Introducere
Tindem să considerăm matematica ca fiind pur logică, dar predarea matematicii, valorile, utilitatea și funcționarea ei sunt pline de nuanțe. Deci, ce este matematica „bună”? În 2007, matematicianul Terence tao a scris un eseu pentru Buletinul Societății Americane de Matematică care a căutat să răspundă la această întrebare. Astăzi, în calitate de beneficiar al unei medalii Fields, al unui premiu Breakthrough în matematică și al unei burse MacArthur, Tao este unul dintre cei mai onorați și prolifici matematicieni în viață. În acest episod, el se alătură gazdei și colegului nostru matematician Steven Strogatz pentru a revedea elementele bunei matematici.
Ascultă Podcast-uri Apple, Spotify, Podcast-uri Google, stitcher, TuneIn sau aplicația ta de podcasting preferată, sau poți transmite-l de la Cuante.
Copie
STEVEN STROGATZ: În octombrie 2007, când iPhone-ul de prima generație era încă o marfă fierbinte, iar piața de valori era la un nivel maxim înainte de Marea Recesiune, Terence Tao, profesor de matematică la UCLA, a fost hotărât să răspundă la un întrebare care fusese mult dezbătută în rândul matematicienilor: Ce este exact matematica bună?
Este vorba de rigoare? Eleganţă? Utilitate reală? Terry a scris un eseu foarte atent și generos, aș spune chiar cu inima deschisă, despre toate modurile în care matematica ar putea fi bună. Dar acum, la peste 15 ani mai târziu, trebuie să ne regândim ce este matematica bună?
Sunt Steve Strogatz, iar acesta este „The Joy of Why”, un podcast de la Revista Quanta unde co-gazda mea, Janna Levin, și cu mine explorăm pe rând unele dintre cele mai mari întrebări fără răspuns din matematică și știință de astăzi.
(Piese de teatru tematice)
Aici, astăzi, pentru a revizui eterna întrebare a ceea ce face matematica bună este Terry Tao însuși. Profesorul Tao a scris mai mult de 300 de lucrări de cercetare pe o gamă uimitor de largă de matematică, inclusiv analiza armonică, ecuații cu diferențe parțiale, combinatorie, teoria numerelor, știința datelor, matrici aleatoare și multe altele. El a fost numit „Mozart al matematicii”. Și, în calitate de câștigător al unei medalii Fields, al unui premiu Breakthrough în matematică, al unei burse MacArthur și al multor alte premii, acest nume este cu siguranță binemeritat.
Terry, bun venit la „Bucuria de ce”.
TERENCE TAO: Mă bucur să fiu aici.
STROGATZ: Sunt foarte încântat să vă pot vorbi despre această întrebare despre ceea ce face ca unele tipuri de cercetare matematică să fie bune. Îmi amintesc destul de clar că am răsfoit Buletinul Societății Americane de Matematică în 2007 și a apărut eseul tău despre această problemă pe care ai pozat pentru noi. Este ceva la care se gândesc toți matematicienii. Dar pentru oamenii care nu sunt atât de familiari, ați putea să ne spuneți cum ați ajuns la această întrebare? Cum ai definit matematica bună la acea vreme?
TAO: Corect, da. A fost de fapt o solicitare. Deci, editorul de la Buletin la acea vreme îmi ceruse să contribui cu un articol. Cred că aveam o idee foarte naivă despre ce era matematica ca student. Am avut oarecum ideea că există un fel de consiliu al bărbilor cenușii care ar da probleme la care să lucreze oamenii. Și a fost un fel de șoc pentru mine, ca student absolvent, să-mi dau seama că nu există de fapt această autoritate centrală care să distribuie problemele, iar oamenii au făcut cercetări autonome.
Am continuat să merg la discuții și să ascult cum au vorbit alți matematicieni despre ceea ce consideră ei interesant și despre ceea ce îi face entuziasmați de matematică și despre faptul că fiecare matematician are un mod diferit de a aborda matematica. De exemplu, unii ar urmari aplicații, unii după un fel de frumusețe estetică, alții doar prin rezolvarea problemelor. Au vrut să rezolve o problemă și s-au concentrat pe sarcinile cele mai dificile, cele mai provocatoare. Unii s-ar concentra pe tehnică; unii ar încerca să facă lucrurile cât mai elegante.
Dar ceea ce m-a frapat când am ascultat atât de mulți dintre acești matematicieni diferiți care vorbesc despre ceea ce ei consideră valoros în matematică este că, deși toți aveam idealuri diferite cu privire la cum ar trebui să arate matematica bună, toți tind să converg spre acelasi lucru.
Dacă o bucată de matematică este cu adevărat bună, oamenii care urmăresc frumusețea se vor întâmpla în cele din urmă peste ea. Oamenii care urmăresc, care prețuiesc, știți, puterea tehnică sau aplicațiile vor ajunge în cele din urmă la ea.
Eugene Wigner a avut un eseu foarte faimos despre eficacitatea nerezonabilă a matematicii în științele fizice în urmă cu aproape un secol, unde tocmai a observat că există domenii ale matematicii - de exemplu, geometria riemanniană, studiul spațiului curbat - care a fost inițial doar un exercițiu pur teoretic pentru matematicieni, știți, care încercau să demonstreze postul paralel și așa mai departe, s-a dovedit a fi exact ceea ce Einstein, Poincaré și Hilbert aveau nevoie pentru a descrie matematica relativității generale. Și acesta este doar un fenomen care are loc.
Deci nu este doar faptul că matematica, că [cee] matematicienii găsesc interesant din punct de vedere intelectual ajung să fie important din punct de vedere fizic. Dar chiar și în matematică, subiectele pe care matematicienii le găsesc elegante se întâmplă să ofere o perspectivă profundă.
Ceea ce simt este că, știi, există o matematică platonică bună acolo, iar toate sistemele noastre de valori diferite sunt doar moduri diferite de a accesa acele lucruri bune obiective.
STROGATZ: Este foarte interesant. Fiind un fel de persoană înclinată spre gânduri platonice, sunt tentată să fiu de acord. Deși sunt puțin surprins să te aud spunând asta, pentru că aș fi crezut că unde mergi părea să fii inițial, cum ar fi, există atât de multe puncte de vedere diferite despre asta. Este un fapt interesant, totuși, un fel de fapt empiric, că convergem spre a fi de acord cu privire la ceea ce este bine sau nu, chiar dacă, așa cum spuneți, venim la asta din atât de multe valori diferite.
TAO: Dreapta. Convergența poate dura timp. Știi, deci există cu siguranță câmpuri, de exemplu, în care arată mult mai bine măsurate printr-o măsurătoare decât altele. Ca poate au o mulțime de aplicații, dar prezentarea lor este extrem de dezgustătoare, știi.
(Strogatz râde)
Sau lucruri care sunt foarte elegante, dar nu au încă multe aplicații bune în lumea reală. Dar simt că în cele din urmă va converge.
STROGATZ: Ei bine, permiteți-mi să vă întreb despre acest punct de contact cu lumea reală. Este o tensiune interesantă în matematică. Și, știți, de mici copii, să spunem, când învățăm pentru prima dată despre geometrie, s-ar putea să vă gândiți că triunghiurile sunt reale sau că cercurile sau liniile drepte sunt reale și că vă pot spune despre formele dreptunghiulare pe care le vedeți. în clădiri din lume, sau că geometrii trebuie să folosească geometria. Și la urma urmei, cuvântul vine de la măsurarea Pământului, drept, „geometrie”. Și așa, a existat o perioadă în care geometria era empirică.
Dar ceea ce am vrut să te întreb are de-a face cu un comentariu care John von Neumann făcut. Deci von Neumann, pentru oricine nu era familiar, era el însuși un mare matematician. Și a făcut acest comentariu în acest eseu, „Matematicianul”, despre relația dintre matematică și lumea empirică, lumea reală, unde spune aproximativ că ideile matematice își au originea în empiric, dar că la un moment dat, odată ce obții ideile matematice, subiectul începe să capete o viață a lui. proprii. Și apoi este mai degrabă o piesă de artă creativă. Criteriile estetice devin importante. Dar el spune că asta provoacă pericol. Că atunci când un subiect începe să se îndepărteze prea mult de sursa sa empirică, mai ales în a doua sau a treia generație, el spune că există șansa ca subiectul să sufere de prea multă consangvinizare abstractă și să fie în pericol de degenerare.
Ceva gânduri despre asta? Adică, matematica trebuie să rămână în contact cu sursa ei empirică?
TAO: Da, cred că trebuie să fie împământat. Când spun că, din punct de vedere empiric, toate aceste moduri diferite de a face matematică converg, este doar pentru că - asta se întâmplă doar atunci când subiectul este sănătos. Deci, știi, vestea bună este că de obicei așa este.
Dar, de exemplu, matematicienii prețuiesc dovezile scurte față de cele lungi, toate celelalte lucruri fiind egale. Dar ne-am putea imagina că oamenii trec peste bord și, cum ar fi, un subdomeniu al matematicii fiind obsedat de a face dovezi cât mai scurte posibil și de a avea aceste dovezi extrem de opace pe două linii ale teoremelor profunde. Și ei fac un fel de concurs, și apoi devine un fel de joc abstru și apoi pierzi toată intuiția. Poate pierzi o înțelegere mai profundă pentru că ești atât de obsedat să faci toate dovezile tale cât mai scurte posibil. Acum, acest lucru nu se întâmplă de fapt în practică. Dar acesta este un fel de exemplu teoretic și cred că von Neumann făcea un punct similar.
Și în anii șaizeci și șaptezeci, de exemplu, a existat o eră a matematicii în care abstractizarea făcea pași uriași în simplificarea și unificarea multor matematici care anterior erau foarte empirice. Mai ales în algebră, oamenii își dădeau seama, știți, numere și polinoame și multe alte obiecte care anterior erau tratate separat, toți puteați să vă gândiți la ele ca membri ai aceleiași clase algebrice, în acest caz un inel.
Și s-au făcut multe progrese în matematică prin găsirea abstracției potrivite, știți, fie că era un spațiu topologic sau un spațiu vectorial, oricare ar fi, și demonstrarea teoremelor în mare generalitate. Și asta este uneori ceea ce numim era Bourbaki în matematică. Și a virat puțin prea departe de a fi împământat.
Bineînțeles, am avut, gen, tot episodul New Math în State, unde educatorii au încercat preda matematica în stilul Bourbaki și în cele din urmă și-a dat seama că aceasta nu era pedagogia potrivită la acel nivel.
Dar acum pendulul s-a întors destul de mult înapoi. Avem un fel de — subiectul s-a maturizat destul de mult și fiecare domeniu al matematicii, geometriei, topologiei, orice, avem un fel de formalizări satisfăcătoare și știm cam care sunt abstracțiile potrivite. Și acum domeniul se concentrează din nou pe interconexiuni și aplicații. Se conectează mult mai mult la lumea reală acum.
Adică, nu doar un fel de fizică, care este o conexiune tradițională, ci, știi, informatică, științe ale vieții, științe sociale, știi. Odată cu creșterea datelor mari, aproape orice disciplină umană poate fi matematicizată într-o oarecare măsură.
STROGATZ: Sunt foarte interesat de cuvântul pe care l-ați folosit acum un minut despre „interconexiuni”, deoarece acesta pare un punct central de discutat. Este ceva ce menționezi în eseul tău că, alături de acestea, ceea ce numești criterii „locale” despre eleganță, sau aplicații din lumea reală, sau orice altceva, menționezi acest aspect „global” al matematicii bune: că matematica bună se leagă de alte matematică bună.
Aceasta este aproape cheia pentru ceea ce îl face bun, că este integrat cu alte părți. Dar este interesant pentru că sună aproape ca un raționament circular: acea matematică bună este matematica care se conectează cu alte matematice bune. Dar este o idee foarte puternică și mă întreb doar dacă ai putea să o extinzi puțin mai mult.
TAO: Da, deci, vreau să spun, despre ce este matematica — unul dintre lucrurile pe care le face matematica este că face conexiuni care sunt foarte de bază și fundamentale, dar nu evidente dacă te uiți doar la nivelul suprafeței. Un exemplu foarte timpuriu în acest sens este inventarea de către Descartes a coordonatelor carteziene care a făcut o legătură fundamentală între geometrie - studiul punctelor și liniilor și al obiectelor spațiale - și numere, algebră.
Deci, de exemplu, un cerc la care te poți gândi ca un obiect geometric, dar îl poți gândi și ca la o ecuație: x2 + y2 = 1 este ecuația unui cerc. La acea vreme, era o legătură foarte revoluționară. Știi, grecii antici considerau teoria numerelor și geometria ca subiecte aproape complet disjunse.
Dar cu Descartes a existat această legătură fundamentală. Și acum este interiorizat; știi, felul în care predăm matematica. Nu mai e de mirare că dacă ai o problemă geometrică, o ataci cu numere. Sau dacă aveți o problemă cu numerele, o puteți ataca cu geometria.
Este oarecum pentru că atât geometria, cât și numerele sunt aspecte ale aceluiași concept matematic. Avem un întreg domeniu numit geometrie algebrică, care nu este nici algebră, nici geometrie, dar este un subiect unificat care studiază obiecte pe care le poți considera fie forme geometrice, cum ar fi linii și cercuri și așa mai departe, fie ca ecuații.
Dar într-adevăr, este o unire holistică a celor doi pe care o studiem. Și pe măsură ce subiectul s-a aprofundat, ne-am dat seama că acesta este într-un fel mai fundamental decât algebra sau geometria separat, în anumite privințe. Deci, aceste conexiuni ne ajută să descoperim un fel de matematică reală care inițial, cumva, studiile noastre empirice ne oferă doar un colț al subiectului.
Există această pildă faimoasă a elefantului, am uitat unde, că dacă ai... Sunt patru orbi și descoperă un elefant. Și unul dintre ei simte piciorul elefantului și se gândește: „Oh, asta, e foarte dur. Trebuie să fie ca un copac sau așa ceva.”
Și unul dintre ei simte trunchiul și abia mai târziu văd că există un singur obiect elefant care explică toate ipotezele lor separate. Da, deci toți suntem orbi inițial, știi. Privim doar umbrele din peștera lui Platon și abia mai târziu ne dăm seama...
STROGATZ: Uau, ești foarte filozofic aici. Asta e ceva. Nu pot rezista acum: dacă ai de gând să începi să vorbești despre elefant și orbi, asta sugerează că crezi că matematica este acolo - că este ceva asemănător elefantului și că noi suntem orbi... Sau, tu Știi, încercăm să vedem ceva care există independent de ființele umane. Chiar asta crezi?
TAO: Când faci matematică bună, de exemplu, nu înseamnă doar să împingi simboluri. Simți că există un obiect real pe care încerci să-l înțelegi, iar toate ecuațiile noastre pe care le avem sunt doar un fel de aproximări ale acestuia, sau umbre.
Puteți dezbate punctul filozofic a ceea ce este de fapt realitatea și așa mai departe. Adică, acestea sunt lucruri pe care le poți atinge de fapt și, cu cât lucrurile devin mai reale din punct de vedere matematic, uneori, cu atât par mai puțin fizice. După cum ați spus, geometria inițial, știți, a fost un lucru foarte tangibil despre obiectele din spațiul fizic pe care l-ați putea - știți, puteți construi de fapt un cerc și un pătrat și așa mai departe.
Dar în geometria modernă, știi, lucrăm în dimensiuni mai mari. Putem vorbi despre geometrii discrete, tot felul de topologii ciudate. Și, vreau să spun, subiectul încă merită să fie numit geometrie, deși nu se mai măsoară Pământul. Etimologia greacă veche este foarte depășită, dar este, dar cu siguranță există ceva acolo. Fie – cât de real vrei să-l numești. Dar cred că ideea este că, în scopul de a face matematică, ajută să crezi că este reală.
STROGATZ: Da, nu este interesant? Da. Se pare că acesta este ceva care merge foarte adânc în istoria matematicii. M-a surprins un eseu al lui Arhimede care i-a scris prietenului sau, cel puțin, colegului său, Eratostene.
Vorbim acum, cum ar fi, 250 î.Hr. Și el face remarca, a descoperit o modalitate de a găsi aria a ceea ce am numi segmentul unei parabole. El ia o parabolă, o taie cu un segment de linie care este la un unghi oblic față de axa parabolei și își dă seama de această zonă. Obține un rezultat foarte frumos. Dar îi spune lui Eratostene ceva de genul: „Aceste rezultate au fost inerente cifrelor tot timpul”. Știi, parcă sunt acolo. Ei sunt acolo. Ei doar așteaptă ca el să găsească.
Nu e ca și cum el le-a creat. Nu este ca poezia. Adică, este interesant, de fapt, nu-i așa? Că o mulțime de artiști mari — Michelangelo a vorbit despre eliberarea statuii din piatră, știi, de parcă ar fi fost acolo de la început. Și se pare că tu și mulți alți mari matematicieni ați făcut - așa cum spuneți, este foarte util să credeți această idee, că ea este acolo ne așteaptă, așteaptă ca mințile potrivite să o descopere.
TAO: Dreapta. Ei bine, cred că o manifestare a acestui lucru este că ideile care sunt adesea foarte complicat de explicat când sunt descoperite pentru prima dată, devin simplificate. Adică, știi, adesea motivul pentru care ceva pare foarte profund sau dificil la început este că nu ai notația corectă.
De exemplu, avem notație zecimală acum pentru a manipula numere și este foarte convenabil. Dar, în trecut, aveam ca, știi, numere romane și apoi au existat și mai multe sisteme de numere primitive cu care era foarte, foarte greu de lucrat dacă vrei să faci matematică.
a lui Euclid Elemente de, știi — unele dintre argumentele din aceste texte antice. De exemplu, există o teoremă în cea a lui Euclid Elemente de Cred că se numește Podul Proștilor sau așa ceva. Este ca afirmația că, cred că enunțul este ca un triunghi isoscel, cele două unghiuri de bază sunt egale. Ca, aceasta este ca o demonstrație pe două rânduri în textele geometrice moderne, știi, cu axiomele potrivite. Dar Euclid a avut acest mod îngrozitor de a face asta. Și a fost locul în care mulți studenți de geometrie din epoca clasică au renunțat complet la matematică.
STROGATZ: Adevărat. (râde)
TAO: Dar, știi, acum avem un mod mult mai bun de a face asta. Atât de des, complicațiile pe care le vedem în matematică sunt artefacte ale propriilor noastre limitări. Și, așadar, pe măsură ce ne maturizăm, știți, lucrurile devin mai simple. Și se simte mai real din cauza asta. Nu vedem artefactele. Vedem esența.
STROGATZ: Ei bine, deci revenind la eseul tău: Când l-ai scris, la vremea aceea — adică, asta a fost destul de devreme în cariera ta, nu chiar la început, dar totuși. De ce ai simțit atunci că este important să încerci să definești ce este matematica bună?
TAO: Cred... Deci, în acel moment, deja începusem să sfătuiesc studenții absolvenți și am observat că, știți, existau niște concepții greșite despre ce este bine și ce nu. Și vorbeam, de asemenea, cu matematicieni din diferite domenii, și ceea ce domeniul cuiva apreciat în matematică părea diferit de alții. Dar totuși, cumva, toți studiam același subiect.
Și uneori cineva spunea ceva care m-a frecat într-un fel greșit, știi, cum ar fi: „Această matematică nu are aplicații, deci nu are valoare”. Sau „Această dovadă este prea complicată; prin urmare nu are nicio valoare”, sau ceva de genul. Sau dimpotrivă, știți: „Această dovadă este prea simplă; prin urmare, nu merită...” Știi. Ca, a existat un fel de snobism și așa mai departe, uneori mă întâlneam.
Și din experiența mea, cea mai bună matematică a venit atunci când am înțeles un alt punct de vedere, un alt mod de a gândi matematica față de cineva dintr-un alt domeniu și de a-l aplica la o problemă la care îmi pasa. Și astfel, experiența mea despre cum să folosesc matematica în mod corespunzător, cum să o folosesc, a fost atât de diferită de acestea - un fel de „un singur mod adevărat de a face matematică”.
Am simțit că acest punct trebuie făcut cumva. Că există într-adevăr un mod plural de a face matematică, dar în timp ce matematica este încă unită.
STROGATZ: Este foarte revelator, pentru că m-am întrebat, știți, cum ar fi, în introducerea mea am menționat numeroasele ramuri diferite ale matematicii pe care le-ați explorat și nici măcar nu am inclus unele. Îmi amintesc, cu doar câțiva ani în urmă, munca ta despre acest mister în dinamica fluidelor, despre dacă anumite ecuații despre care credem că fac o treabă bună în aproximarea mișcărilor apei și aerului. Nu vreau să intru prea mult în detalii, ci doar să spun, aici ești, oamenii se gândesc la tine care faci teoria numerelor sau analiză armonică și, dintr-o dată, lucrezi la întrebări de dinamică a fluidelor. Adică, îmi dau seama că sunt ecuații cu diferențe parțiale. Dar totuși, amploarea dvs. de interes pare să fie legată de amploarea dvs. de a accepta diferite perspective, diferite idei valoroase din toate modurile diferite de a face matematică bună.
TAO: Am uitat cine a spus-o, dar există două tipuri de matematicieni. Sunt arici și vulpi. O vulpe este cineva care știe puțin despre toate. Un arici este o creatură care știe un lucru foarte, foarte bine. Și niciunul nu este mai bun decât celălalt. Se completează reciproc. Adică, în matematică, ai nevoie de oameni care sunt cu adevărat experți în domeniu într-un subdomeniu și cunosc un subiect din interior. Și aveți nevoie de oameni care să vadă conexiunile dintre un domeniu și altul. Deci cu siguranță mă identific ca o vulpe, dar lucrez cu o mulțime de arici. Munca de care sunt cel mai mândru este adesea o astfel de colaborare.
STROGATZ: Oh da. Își dau seama că sunt arici?
TAO: Ei bine, rolurile se schimbă în timp. De exemplu, sunt și alte colaborări în care eu sunt ariciul și altcineva este vulpea. Acestea nu sunt oarecum permanente - știi, acestea nu sunt în ADN-ul tău.
STROGATZ: Ah, idee bună. Putem adopta - putem purta ambele mantii.
Ei bine, ce zici de, a existat un răspuns la eseu la momentul respectiv? Ți-au răspuns oamenii ceva?
TAO: Am primit un răspuns destul de pozitiv în general. Adică, Buletinul AMS nu este o publicație foarte răspândită, cred. Și, de asemenea, nu am spus nimic prea controversat. De asemenea, acest tip de rețele sociale predate, așa că, cred că poate sunt câteva bloguri de matematică care au preluat-o, dar nu exista Twitter. Nu a fost nimic care să-l facă viral.
Da, de asemenea, cred că, în general, matematicienii nu își cheltuiesc mult timp și capital intelectual pe speculații. Adică, există un alt matematician numit Minhyong Kim care a avut această metaforă foarte frumoasă că, pentru matematicieni, credibilitatea este ca moneda, ca banii. Dacă demonstrezi teoreme și demonstrezi că cunoști subiectul, acumulezi cumva această monedă a credibilității în bancă. Și odată ce ai suficientă monedă, îți poți permite să speculezi puțin, fiind puțin filozofic și spunând ce ar putea fi adevărat, mai degrabă decât ceea ce poți dovedi de fapt.
Dar tindem să fim conservatori și nu vrem un descoperit de cont în contul nostru bancar. Știi, nu vrei ca cea mai mare parte din scrierile tale să fie speculative și ca doar un procent să demonstreze ceva.
STROGATZ: Destul de corect. Deci, bine. Deci, au trecut mulți ani de atunci. Despre ce vorbim? Sunt mai bine de 15 ani.
TAO: Da, timpul zboară.
STROGATZ: Ti s-a schimbat parerea? Trebuie să revizuim ceva?
TAO: Ei bine, cultura matematicii se schimbă destul de mult. Aveam deja o viziune amplă asupra matematicii, iar acum am una și mai largă.
Deci, un exemplu foarte concret este: dovezile asistate de computer erau încă controversate în 2007. A existat o conjectură faimoasă numită conjectura Kepler, care se referă la cea mai eficientă modalitate de a împacheta bilele unităților în spațiul tridimensional. Și există o împachetare standard, cred că se numește împachetare centrală cubică sau așa ceva, despre care Kepler a presupus că este cea mai bună posibilă.
Acest lucru a fost rezolvat în cele din urmă, dar dovada a fost foarte asistată de calculator. A fost destul de complicat și [Thomas] Halesîn cele din urmă, a creat un întreg limbaj de computer pentru a verifica oficial această dovadă, dar nu a fost acceptată ca o dovadă reală de mulți ani. Dar a ilustrat cât de controversat a fost conceptul unei dovezi că ai nevoie de asistență computerizată pentru a verifica.
În anii de după, au existat multe, multe alte exemple de dovezi în care un om poate reduce o problemă complicată la ceva care încă necesită verificarea unui computer. Și apoi computerul merge înainte și îl verifică. Am dezvoltat un fel de practici despre cum să facem acest lucru în mod responsabil. Știți, cum să publicați cod și date și modalități de a verifica și noi lucruri open-source și așa mai departe. Și acum, există o acceptare larg răspândită a dovezilor asistate de computer.
Acum, cred, următoarea schimbare culturală va fi dacă vor fi acceptate dovezile generate de IA. În acest moment, instrumentele AI nu sunt la nivelul în care pot genera dovezi pentru a avansa cu adevărat problemele matematice. Poate că temele la nivel de licență se pot gestiona, dar cercetează matematica, nu sunt încă la acel nivel. Dar, la un moment dat, vom începe să vedem că ies lucrări asistate de AI și va avea loc o dezbatere.
Modul în care cultura noastră s-a schimbat în anumite privințe... În 2007, doar o parte dintre matematicieni și-au făcut disponibile preprinturile înainte de publicare. Autorii își păzeau cu gelozie preprinturile până când au primit notificarea de acceptare din partea revistei. Și atunci s-ar putea să împartă.
Dar acum toată lumea își pune hârtiile servere publice precum arXiv. Există mult mai multă deschidere pentru a pune videoclipuri și postări pe blog, despre de unde provin ideile unei lucrări. Pentru că oamenii realizează că acesta este ceea ce face munca mai influentă și mai influentă. Dacă încerci să nu-ți faci publicitate munca și să fii foarte secret în privința ei, nu va face niciun pic.
Matematica a devenit mult mai colaborativ. Știi, acum 50 de ani, aș spune că majoritatea lucrărilor de matematică erau cu un singur autor. Acum, cu siguranță majoritatea sunt doi sau trei sau patru autori. Și abia începem să vedem proiecte foarte mari, așa cum le facem în științe, știi, ca zeci, sute de oameni colaborează. Asta este încă greu de făcut pentru matematicieni, dar cred că vom ajunge acolo.
În același timp, devenim mult mai interdisciplinari. Lucrăm cu alte științe mult mai mult. Lucrăm între domenii ale matematicii. Și datorită internetului, putem colabora cu oameni din întreaga lume. Deci, modul în care facem matematică se schimbă cu siguranță.
Sper că în viitor, vom putea folosi mai mult comunitatea de amatori de matematică. Există și alte domenii precum astronomia, în care astronomii folosesc foarte mult comunitatea de astronomi amatori, cum ar fi, știți, multe comete, de exemplu, sunt găsite de amatori.
Dar matematicienii... Există câteva domenii izolate ale matematicii, cum ar fi, tiling, tiling bidimensional și poate găsirea înregistrărilor în numere prime. Există anumite domenii ale matematicii în care amatorii contribuie și sunt bineveniți. Dar există o mulțime de bariere. În cele mai multe domenii ale matematicii, ai nevoie de atât de multă pregătire și înțelepciune internalizată sau convențională, încât nu putem aglomera lucruri. Dar acest lucru se poate schimba în viitor. Poate că un impact al AI ar fi acela de a permite matematicienilor amatori să contribuie semnificativ la matematică.
STROGATZ: Este foarte interesant.
[Pauză pentru inserarea anunțului]
STROGATZ: Deci, amatorii ar putea, cu ajutorul IA, fie să pună întrebări noi care sunt bune, fie să ajute cu explorări bune ale întrebărilor existente, așa ceva?
TAO: Există multe modalități diferite - da. Deci, de exemplu, există acum proiecte de oficializare a dovezilor de teoreme mari în aceste lucruri numite asistenți de dovezi formale, care sunt ca limbaje de calculator care pot verifica 100% dacă o teoremă este adevărată sau nu și — este demonstrată sau nu. Acest lucru permite de fapt colaborarea la scară largă în matematică.
Deci, în trecut, dacă colaborați cu alte 10 persoane pentru a demonstra o teoremă și fiecare contribuie cu un pas, toată lumea trebuie să verifice matematica celorlalți. Pentru că treaba cu matematica este că, dacă un pas are o eroare, totul se poate prăbuși.
Deci, aveți nevoie de încredere și așa - prin urmare, acest lucru previne, acest lucru chiar inhibă colaborările cu adevărat la scară largă în matematică. Dar acum există, au existat exemple de succes de teoreme cu adevărat mari care au fost oficializate acolo unde există o comunitate imensă, nu se cunosc cu toții, nu au încredere unul în celălalt, dar comunică prin încărcare într-un depozit Github sau ceva, cum ar fi, dovezi individuale ale pașilor individuali din argument. Iar software-ul de verificare formală verifică totul și, astfel, nu trebuie să vă faceți griji cu privire la încredere. Deci, permitem noi moduri de colaborare, pe care nu le-am văzut cu adevărat în trecut.
STROGATZ: Este foarte interesant să-ți aud viziunea, Terry. Este un gând fascinant. Nu auzi expresia „matematician cetățean”. Auzi de știința cetățenească, dar de ce nu matematică cetățeană?
Dar mă întreb doar, există vreo tendință care vă îngrijorează, de exemplu, cu dovezile asistate de computer sau dovezile generate de AI? Vom ști că anumite rezultate sunt adevărate, dar nu vom înțelege de ce?
TAO: Deci asta este o problemă. Adică, este deja o problemă chiar înainte de apariția AI. Deci, există multe domenii în care lucrările dintr-un subiect devin din ce în ce mai lungi, sute de pagini. Și sper că AI poate ajuta, invers, la simplificare și poate explica și dovedi.
Deci, există deja un software experimental în care, de exemplu, dacă luați o dovadă care a fost oficializată, o puteți converti într-un document interactiv, care poate fi citit de om, unde aveți dovada și vedeți pașii de nivel înalt și dacă există o propoziție. nu înțelegi că poți da dublu clic pe el și se va extinde în pași mai mici. În curând, cred că poți obține și un chatbot AI lângă tine în timp ce parcurgi dovezile, iar ei pot răspunde la întrebări și pot explica fiecare pas ca și cum ar fi autorul. Cred că suntem deja foarte aproape de asta.
Există îngrijorări. Trebuie să schimbăm modul în care ne educăm studenții, mai ales acum că multe dintre modalitățile noastre tradiționale de a atribui teme și așa mai departe, suntem aproape în punctul în care aceste instrumente AI pot răspunde instantaneu la multe dintre întrebările noastre standard ale examenului. Prin urmare, trebuie să învățăm studenților noștri noi abilități, cum ar fi cum să verificăm dacă o ieșire generată de AI este corectă sau nu și cum să obținem o a doua opinie.
Și s-ar putea să vedem apariția unei laturi mai experimentale la matematică, știi. Deci, matematica este aproape în întregime teoretică, în timp ce majoritatea științelor au atât o componentă teoretică, cât și o componentă experimentală. S-ar putea să avem în cele din urmă rezultate care sunt mai întâi dovedite doar de computere și, după cum spuneți, nu înțelegem. Dar apoi, odată ce avem datele pe care AI, dovezile generate de computer, s-ar putea să putem derula experimente.
Există un pic de matematică experimentală acum. Oamenii studiază, cum ar fi, seturi mari de date de diverse lucruri, curbe eliptice, să zicem. Dar ar putea deveni mult mai mare în viitor.
STROGATZ: Pai, ai o viziune foarte optimistă, mie mi se pare. Nu e ca și cum Epoca de Aur ar fi în trecut. Dacă te aud bine, crezi că urmează o mulțime de lucruri foarte interesante.
TAO: Da, multe dintre noile instrumente tehnologice sunt foarte puternice. Adică, AI în general are multe susuri și dezavantaje complexe. Și în afara științelor, există o mulțime de posibile perturbări ale economiei, drepturilor de proprietate intelectuală și așa mai departe. Dar în matematică, cred că raportul dintre bine și rău este mai bun decât în multe alte domenii.
Și, știți, internetul a transformat într-adevăr modul în care facem matematică. Colaborez cu o mulțime de oameni din multe domenii diferite. Nu aș putea face asta fără internet. Faptul că pot merge pe Wikipedia sau orice altceva și pot începe să învăț un subiect, și pot e-mail cuiva și putem colabora online. Dacă ar fi să fac lucruri vechi în care aș putea vorbi doar cu oamenii din departamentul meu și să folosesc poșta fizică pentru orice altceva, nu aș putea face calculele pe care le fac acum.
STROGATZ: Uau, în regulă. Trebuie doar să subliniez ceea ce tocmai ai spus, pentru că nu m-am gândit niciodată că peste un milion de ani voi auzi asta: Terry Tao citește Wikipedia pentru a învăța matematica?
TAO: Ca punct de plecare. Adică, nu este întotdeauna Wikipedia, ci doar pentru a obține cuvintele cheie și apoi voi face o căutare mai specializată, de exemplu, MathSciNet sau altă bază de date. Dar da.
STROGATZ: Nu este o critică. Adică, fac același lucru. Wikipedia este de fapt, dacă există vreo critică la adresa matematicii pe Wikipedia, poate că, uneori, este puțin prea avansată pentru cititori pentru care este destinată, cred. Nu intotdeauna. Adică, depinde. Diferă foarte mult de la articol la articol. Dar asta e doar amuzant. Îmi place să aud asta.
TAO: Adică, aceste instrumente, trebuie să fiți capabil să verificați rezultatul. Știi, deci, adică, motivul pentru care pot folosi Wikipedia pentru a face matematică este pentru că știu deja destule matematică încât să pot mirosi dacă o bucată de Wikipedia în matematică este suspectă sau nu. Știi, poate obține unele surse și una dintre ele va fi o sursă mai bună decât cealaltă. Și cunosc autorii și am o idee despre ce referință va fi mai bună pentru mine. Dacă aș folosi Wikipedia pentru a afla despre un subiect în care nu am experiență, atunci cred că ar fi mai mult o variabilă aleatorie.
STROGATZ: Ei bine, așa că am vorbit destul de mult despre ceea ce face matematica bună, viitorul posibil pentru noi tipuri de matematică bună. Dar poate ar trebui să ne adresam la întrebarea: de ce contează asta? De ce este important ca matematica să fie bună?
TAO: Ei bine, deci, în primul rând, vreau să spun, de ce avem matematicieni? De ce societatea prețuiește matematicienii și ne oferă resursele pentru a face ceea ce facem? Știi, este pentru că oferim o anumită valoare. Putem avea aplicații în lumea reală. Există un interes intelectual și unele dintre teoriile pe care le dezvoltăm ajung în cele din urmă să ofere o perspectivă asupra altor fenomene.
Și nu toată matematica este de aceeași valoare. Adică, ai putea calcula din ce în ce mai multe cifre ale lui pi, dar la un moment dat, nu înveți nimic. Orice subiect are nevoie de un fel de judecată de valoare pentru că trebuie să aloci resurse. Există atât de multă matematică acolo. Ce progrese doriți să evidențiați, să faceți publicitate și să le informați pe alții despre, și care ar trebui să stea în liniște pe un jurnal undeva?
Chiar dacă te gândești la un subiect ca fiind complet obiectiv și, știi, există doar adevărat sau fals, tot trebuie să facem alegeri. Știi, doar pentru că timpul este o resursă limitată. Atenția este o resursă limitată. Banii sunt o resursă limitată. Deci, acestea sunt întotdeauna întrebări importante.
STROGATZ: Ei bine, interesant că menționezi despre publicitate, pentru că este ceva care cred că este o trăsătură distinctivă a muncii tale, că ai depus și efort enorm pentru a face matematica accesibilă public prin blogul tău, prin diverse articole pe care le-ai. am scris. Îmi amintesc că am discutat despre unul în care ai scris Cercetător american despre universalitate și despre acea idee. De ce este important să facem matematica accesibilă și de înțeles public? Adică, ce încerci să faci?
TAO: S-a cam întâmplat organic. La începutul carierei mele, World Wide Web era încă foarte nou, iar matematicienii au început să aibă pagini web cu conținut variat, dar nu exista prea mult un director central. Înainte de Google și așa mai departe, era de fapt greu să găsești resurse individuale.
Așa că am început să fac mici directoare de pe pagina mea web. Și aș face, de asemenea, pagini web pentru propriile mele lucrări și aș face câteva comentarii. Inițial, a fost mai mult în beneficiul meu, doar ca instrument organizațional, doar pentru a mă ajuta să găsesc lucruri. Ca produs secundar, era disponibil publicului, dar eu eram un fel de consumator principal, sau cel puțin așa credeam, al propriilor mele pagini web.
Dar îmi amintesc foarte clar, a fost o dată când am scris o lucrare și am pus-o pe pagina mea web și aveam o mică subpagină numită „Ce e nou?” Și am spus doar: „Uite o hârtie. Există o întrebare în ea la care încă nu am putut să răspund și nu știu cum să o rezolv.” Și tocmai am făcut acest comentariu. Și apoi, ca două zile mai târziu, am primit un e-mail care spunea: „Oh, tocmai v-am verificat pagina de pornire. Știu răspunsul la asta. Există o hârtie care îți va rezolva problema.”
Și m-a făcut să realizez, în primul rând, că oamenii îmi vizitau de fapt pagina web, ceea ce nu știam cu adevărat. Dar acea interacțiune cu comunitatea ar putea într-adevăr - ei bine, m-ar putea ajuta să-mi rezolv direct întrebările.
Există această lege numită Legea lui Metcalfe în rețele asta, știi, dacă ai n oameni, și toți vorbesc între ei, mai e vorba n2 legături între ele. Deci, cu cât audiența este mai mare și cu cât forumul este mai mare în care toată lumea poate vorbi cu toți ceilalți, cu atât puteți face mai multe conexiuni potențiale și cu atât se pot întâmpla mai multe lucruri bune.
Adică, în cariera mea, multe dintre descoperirile pe care le-am făcut sau conexiunile pe care le-am făcut se datorează unei conexiuni neașteptate. Întreaga mea experiență în carieră a fost cu cât mai multe conexiuni înseamnă doar lucruri mai bune care se întâmplă.
STROGATZ: Cred că un exemplu frumos la ceea ce vă referiți, dar mi-ar plăcea să vă aud vorbind despre asta, sunt conexiunile pe care le-ați făcut cu oameni din știința datelor care sunt interesați de întrebările legate de imagistica prin rezonanță medicală. , RMN. Ne poți spune puțin despre acea poveste?
TAO: Deci, asta a fost cam 2006, 2005, cred. Așadar, a existat un program interdisciplinar aici, în campusul UCLA, cred că, despre analiza geometrică multiscală, sau ceva de genul acesta, în care adunau matematicieni puri care erau interesați de un fel de geometrie de tip multiscală în sine și apoi, știi, oameni care au avut probleme foarte concrete cu tipul de date.
Și tocmai începusem să lucrez la unele probleme din teoria matricelor aleatoare, așa că eram oarecum cunoscut ca cineva care putea manipula matrice. Și am întâlnit pe cineva pe care îl cunoșteam deja, Emmanuel Candès, pentru că la acea vreme lucra chiar alături în Caltech. Și el și un alt colaborator, Justin Romberg, ei descoperiseră acest fenomen neobișnuit.
Deci se uitau la imagini RMN, dar sunt foarte lente. Pentru a colecta suficientă imagine cu adevărat de înaltă rezoluție a unui corp uman, sau suficientă pentru a captura o tumoare, sau orice caracteristică importantă din punct de vedere medical pe care doriți să o găsiți, adesea durează câteva minute, deoarece trebuie să scaneze toate aceste unghiuri diferite și apoi să sintetizeze datele. . Și aceasta a fost o problemă, de fapt, pentru că copiii mici, de exemplu, doar să stea nemișcați trei minute în aparatul RMN a fost destul de problematic.
Așa că au experimentat cu un mod diferit, folosind niște algebră liniară. Ei sperau să obțină o îmbunătățire a performanței cu 10%, 20% mai bună. Știi, o imagine puțin mai clară, modificând puțin algoritmul standard.
Deci algoritmul standard a fost numit aproximare cu cele mai mici pătrate, iar ei făceau altceva, numit minimizarea variației totale. Dar apoi, când au rulat software-ul computerului, au obținut o reconstrucție aproape perfectă a imaginii lor de testare. Îmbunătățire masivă, masivă. Și nu au putut explica asta.
Dar Emmanuel era la acest program și discutam la ceai sau așa ceva. Și tocmai a menționat asta și, de fapt, primul meu gând a fost că trebuie să fi făcut o greșeală în calculul tău, că ceea ce spui nu este de fapt posibil. Și îmi amintesc că m-am întors acasă în acea noapte și am încercat să notez o dovadă reală că ceea ce vedeau ei nu se putea întâmpla cu adevărat. Și apoi, la jumătatea drumului, mi-am dat seama că făcusem o presupunere care nu era adevărată. Și apoi mi-am dat seama că de fapt ar putea funcționa. Și apoi mi-am dat seama care ar putea fi explicația. Și apoi am lucrat împreună și am găsit de fapt o explicație bună și am publicat-o.
Și odată ce am făcut asta, oamenii și-au dat seama că existau multe alte situații în care trebuia să faci o măsurătoare care, în mod normal, necesita o mulțime și o mulțime de date și, în unele cazuri, poți lua o cantitate mult mai mică de date și totuși poți obține o cantitate foarte mare. măsurarea rezoluției.
Așadar, acum, aparatele RMN moderne, de exemplu - o scanare care obișnuia dura trei minute poate dura acum 30 de secunde, deoarece acest software, acest algoritm este conectat, codificat în mașini acum.
STROGATZ: Este o poveste frumoasă, este o poveste atât de grozavă. Adică, vorbim despre matematică importantă care schimbă vieți, la propriu, în acest context al imagisticii medicale. Îmi place serendipitatea și deschiderea ta, știi, să aud această idee și apoi să mă gândesc, ei bine, „acest lucru este imposibil, pot să-l dovedesc”. Și apoi realizând că nu, de fapt. Este fantastic să văd matematica având un asemenea impact.
Bine, cred că ar fi bine să te las să pleci, Terry. A fost o adevărată plăcere să discut cu tine despre esența unei bune matematici. Vă mulțumim foarte mult că v-ați alăturat astăzi.
TAO: Da, nu, a fost o plăcere.
[Pauză pentru inserarea anunțului]
STROGATZ: „Bucuria de ce” este un podcast de la Revista Quanta, o publicație independentă din punct de vedere editorial susținută de Fundația Simons. Deciziile de finanțare ale Fundației Simons nu au nicio influență asupra selecției subiectelor, invitaților sau altor decizii editoriale în acest podcast sau în Revista Quanta.
„The Joy of Why” este produs de PRX Productions. Echipa de producție este Caitlin Faulds, Livia Brock, Genevieve Sponsler și Merritt Jacob. Producătorul executiv al PRX Productions este Jocelyn Gonzales. Morgan Church și Edwin Ochoa au oferit asistență suplimentară. Din Revista Quanta, John Rennie și Thomas Lin au oferit îndrumări editoriale, cu sprijinul lui Matt Carlstrom, Samuel Velasco, Nona Griffin, Arleen Santana și Madison Goldberg.
Tema muzicală este de la APM Music. Julian Lin a venit cu numele podcastului. Imaginea episodului este de Peter Greenwood, iar logo-ul nostru este de Jaki King și Kristina Armitage. Mulțumiri speciale Școlii de Jurnalism Columbia și lui Burt Odom-Reed de la Cornell Broadcast Studios.
Sunt gazda ta, Steve Strogatz. Dacă aveți întrebări sau comentarii pentru noi, vă rugăm să ne trimiteți un e-mail la . Mulțumesc pentru ascultare.
- Distribuție de conținut bazat pe SEO și PR. Amplifică-te astăzi.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Împuterniciți-vă. Accesați Aici.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Cunoștințe amplificate. Accesați Aici.
- PlatoESG. carbon, CleanTech, Energie, Mediu inconjurator, Solar, Managementul deșeurilor. Accesați Aici.
- PlatoHealth. Biotehnologie și Inteligență pentru studii clinice. Accesați Aici.
- Sursa: https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
- :are
- :este
- :nu
- :Unde
- ][p
- $UP
- 1
- 10
- ani 15
- 15%
- 2005
- 2006
- 250
- 30
- 300
- 50
- 50 ani
- a
- Capabil
- Despre Noi
- despre
- REZUMAT
- abstracție
- AC
- acceptare
- admis
- acceptare
- accesibil
- accesarea
- Cont
- peste
- curent
- de fapt
- Ad
- Suplimentar
- adresa
- adopta
- avansa
- avansat
- avans
- venire
- sfătui
- estetic
- După
- din nou
- vârstă
- în urmă
- fiind de acord
- înainte
- AI
- Chatbot AI
- AIR
- ais
- Algoritmul
- în viaţă
- TOATE
- aloca
- permite
- aproape
- de-a lungul
- deja
- de asemenea
- Cu toate ca
- mereu
- amator
- american
- printre
- sumă
- an
- analiză
- Vechi
- și
- O alta
- răspunde
- Orice
- mai
- oricine
- nimic
- separat
- aplicaţia
- Apple
- aplicatii
- Aplicarea
- se apropie
- adecvat
- SUNT
- ZONĂ
- domenii
- argument
- argumente
- în jurul
- Artă
- articol
- bunuri
- Artiști
- AS
- cere
- aspect
- aspecte
- Asistență
- presupunere
- astronomie
- At
- ataca
- atenţie
- audiență
- autor
- Authored
- autoritate
- Autorii
- disponibil
- Premii
- Axă
- înapoi
- Rău
- Bancă
- cont bancar
- bariere
- de bază
- de bază
- BE
- frumos
- Frumuseţe
- deoarece
- deveni
- devine
- devenire
- fost
- înainte
- începe
- Început
- fiind
- ființe
- Crede
- beneficia
- CEL MAI BUN
- Mai bine
- între
- Mare
- Datele mari
- mai mare
- Cea mai mare
- Pic
- Blog
- Blog
- bloguri
- corp
- atât
- ramuri
- lăţime
- Pauză
- descoperire
- POD
- Aducere
- larg
- difuza
- mai larg
- bursuc
- construi
- de clădiri
- dar
- by
- calcul
- apel
- denumit
- a venit
- Campus
- CAN
- capital
- Carieră
- caz
- cazuri
- Captură
- cauze
- peşteră
- central
- autoritatea centrală
- Secol
- sigur
- cu siguranță
- provocare
- șansă
- Schimbare
- si-a schimbat hainele;
- schimbarea
- chatbot
- chat
- verifica
- control
- alegeri
- Calea Crucii
- Cerc
- cerc
- circulară
- cetăţean
- clasă
- Închide
- Co-gazdă
- cod
- colabora
- colaborare
- colaborari
- coleg
- colecta
- COLUMBIA
- cum
- vine
- cometele
- venire
- comentariu
- comentariu
- comentarii
- produs
- comunica
- comunitate
- Completa
- complet
- complex
- complicat
- component
- Calcula
- calculator
- Informatică
- generat de computer
- Calculatoare
- concept
- preocupările
- beton
- presupunere
- Conectarea
- conexiune
- Conexiuni
- Connects
- conservator
- consumator
- contactați-ne
- conţinut
- context
- a contribui
- contribuie
- controversat
- Convenabil
- convențional
- converg
- Convergenţă
- invers
- converti
- Cornell
- Colț
- corecta
- ar putea
- Consiliu
- Curs
- a creat
- Creator
- creatură
- Credibilitate
- Criteriile de
- critică
- mulţime
- cultural
- Cultură
- Monedă
- reduceri
- PERICOL
- de date
- știința datelor
- seturi de date
- Baza de date
- Zi
- dezbatere
- Deciziile
- adânc
- Mai adânc
- defini
- categoric
- demonstra
- Departament
- depinde de
- descrie
- merită
- detalii
- determinat
- dezvolta
- dezvoltat
- FĂCUT
- diferit
- dificil
- cifre
- Dimensiuni
- direct
- directoare
- disciplina
- descoperi
- a descoperit
- discuta
- discutarea
- Ruptură
- distinctiv
- distinct
- ADN-ul
- do
- document
- face
- Nu
- face
- domeniu
- Dont
- De
- jos
- dezavantaje
- dinamică
- fiecare
- Devreme
- Pământ
- economie
- editor
- Editorial
- educa
- educatori
- Edwin
- eficacitate
- eficient
- efort
- Einstein
- oricare
- elefant
- Eliptice
- altfel
- Altele
- împuternicirea
- permite
- permițând
- întâlni
- capăt
- suficient de
- Întreg
- în întregime
- episod
- egal
- este egală cu
- ecuații
- Eră
- eroare
- mai ales
- ESEU
- esenţă
- Chiar
- în cele din urmă
- Fiecare
- toata lumea
- toată lumea
- tot
- exact
- examen
- exemplu
- exemple
- excitat
- captivant
- executiv
- Producator Executiv
- Exercita
- existent
- există
- Extinde
- experienţă
- experimental
- experimentarea
- experimente
- experți
- Explica
- explicând
- explicație
- explorat
- Explorarea
- măsură
- extrem
- fapt
- echitabil
- destul de
- Cădea
- fals
- familiar
- celebru
- fantastic
- departe
- fascinant
- Favorite
- Caracteristică
- simţi
- se simte
- membru
- eroare
- puțini
- camp
- Domenii
- imaginat
- cifre
- În cele din urmă
- Găsi
- descoperire
- First
- lichid
- Dinamica fluidelor
- Concentra
- concentrându-se
- Pentru
- formal
- Oficial
- mai departe
- forum
- găsit
- Fundație
- patru
- vulpe
- fracțiune
- prieten
- din
- fundamental
- de finanțare
- amuzant
- viitor
- joc
- a dat
- General
- genera
- generaţie
- generos
- obține
- devine
- obtinerea
- GitHub
- Da
- Go
- Merge
- merge
- De aur
- bine
- buna treaba
- am
- absolvent
- mare
- greacă
- codru verde
- Grifon
- împământat
- Pază
- ghici
- oaspeți
- îndrumare
- HAD
- la jumătatea distanței
- mână
- întâmpla
- sa întâmplat
- lucru
- se întâmplă
- Greu
- Avea
- având în
- he
- sănătos
- auzi
- auz
- arici
- ajutor
- ajutor
- ajută
- aici
- Înalt
- la nivel înalt
- Rezoluție înaltă
- superior
- Evidențiați
- -l
- se
- lui
- istorie
- holistică
- Acasă
- pagină de start
- onorat
- speranţă
- plin de speranță
- sperând
- gazdă
- FIERBINTE
- Cum
- Cum Pentru a
- HTTPS
- mare
- imens
- uman
- uman poate fi citit
- sute
- i
- idee
- idealuri
- idei
- identifica
- if
- imagine
- imagini
- imagina
- Imaging
- Impactul
- impactant
- important
- imposibil
- îmbunătățire
- in
- înclinat
- include
- Inclusiv
- independent
- individ
- influență
- Influent
- inerent
- inițial
- înţelegere
- perspective
- imediat
- integrate
- intelectual
- de proprietate intelectuală
- destinate
- interacţiune
- interactiv
- interes
- interesat
- interesant
- Internet
- în
- Introducere
- intuiţie
- Invenţie
- iPhone
- izolat
- IT
- ESTE
- Iacov
- Loc de munca
- Ioan
- aderarea
- alaturandu-te noua
- Se alătură
- jurnal
- ziaristică
- bucurie
- doar
- ținut
- Cheie
- Cuvinte cheie
- copii
- Copil
- tipurile
- Rege
- Cunoaște
- cunoscut
- știe
- Țară
- limbă
- Limbă
- mare
- pe scară largă
- mai mare
- mai tarziu
- Drept
- AFLAȚI
- învăţare
- cel mai puțin
- mai puțin
- lăsa
- Nivel
- Viaţă
- Life Sciences
- ca
- limitări
- Limitat
- Lin
- Linie
- liniar
- linii
- Ascultare
- mic
- Locuiește
- logic
- siglă
- Lung
- mai lung
- Uite
- arată ca
- cautati
- Se pare
- pierde
- Lot
- loturi
- dragoste
- maşină
- Masini
- făcut
- revistă
- Majoritate
- face
- FACE
- Efectuarea
- administra
- multe
- Piață
- masiv
- matematica
- matematic
- matematic
- matematică
- Matrice
- mat
- materie
- matur
- Mai..
- poate
- me
- însemna
- măsurare
- Mass-media
- medical
- Membri actuali
- Bărbați
- menționa
- menționat
- cu
- metric
- ar putea
- milion
- mințile
- minimizarea
- minut
- minute
- concepții greșite
- greşeală
- Modern
- moduri de
- bani
- mai mult
- Morgan
- cele mai multe
- Propuneri
- RMN
- mult
- Muzică
- trebuie sa
- my
- eu
- Mister
- naiv
- nume
- Nevoie
- necesar
- nevoilor
- Nici
- nu
- Nou
- ştiri
- următor
- frumos
- noapte
- Nu.
- în mod normal
- nimic
- notificare
- acum
- Nuanță
- număr
- numere
- obiect
- obiectiv
- obiecte
- evident
- OCHOA
- octombrie
- of
- de multe ori
- oh
- Bine
- on
- dată
- ONE
- cele
- on-line
- afară
- opac
- open-source
- Sinceritate
- Opinie
- Optimist
- or
- organic
- de organizare
- Altele
- Altele
- al nostru
- afară
- învechit
- producție
- exterior
- peste
- propriu
- Ambalaj
- împachetat
- pagini
- Hârtie
- lucrări
- Paralel
- special
- în special
- piese
- Trecut
- trecut
- oameni
- la sută
- Perfect
- performanță
- permanent
- persoană
- Peter
- fenomen
- fizic
- Științe fizice
- Fizic
- Fizică
- ales
- bucată
- Plato
- Informații despre date Platon
- Al lui Platon
- PlatoData
- "vă rog"
- plăcere
- Podcast
- podcasting
- Poezie
- Punct
- Punct de vedere
- puncte
- pozat
- pozitiv
- posibil
- postări
- potenţial
- putere
- puternic
- practică
- practicile
- tocmai
- prezentare
- destul de
- previne
- în prealabil
- primar
- Prim
- primitiv
- premiu
- Problemă
- problematic
- probleme
- Produs
- producător
- producere
- producţii
- Profesor
- Program
- Progres
- Proiecte
- prolific
- dovadă
- dovezi
- cum se cuvine
- proprietate
- Drepturi de proprietate
- protejat
- mândru
- Dovedi
- dovedit
- furniza
- prevăzut
- furnizarea
- dovedind
- public
- Publicare
- public
- publica
- publicat
- Editare
- pur
- pur
- scop
- urmări
- împingerea
- pune
- puts
- Quantamagazina
- întrebare
- Întrebări
- cuminte
- cu totul
- aleator
- mai degraba
- raport
- cititori
- real
- lumea reală
- Realitate
- realiza
- realizat
- realizarea
- într-adevăr
- motiv
- recesiune
- înregistrări
- reduce
- referință
- menționat
- legate de
- relaţie
- relativitatea
- eliberarea
- minte
- îndepărtat
- depozit
- necesar
- Necesită
- cercetare
- hotărât
- rezonanță
- resursă
- Resurse
- răspuns
- responsabil
- rezultat
- REZULTATE
- revelator
- revizui
- revoluționar
- dreapta
- Drepturile
- Inel
- Ridica
- rolurile
- Roman
- aproximativ
- Alerga
- Said
- acelaşi
- Spune
- spunând
- spune
- scanare
- Şcoală
- Ştiinţă
- ȘTIINȚE
- Caută
- Al doilea
- secunde
- secretor
- vedea
- vedere
- părea
- părea
- pare
- văzut
- segment
- selecta
- selecţie
- autodirectat
- propoziție
- distinct
- Servere
- Seturi
- câteva
- forme
- Distribuie
- schimbare
- Pantaloni scurți
- să
- parte
- asemănător
- simplu
- simplu
- simplificată
- simplifica
- simplificarea
- întrucât
- singur
- sta
- Ședință
- situații
- aptitudini
- încetini
- mai mici
- So
- Social
- social media
- Societate
- Software
- solicitare
- REZOLVAREA
- Rezolvarea
- unele
- oarecum
- Cineva
- ceva
- uneori
- oarecum
- undeva
- curând
- căutat
- sunete
- Sursă
- Surse
- Spaţiu
- spațial
- special
- de specialitate
- speculație
- speculativ
- petrece
- Spotify
- pătrat
- pătrate
- standard
- stanford
- Începe
- început
- Pornire
- începe
- Declarație
- Statele
- şedere
- Pas
- paşi
- Steve
- Încă
- stoc
- bursa de valori
- PIATRA
- Poveste
- drept
- pași
- student
- Elevi
- studiu
- studiouri
- Studiu
- Studiu
- subiect
- de succes
- astfel de
- sugerează
- a sustine
- Suportat
- Suprafață
- uimit
- surprinzător
- suspicios
- sintetiza
- sisteme
- Lua
- ia
- luare
- Vorbi
- vorbesc
- Tratative
- tangibil
- sarcini
- Ceai
- Predarea
- echipă
- Tehnic
- tehnică
- tehnologic
- spune
- Tind
- zeci
- test
- decât
- mulțumesc
- acea
- Zona
- Viitorul
- lumea
- lor
- Lor
- temă
- apoi
- teoretic
- teorie
- Acolo.
- prin urmare
- Acestea
- ei
- lucru
- lucruri
- crede
- Gândire
- Al treilea
- A treia generație
- acest
- deşi?
- gândit
- trei
- tri-dimensională
- Prin
- timp
- la
- astăzi
- împreună
- de asemenea
- instrument
- Unelte
- subiecte
- Total
- atingeţi
- tradiţional
- Pregătire
- transformat
- tratate
- copac
- Tendinţe
- încercat
- adevărat
- Încredere
- încerca
- încercat
- Cotitură
- se transformă
- optimizări
- stare de nervozitate
- Două
- tip
- Tipuri
- UCLAs
- sublinia
- înţelege
- inteligibil
- înţelegere
- înțeles
- Neașteptat
- unificat
- uniune
- unitate
- Unit
- până la
- Se încarcă
- pe
- UPS
- us
- utilizare
- utilizat
- util
- folosind
- obișnuit
- utilitate
- folosi
- Valoros
- valoare
- prețuit
- Valori
- variabil
- diverse
- verifica
- foarte
- VET
- Video
- Vizualizare
- virale
- viziune
- de
- Aşteptare
- vrea
- dorit
- a fost
- vizionarea
- Apă
- Cale..
- modalități de
- we
- purta
- web
- WebP
- bun venit
- salutat
- BINE
- au fost
- Ce
- Ce este
- indiferent de
- cand
- întrucât
- dacă
- care
- în timp ce
- OMS
- întreg
- de ce
- larg
- pe larg
- pe scară largă
- Wikipedia
- voi
- câştigător
- înţelepciune
- cu
- în
- fără
- întrebam
- Cuvânt
- WordPress
- Apartamente
- a lucrat
- de lucru
- lucrări
- lume
- îngrijorat
- face griji
- ar
- wow
- scrie
- scris
- scris
- Greșit
- scris
- ani
- da
- încă
- Tu
- Ta
- zephyrnet