Matematica surprinzător de simplă din spatele potrivirilor încurcate | Revista Quanta

Este meciul de campionat al Ligii Imaginary Math, unde Algebrele din Atlanta se vor confrunta cu Carolina Cross Products. Cele două echipe nu s-au jucat între ele în acest sezon, dar la începutul anului, Atlanta i-a învins pe Brooklyn Bisectors cu scorul de 10 la 5, iar Brooklyn a învins-o pe Carolina cu scorul de 7 la 3. Asta ne oferă vreo perspectivă asupra cine va lua titlul?

Ei bine, iată o linie de gândire. Dacă Atlanta învinge Brooklyn, atunci Atlanta este mai bună decât Brooklyn, iar dacă Brooklyn o învinge pe Carolina, atunci Brooklyn este mai bună decât Carolina. Deci, dacă Atlanta este mai bună decât Brooklyn și Brooklyn este mai bună decât Carolina, atunci Atlanta ar trebui să fie mai bună decât Carolina și să câștige campionatul.

Dacă joci jocuri competitive sau sporturi, știi că a prezice rezultatul unui meci nu este niciodată atât de simplu. Dar din punct de vedere pur matematic, acest argument are un oarecare atracție. Folosește o idee importantă în matematică cunoscută sub numele de tranzitivitate, o proprietate familiară care ne permite să construim șiruri de comparații între relații. Tranzitivitatea este una dintre acele proprietăți matematice care sunt atât de fundamentale încât s-ar putea să nu o observi.

De exemplu, egalitatea numerelor este tranzitivă. Asta înseamnă că dacă știm asta a = b și b = c, putem concluziona că a = c. Relația „mai mare decât” este, de asemenea, tranzitivă: pentru numere reale, dacă a > b și b > c, Apoi a > c. Când relațiile sunt tranzitive, le putem compara și combina, creând o ordonare a obiectelor. Dacă Anna este mai înaltă decât Benji și Benji este mai înalt decât Carl, atunci îi putem ordona pe cei trei după înălțimea lor: A, B, C. Tranzitivitatea se află și în spatele argumentului nostru naiv că dacă A e mai bine ca B și B e mai bine ca C, Apoi A e mai bine ca C.

Tranzitivitatea este prezentă în egalitate, congruență, asemănare, chiar paralelism. Face parte din toate matematica de bază pe care o facem, ceea ce o face deosebit de interesantă din punct de vedere matematic atunci când nu există. Când analiștii clasifică echipele, economiștii studiază preferințele consumatorilor sau cetățenii își votează candidații preferați, lipsa tranzitivității poate duce la rezultate surprinzătoare. Pentru a înțelege mai bine aceste tipuri de sisteme, matematicienii au studiat „zarurile intranzitive” de peste 50 de ani și un hârtie recentă din colaborarea matematică online cunoscută sub numele de proiectul Polymath a avansat această înțelegere. Pentru a înțelege cum arată și cum se simte intranzitivitatea, să ne formăm o ligă proprie și să ne jucăm.

În noua noastră ligă de matematică, jucătorii concurează aruncând monede personalizate și comparând rezultatele. Să spunem jucător A are o monedă cu numărul 10 pe o față și numărul 6 pe cealaltă, și jucător BMoneda lui are numerele 8 și 3. Vom presupune că monedele sunt corecte - ceea ce înseamnă că fiecare parte este la fel de probabil să apară atunci când monedele sunt răsturnate - și vom reprezenta numerele de pe monede astfel.

Într-un joc, jucătorii își învârt monedele, iar cel care are moneda care arată numărul mai mare este câștigătorul. Cine va câștiga când A joacă B?

Desigur, depinde. Uneori A va câștiga, uneori B vom castiga. Dar nu este greu să vezi asta A este favorizat să câștige împotriva B. Există patru moduri în care jocul se poate desfășura și A victorii în trei dintre ele.

Deci în jocul de A contra B, A are 75% șanse de câștig.

Acum C vine și provocări B la un joc. CMoneda lui are un 5 pe o parte și un 4 pe cealaltă. Din nou, există patru posibilități.

Aici B și C fiecare câștigă două dintre cele patru meciuri, astfel încât fiecare va câștiga 50% din jocuri. B și C sunt egale.

Acum, ce v-ați aștepta să se întâmple când A și C Joaca? Bine, A de obicei bate B, și B este egal cu C, așa că pare rezonabil să ne așteptăm la asta A va fi probabil favorizat împotriva C.

dar A este mai mult decât un favorit. A domină C, câștigând 100% din timp.

Acest lucru poate părea surprinzător, dar din punct de vedere matematic nu este greu de înțeles de ce se întâmplă. Cnumerele lui sunt între ele Blui, deci C câștigă oricând B inversează numărul lor inferior. Dar Cnumerele lui sunt ambele mai jos Alui, deci C nu va câștiga niciodată acel meci. Acest exemplu nu încalcă ideea de tranzitivitate, dar arată că lucrurile ar putea fi mai complicate decât doar A > B > C. O ușoară schimbare a jocului nostru arată cât de mult mai complicat poate fi.

Concurenții noștri se obosesc repede de jocul de aruncare a monedelor pe două fețe, deoarece este ușor de înțeles complet din punct de vedere matematic (vezi exercițiile de la sfârșitul coloanei pentru mai multe detalii), așa că liga decide să treacă la monede cu trei fețe. (Unul dintre avantajele jocului într-o ligă imaginară de matematică este că orice este posibil.)

Aici sunt A și Bmonedele lui:

Cine este favorizat într-un joc între A și B? Ei bine, există trei rezultate pentru Aaruncarea monedelor lui și trei pentru B, ceea ce duce la nouă rezultate posibile ale jocului pe care le putem reprezenta cu ușurință.

Presupunând din nou că toate rezultatele sunt la fel de probabile, A bătăi B în cinci din cele nouă rezultate. Acest lucru înseamnă A ar trebui să câștige $latex frac{5}{9} aproximativ $ 55% din timp, deci A este favorizat împotriva B.

Simțindu-se puțin deprimat în privința perspectivelor lor, B provocări C la un joc. Cnumerele lui sunt afișate mai jos. Iti place Bsansele lui?

Din nou, există nouă rezultate posibile într-un joc de B contra C, așa că le putem enumera.

Putem vedea asta B arata destul de bine impotriva C. În cinci dintre cele nouă rezultate posibile, B învinge. Asa de B este favorizat împotriva C.

Sărac C acum trebuie să joace A. Cu A favorizat împotriva B și B favorizat împotriva C, ce face sansa C trebuie sa castige? Una destul de bună, după cum se dovedește.

În cinci dintre cele nouă rezultate posibile de aici, C bătăi A. Aceasta înseamnă că C este favorizat împotriva A, chiar dacă Aeste favorizat împotriva B și B este favorizat împotriva C.

Acesta este un exemplu de sistem intranzitiv. În termeni mai tehnici, relația „a fi favorizat împotriva” în jocul nostru nu este tranzitivă: A este favorizat împotriva B, și B este favorizat împotriva C, Dar A nu este neapărat favorizat împotriva C.

Nu o vedem adesea la matematică, dar acest tip de comportament nu i-ar surprinde pe fanii sportului. Dacă Giants i-ar învinge pe Eagles și Eagles îi înving pe Cowboy, Cowboy-ii ar putea totuși să-i învingă foarte bine pe Giants. Există o mulțime de factori care contribuie la rezultatul unui joc individual. Echipele se pot îmbunătăți prin antrenament sau pot stagna dacă nu inovează. Jucătorii pot schimba echipe. Detalii precum locația jocului – acasă sau în deplasare – sau cât de recent au jucat echipele pot influența cine câștigă și cine pierde.

Dar acest exemplu simplu arată că există și motive pur matematice în spatele acestui tip de intranzitivitate. Și această considerație pur matematică are ceva în comun cu constrângerile din lumea reală ale competiției: potrivirile.

Iată cifrele pentru A, B și C.

Când le privim unul lângă altul, este mai ușor să vedem de ce apare intransitivitate în această situație. Cu toate că B este favorizat să câștige împotriva C, CCele două numere medii-mare ale lui — 7 și 6 — le oferă un avantaj față de A acea B nu are. Chiar dacă A este favorizat împotriva B și B este favorizat împotriva C, C meciuri împotriva A mai mult B face. Acest lucru este similar cu modul în care o echipă sportivă nefavorabilă s-ar putea potrivi bine cu un adversar superior, deoarece stilul său de joc este dificil de gestionat de acea echipă sau pentru că un jucător sau antrenor le oferă un avantaj împotriva acelui adversar anume.

Faptul că sporturile sunt intranzitive face parte din ceea ce le face distractive și convingătoare. La urma urmei, dacă A bătăi B și B bătăi C, C nu va pierde doar din cauza tranzitivității atunci când se confruntă cu A. În competiție, orice se poate întâmpla. După cum au spus mulți comentatori după o supărare, „De aceea joacă jocul”.

Și de aceea ne jucăm cu matematica. Pentru a găsi ceea ce este distractiv, convingător și surprinzător. Orice se poate întâmpla.

Exerciții

1. Să presupunem că doi jucători joacă jocul cu monede cu două fețe, iar cele patru numere din cele două monede sunt toate diferite. În esență, există doar șase scenarii posibile pentru cine câștigă și cât de des. Ce sunt ei?

2. În scenariul de joc cu trei fețe descris mai sus, găsiți o monedă diferită cu trei fețe pentru C astfel încât B este încă favorizat împotriva C și C este încă favorizat împotriva A.

3. Demonstrează că într-un joc cu monede pe două fețe, este imposibil să ai trei jucători A, B, C astfel încât A este favorizat împotriva B, B este favorizat împotriva C, și C este favorizat împotriva A.