să urce pe vârfuri inaccesibile anterior și, din acele vârfuri, să vadă adevăruri care fuseseră ascunse.

Deși este o teoremă veche, continuă să aibă aplicații noi. În această vară, Rickards și colegul său Katherine Stange, împreună cu doi elevi, a infirmat o presupunere larg acceptată despre cum pot fi împachetate cercurile mici într-unul mai mare. Rezultatul i-a șocat pe matematicieni. Peter Sarnak, un teoretician al numerelor la Institutul pentru Studii Avansate și Universitatea Princeton, a vorbit cu Stange la o conferință la scurt timp după echipa ei postat hârtia lor. „Mi-a spus că are un contraexemplu”, și-a amintit Sarnak. „Am întrebat-o imediat: „Folosiți undeva reciprocitatea?” Și asta era într-adevăr ceea ce folosea ea.”

Modele în perechi de prime

Pentru a înțelege reciprocitatea, trebuie mai întâi să înțelegeți aritmetica modulară. Operațiile modulare se bazează pe calcularea resturilor atunci când împărțiți la un număr numit modul. De exemplu, 9 modulo 7 este 2, deoarece dacă împărțiți 9 la 7, rămâneți cu un rest de 2. În sistemul numeric modulo 7, există 7 numere: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. Puteți adăuga, scădea, înmulți și împărți aceste numere.

La fel ca și în cazul numerelor întregi, aceste sisteme numerice pot avea pătrate perfecte - numere care sunt produsul unui alt număr cu el însuși. De exemplu, 0, 1, 2 și 4 sunt pătratele perfecte modulo 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 și 3 × 3 = 2 mod 7). Fiecare pătrat obișnuit va fi egal cu 0, 1, 2 sau 4 modulo 7. (De exemplu, 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) Deoarece sistemele de numere modulare sunt finite, pătratele perfecte sunt mai frecvente.

Reciprocitatea cuadratică decurge dintr-o întrebare relativ simplă. Având în vedere două numere prime p și q, dacă știi asta p este un pătrat perfect modulo q, poți spune dacă sau nu q este un pătrat perfect modulo p?

Se dovedește că atâta timp cât fie p or q lasă un rest de 1 când se împarte la 4, dacă p este un pătrat perfect modulo q, Apoi q este, de asemenea, un modul pătrat perfect p. Se spune că cele două numere prime sunt reciproce.

Pe de altă parte, dacă amândoi lasă un rest de 3 (cum ar fi, să zicem, 7 și 11), atunci nu fac reciproc: Dacă p este un modulo pătrat q, asta inseamna ca q nu va fi un modulo pătrat p. În acest exemplu, 11 este un pătrat modulo 7, deoarece 11 = 4 mod 7 și știm deja că 4 este unul dintre pătratele perfecte modulo 7. Rezultă că 7 nu este un pătrat modulo 11. Dacă luați lista de obișnuiți pătrate (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …) și uitați-vă la resturile lor modulo 11, atunci 7 nu va apărea niciodată.

Acest lucru, pentru a folosi un termen tehnic, este chiar ciudat!

Puterea generalizării

Ca multe idei matematice, reciprocitatea a fost influentă deoarece poate fi generalizată.

La scurt timp după ce Gauss a publicat prima dovadă a reciprocității pătratice în 1801, matematicienii au încercat să extindă ideea dincolo de pătrate. „De ce nu a treia putere sau a patra putere? Ei și-au imaginat că poate există o lege a reciprocității cubice sau o lege a reciprocității quartice”, a spus Keith Conrad, un teoretician al numerelor la Universitatea din Connecticut.

Dar au rămas blocați, a spus Conrad, „pentru că nu există un model ușor”. Acest lucru s-a schimbat odată ce Gauss a adus reciprocitatea în domeniul numerelor complexe, care adaugă rădăcina pătrată a lui minus 1, reprezentată de i, la numere obișnuite. El a introdus ideea că teoreticienii numerelor ar putea analiza nu numai numere întregi obișnuite, ci și alte sisteme matematice asemănătoare numerelor întregi, cum ar fi așa-numitele numere întregi gaussiene, care sunt numere complexe ale căror părți reale și imaginare sunt ambele numere întregi.

Cu numerele întregi gaussiene, întreaga noțiune a ceea ce contează drept prim sa schimbat. De exemplu, 5 nu mai este prim, deoarece 5 = (2 + i) × (2 − i). „Trebuie să o iei de la capăt ca și cum ai fi din nou la școala elementară”, a spus Conrad. În 1832, Gauss a demonstrat o lege a reciprocității quartice pentru numerele întregi complexe care îi poartă numele.

Dintr-o dată, matematicienii au învățat să aplice instrumente precum aritmetica modulară și factorizarea acestor noi sisteme numerice. Reciprocitatea cuadratică a fost inspirația, potrivit lui Conrad.

Modele care fuseseră evazive fără numere complexe au început acum să apară. La mijlocul anilor 1840, Gotthold Eisenstein și Carl Jacobi au demonstrat primele legi de reciprocitate cubică.

Apoi, în anii 1920, Emil Artin, unul dintre fondatorii algebrei moderne, a descoperit ceea ce Conrad numește „legea reciprocă supremă”. Toate celelalte legi de reciprocitate ar putea fi privite ca cazuri speciale ale legii de reciprocitate a lui Artin.

Un secol mai târziu, matematicienii încă elaborează noi dovezi ale primei legi de reciprocitate pătratică a lui Gauss și o generalizează în contexte matematice noi. A avea multe dovezi distincte poate fi util. „Dacă doriți să extindeți rezultatul la o nouă setare, poate că unul dintre argumente se va transfera cu ușurință, în timp ce celelalte nu o vor face”, a spus Conrad.

De ce reciprocitatea este atât de utilă

Reciprocitatea patratică este utilizată în domenii de cercetare atât de diverse precum teoria grafurilor, topologia algebrică și criptografia. În cel din urmă, un algoritm influent de criptare cu cheie publică dezvoltat în 1982 de Shafi Goldwasser și Silvio micali se bazează pe înmulțirea a două numere prime mari p și q împreună și scoateți rezultatul, N, împreună cu un număr, x, care nu este un modulo pătrat N. Algoritmul folosește N și x pentru a cripta mesajele digitale în șiruri de numere mai mari. Singura modalitate de a decripta acest șir este de a decide dacă fiecare număr din șirul criptat este sau nu un pătrat modulo N — practic imposibil fără a cunoaște valorile primelor p și q.

Și, desigur, reciprocitatea pătratică apare în mod repetat în teoria numerelor. De exemplu, poate fi folosit pentru a demonstra că orice număr prim egal cu 1 modulo 4 poate fi scris ca suma a două pătrate (de exemplu, 13 este egal cu 1 modulo 4 și 13 = 4 + 9 = 2² + 3²). Prin contrast, numerele prime egale cu 3 modulo 4 nu pot fi scrise niciodată ca suma a două pătrate.

Sarnak a remarcat că reciprocitatea ar putea fi folosită pentru a rezolva întrebări deschise, cum ar fi a afla ce numere pot fi scrise ca sumă a trei cuburi. Se știe că numerele care sunt egale cu 4 sau 5 modulo 9 nu sunt egale cu suma a trei cuburi, dar altele rămân un mister. (În 2019, Andrew Booker titluri generate când a descoperit că (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

Cu toate aplicațiile sale și multe dovezi diferite, există ceva despre reciprocitate care rămâne un mister, a spus Stange.

„Ceea ce se întâmplă adesea cu o demonstrație matematică este că poți urma fiecare pas; poți să crezi că este adevărat”, a spus ea. „Și încă poți să ieși la capătul celălalt simțind: „Dar de ce?””

Înțelegerea, la nivel visceral, a ceea ce face 7 și 11 diferit de 5 și 13 ar putea fi pentru totdeauna dincolo de atingere. „Putem jongla doar cu atâtea niveluri de abstractizare”, a spus ea. „Apare peste tot în teoria numerelor... și totuși este doar un pas dincolo de ceea ce simți că ai putea să știi cu adevărat.”

Cuante efectuează o serie de sondaje pentru a servi mai bine publicul nostru. Ia-ne sondaj pentru cititorii de matematică și vei fi înscris pentru a câștiga gratuit Cuante Merch.