Introducere
Gina, studenta la geometrie, a stat treaz prea târziu aseară, făcând temele în timp ce privea Marele britanic se coace, așa că, când în sfârșit s-a culcat, mintea ei adormită era încă plină de prăjituri și busole. Acest lucru a dus la un vis cel mai neobișnuit.
Gina s-a găsit judecătorul Great Brownie Bake Off la Imaginary University, o școală în care elevii învață multă geometrie, dar foarte puțină aritmetică. Echipele de studenți de la Imaginary U au fost însărcinate să facă cea mai mare brownie pe care o puteau, iar Gina era la latitudinea să determine câștigătorul.
Echipa Alpha a fost prima care a terminat și și-au prezentat cu mândrie brownie-ul dreptunghiular pentru jurizare. Gina a scos o riglă și a măsurat brownie-ul: avea 16 inci lungime și 9 inci lățime. Echipa Beta a urmat rapid cu brownie-ul lor pătrat, care măsura 12 inci pe fiecare parte. Atunci au început necazurile.
„Brownie-ul nostru este mult mai lung decât al tău”, a spus căpitanul echipei Alpha. „A noastră este în mod clar mai mare, așa că noi suntem câștigătorii!”
„Dar latura scurtă a dreptunghiului tău este mult mai scurtă decât latura pătratului nostru”, a spus un reprezentant al echipei Beta. „Pătratul nostru este în mod clar mai mare. Noi am castigat!"
Ginei i s-a părut ciudat să se certe despre asta. „Aria brownie dreptunghiulară este de 9 ori 16, adică 144 de inci pătrați”, a spus ea. „Aria brownie-ului pătrat este de 12 ori 12, care este, de asemenea, 144 de inci pătrați. Brownie-urile au aceeași dimensiune: este o cravată.”
Ambele echipe păreau nedumerite. „Nu înțeleg ce vrei să spui prin „timpuri””, a spus un elev, căruia nu i s-a învățat niciodată înmulțirea. „Nici eu”, a spus altul. Un al treilea a spus: „Am auzit despre studenții de la Complex College care măsoară zona folosind numere o dată, dar ce înseamnă asta?” Universitatea Imaginară a fost într-adevăr un loc ciudat, chiar dacă visele merg.
Ce trebuia să facă Gina? Cum ar putea ea să convingă echipele că brownie-urile lor aveau aceeași dimensiune dacă nu înțelegeau cum să măsoare suprafața și să înmulțească numerele? Din fericire, Gina a avut o idee genială. „Dă-mi un cuțit”, a spus ea.
Gina a măsurat 12 inci pe partea lungă a brownie-ului dreptunghiular și a făcut o tăietură paralelă cu partea scurtă. Acest lucru a transformat dreptunghiul mare în două mai mici: unul măsurând 9 pe 12 și celălalt 9 pe 4. Cu trei tăieturi rapide, ea a transformat piesa de 9 pe 4 în trei bucăți mai mici de 3 pe 4. Un pic de rearanjare a dus la ooh și aahs audibile din partea mulțimii: Gina transformase dreptunghiul într-o replică exactă a pătratului.
Ambele echipe trebuiau acum să fie de acord că brownies-urile lor aveau aceeași dimensiune. Disecând unul și rearanjandu-l pentru a forma celălalt, Gina a arătat că cele două brownies ocupau aceeași suprafață totală. Disecțiile ca aceasta au fost folosite în geometrie de mii de ani pentru a arăta că figurile au aceeași dimensiune și există multe rezultate remarcabile despre disecții și echivalență. Chiar și astăzi, matematicienii folosesc încă disecția și rearanjarea pentru a înțelege pe deplin când anumite forme sunt echivalente, ceea ce duce la unele rezultate recente surprinzătoare.
Probabil că ați văzut disecții geometrice la ora de matematică atunci când dezvoltați formulele de zonă pentru formele de bază. De exemplu, s-ar putea să vă amintiți că aria unui paralelogram este egală cu lungimea bazei sale înmulțit cu înălțimea sa: Acest lucru se datorează faptului că un paralelogram poate fi disecat și rearanjat într-un dreptunghi.
Această disecție arată că aria paralelogramului este egală cu aria unui dreptunghi cu aceeași bază și înălțime, care, așa cum știe oricine care nu a frecventat Imaginary University, este produsul acestor două numere.
Apropo de Imaginary U, Great Brownie Bake Off tocmai se încălzea. Echipa Gamma s-a apropiat cu un brownie triunghiular mare. „Iată câștigătorul”, au anunțat ei cu îndrăzneală. „Ambele părți ale noastre sunt mult mai lungi decât celelalte.”
Gina a măsurat părțile laterale. „Aceasta are și aceeași zonă!” a exclamat ea. „Acesta este un triunghi dreptunghic, iar picioarele măsoară 18 și 16, deci zona este...” Gina făcu o pauză pentru o clipă, observând privirile uluite de pe fețele tuturor. "Oh nu contează. Dă-mi doar cuțitul.”
Gina a tăiat cu îndemânare de la mijlocul ipotenuzei până la mijlocul catetei mai lungi, apoi a rotit triunghiul nou format, astfel încât să facă un dreptunghi perfect atunci când a fost cuibărit în piesa mai mare.
„Tocmai acesta este brownie-ul nostru!” strigă Echipa Alpha. Destul de sigur, dreptunghiul rezultat a fost de 9 pe 16: exact aceeași dimensiune ca a lor.
Echipa Beta avea îndoielile lor. „Dar cum se compară acest triunghi cu pătratul nostru?” a întrebat liderul echipei lor.
Gina era pregătită pentru asta. „Știm deja că dreptunghiul și pătratul au aceeași dimensiune, așa că prin tranzitivitate, triunghiul și pătratul au aceeași dimensiune.” Tranzitivitatea este una dintre cele mai importante proprietăți ale egalității: Se spune că dacă a = b și b = c, Apoi a = c. Gina a continuat: „Dacă aria primului brownie este egală cu aria celui de-al doilea, iar aria celui de-al doilea brownie este egală cu aria celui de-al treilea, primul și al treilea brownie trebuie să aibă și ele zone egale.”
Dar Gina se distra prea tare cu disecțiile ca să se oprească aici. „Sau am putea doar să mai facem câteva reduceri.”
Mai întâi Gina a rotit dreptunghiul care era anterior un triunghi. Apoi l-a tăiat folosind exact același model pe care îl folosise pe dreptunghiul echipei Alpha.
Apoi ea a arătat cum această nouă disecție a triunghiului echipei Gamma ar putea fi transformată în pătratul echipei Beta, exact așa cum făcuse cu dreptunghiul echipei Alpha.
În această situație spunem că triunghiul și pătratul sunt „foarfece congruente”: vă puteți imagina că folosiți foarfecele pentru a tăia o figură în bucăți finite care pot fi apoi rearanjate pentru a forma cealaltă. În cazul triunghiului și pătratului, brownies-urile arată exact cum funcționează această congruență a foarfecelor.
Observați că modelul funcționează în orice direcție: poate fi folosit pentru a transforma triunghiul în pătrat sau pătratul în triunghi. Cu alte cuvinte, congruența foarfecelor este simetrică: dacă forma A este foarfecele congruente cu forma B, atunci forma B este, de asemenea, foarfecele congruente cu forma A.
De fapt, argumentul de mai sus care implică triunghiul, dreptunghiul și pătratul arată că congruența foarfecelor este, de asemenea, tranzitivă. Deoarece triunghiul este foarfece congruente cu dreptunghi și dreptunghiul este foarfece congruente cu pătratul, triunghiul este foarfece congruente cu pătratul. Dovada este în modele: doar suprapuneți-le pe forma intermediară, așa cum sa făcut cu dreptunghiul de mai sus.
Dacă tăiați triunghiul în bucăți care fac dreptunghiul, apoi tăiați dreptunghiul în bucăți care fac pătratul, bucățile rezultate pot fi folosite pentru a forma oricare dintre cele trei forme.
Faptul că congruența foarfecelor este tranzitivă este în centrul unui rezultat uimitor: dacă două poligoane au aceeași zonă, atunci sunt congruente în foarfece. Aceasta înseamnă că, având în vedere orice două poligoane cu aceeași zonă, puteți oricând să tăiați unul într-un număr finit de bucăți și să le rearanjați pentru a face celălalt.
Dovada acestei teoreme remarcabile este, de asemenea, remarcabil de simplă. Mai întâi, tăiați fiecare poligon în triunghiuri.
În al doilea rând, transformați fiecare triunghi într-un dreptunghi, similar cu modul în care Gina a rearanjat brownie-ul triunghiular.
Acum vine partea tehnică dificilă: transformați fiecare dreptunghi într-un dreptunghi nou care are o lățime de o unitate.
Pentru a face acest lucru, începeți să tăiați bucăți din dreptunghi care au o lățime de o unitate.
Dacă puteți tăia dreptunghiul într-un număr întreg de bucăți de lățime 1, ați terminat: stivuiți-le unul peste altul. În caz contrar, nu mai tăiați când ultima bucată are lățime între 1 și 2 unități și stivuiți restul unul peste altul.
Nu vă faceți griji dacă dreptunghiul în sine are o lățime mai mică de 1 unitate: Doar tăiați-l în jumătate și utilizați cele două bucăți pentru a face un nou dreptunghi care este de două ori mai lung și jumătate mai gros. Repetați după cum este necesar până când obțineți un dreptunghi între 1 și 2 unități lățime.
Acum imaginați-vă că acest dreptunghi final are înălțime h și lățimea w, cu 1 w < 2. Vom tăia acel dreptunghi și îl vom rearanja într-un dreptunghi cu lățime 1 și înălțime h × w. Pentru a face acest lucru, suprapuneți h × w dreptunghi cu cel dorit hw × 1 dreptunghi ca acesta.
Apoi tăiați din colț în colț de-a lungul liniei punctate și tăiați micul triunghi din dreapta jos, după marginea dreaptă a hw × 1 dreptunghi.
Acest lucru taie h × w dreptunghi în trei bucăți care pot fi rearanjate într-un hw × 1 dreptunghi. (Justificarea acestei disecții finale necesită câteva argumente inteligente care implică triunghiuri similare. Consultați exercițiile de mai jos pentru detalii.)
În cele din urmă, puneți acest ultim dreptunghi deasupra stivei și ați transformat cu succes acest poligon - într-adevăr, orice poligon - într-un dreptunghi de lățime 1.
Acum dacă aria poligonului original a fost A, atunci înălțimea acestui dreptunghi trebuie să fie A, deci fiecare poligon cu zonă A este foarfecele congruente cu un dreptunghi cu lățimea 1 și înălțimea A. Asta înseamnă că dacă două poligoane au zonă A, atunci ambele sunt foarfece congruente cu același dreptunghi, deci prin tranzitivitate sunt foarfece congruente între ele. Aceasta arată că fiecare poligon cu zonă A este foarfecele congruente cu orice alt poligon cu arie A.
Dar nici acest rezultat puternic nu a fost suficient pentru a finaliza cu succes jurizarea Brownie Bake Off de la Imaginary University. Mai era încă o intrare și nimeni nu a fost surprins de ceea ce a apărut Team Pi.
În momentul în care Gina a văzut acel cerc venind, s-a trezit din vis cu o sudoare rece. Ea știa că era imposibil să tai un cerc în mai multe bucăți și să le rearanjezi pentru a forma un pătrat, un dreptunghi sau orice poligon. În 1964, matematicienii Lester Dubins, Morris Hirsch și Jack Karush au demonstrat că un cerc nu este foarfece congruente cu niciun poligon. Visul Ginei se transformase într-un coșmar geometric.
Dar așa cum par să facă întotdeauna, matematicienii au transformat acest obstacol în matematică nouă. În 1990, Miklós Laczkovich a demonstrat că este posibil să tăiați un cerc și să-l rearanjați într-un pătrat, atâta timp cât puteți utiliza bucăți infinit de mici, infinit deconectate, infinit zimțate, care nu ar putea fi produse cu o pereche de foarfece.
Oricât de surprinzător și incitant a fost rezultatul lui Laczkovich, a dovedit doar că o astfel de descompunere este posibilă teoretic. Nu a explicat cum se construiesc piesele, doar că ar putea exista. Aici au intervenit Andras Máthé, Oleg Pikhurko și Jonathan Noel: la începutul lui 2022 a postat o lucrare în care s-au potrivit cu realizarea lui Laczkovich, dar cu piese care sunt posibil de vizualizat.
Din păcate, nu veți putea folosi rezultatul lor pentru a rezolva orice coacere cu brownie. Foarfecele singure nu pot produce 10200 piese necesare în descompunerea lor. Dar este un alt pas înainte în a răspunde unui lung șir de întrebări care au început atunci când Arhimede a inventat sau a descoperit pentru prima dată $latexul pi$. Și ne face să ne mișcăm spre inventarea sau descoperirea de noi matematici la care generațiile anterioare nu puteau visa.
Exerciții
1. Explicați cum știm că în derivarea formulei ariei pentru un paralelogram, triunghiul pe care l-am tăiat se potrivește perfect în spațiul de pe cealaltă parte a paralelogramului.
2. Explicați de ce orice triunghi poate fi disecat într-un dreptunghi.
Pentru exercițiile 3 și 4, luați în considerare diagrama folosită pentru a arăta că an h × w dreptunghiul este foarfecele congruente cu an hw × 1 dreptunghi, cu puncte etichetate.
3. Explicați de ce $triunghi de latex$ XYQ este similar cu $latextriangle$ ABX. Ce înseamnă asta lungimea QY?
4. Explicați de ce $triunghi de latex$ PCX este congruent cu $triunghiul latex$ AZQ.
Faceți clic pentru răspunsul 1:
Există multe moduri de a arăta că cele două triunghiuri sunt congruente. O modalitate este de a observa că distanța dintre liniile paralele este constantă, astfel încât cele două triunghiuri dreptunghiulare au o pereche de catete congruente.
Și într-un paralelogram, laturile opuse sunt congruente, ceea ce face ca cele două triunghiuri să fie congruente prin teorema de congruență a triunghiului ipotenuză-leg. De asemenea, puteți face un argument folosind teorema de congruență a triunghiului unghi-latură-unghi.
Faceți clic pentru răspunsul 2:
Unul dintre marile rezultate elementare în geometria triunghiului este teorema segmentului mijlociu al triunghiului: dacă legați punctele medii ale două laturi ale unui triunghi, segmentul de linie rezultat este paralel cu cea de-a treia latură și jumătate din lungimea acesteia.
Deoarece segmentul este paralel cu a treia latură, unghiurile 1 și 3 sunt unghiuri corespunzătoare congruente. Și unghiurile 1 și 2 sunt unghiuri interioare cu aceeași parte, deci sunt suplimentare, ceea ce înseamnă că măsurile lor sunt însumate la 180 de grade. Deoarece $latexangle$ 1 este congruent cu $latexangle$ 3, înseamnă că unghiurile 3 și 2 sunt de asemenea suplimentare.
Astfel, când răsturnați triunghiul de sus în jurul și spre dreapta, laturile congruente se vor potrivi perfect, iar unghiurile 2 și 3 vor forma o linie dreaptă.
Acest lucru transformă triunghiul într-un paralelogram, care, după cum știm deja, poate fi transformat într-un dreptunghi.
Faceți clic pentru răspunsul 3:
Întrucât BXYZ este un dreptunghi, ambele $latexangle$ ZBC și $latexangle$ ZYX sunt unghiuri drepte. Și deoarece laturile opuse ale unui dreptunghi sunt paralele, acest lucru face $latexangle$ YQX congruent cu $latexangle$ AXB, deoarece sunt unghiuri interioare alternative. Astfel $latextriunghi$ XYQ este similar cu $latextriangle$ ABX prin asemănarea unghi-unghi. În triunghiuri similare, laturile sunt proporționale, deci $latex frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$. Astfel, $latex frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$, și așa QY = 1. Observați că, deoarece $latexangle$ ADC este un unghi drept și $unghi latex$ DAP si $unghi latex$ YQX sunt unghiuri corespunzătoare congruente, aceasta face $triunghi de latex$ DAP congruent cu $latextriunghi$ YQX. Acest lucru demonstrează că puteți glisa $latextriangle$ YQX în locul ocupat în prezent de $triunghi de latex$ DAP, așa cum este necesar în argumentul congruenței foarfecelor.
Faceți clic pentru răspunsul 4:
Observați că $unghiul latex$ AZQ și $latexangle$ PCX sunt ambele unghiuri drepte și, prin urmare, congruente. Folosind proprietățile liniilor paralele ca în exercițiul 3, putem vedea și acel $unghi latex$ AQZ si $unghi latex$ PXC sunt unghiuri corespondente congruente. Tot în exercițiul 3, am arătat că QY = 1. Aceasta face QZ = w − 1, care este exact ceea ce CX este egal cu. Astfel, $triunghi de latex$ PCX este congruent cu $triunghiul latex$ AZQ prin congruența triunghi unghi-latură-unghi. Aceasta justifică cealaltă parte a argumentului că an h × w dreptunghiul este foarfecele congruente cu an hw × 1 dreptunghi.
