два студента разгадывают широко распространенную математическую гипотезу | Журнал Кванта

Саммер Хааг и Клайд Керцер возлагали большие надежды на свой летний исследовательский проект. Ослепление целой области математики не было одним из них.

В мае Хааг заканчивала первый год обучения в аспирантуре Колорадского университета в Боулдере, где Кертцер училась на первом курсе. Оба с нетерпением ждали перерыва в занятиях. Хааг планировал исследовать новые походы и альпинистские маршруты. Кертцер, уроженец Боулдера, хотел играть в футбол и подготовить заявление о поступлении в аспирантуру. Но как начинающие математики-исследователи они также подали заявку на участие в летней исследовательской программе на полставки в группе математика. Кэтрин Станге.

Штанге — теоретик чисел, называющая себя математиком.лягушка— тот, кто вникает в хитросплетения одной проблемы, прежде чем перейти к другой. По ее словам, ее интересуют «кажущиеся простыми вопросы, которые ведут к богатству структуры». Ее проекты часто касаются неуловимых открытых проблем теории чисел, используя компьютеры для создания больших наборов данных.

Хааг и Кертцер начали программу в день 23-летия Хаага с недельного учебника по аполлонийским упаковкам кругов — древнему исследованию того, как круги могут гармонично сжиматься в один больший круг.

Представьте, что вы разложили три монеты так, чтобы каждая касалась других. Вы всегда можете нарисовать вокруг них круг, который касается всех трех снаружи. Затем вы можете начать задавать вопросы: как размер этого большего круга соотносится с размерами трех монет? Круг какого размера поместится в промежуток между тремя монетами? И если вы начнете рисовать круги, которые заполняют все меньшие и меньшие промежутки между кругами — создавая фрактальный узор, известный как упаковка — как размеры этих кругов соотносятся друг с другом?

Вместо того, чтобы думать о диаметре этих кругов, математики используют меру, называемую кривизной — обратную радиусу. Таким образом, круг с радиусом 2 имеет кривизну 1/2, а круг с радиусом 1/3 имеет кривизну 3. Чем меньше круг, тем больше кривизна.

Математики эпохи Возрождения доказали, что если кривизна первых четырех кругов является целым числом, кривизна всех последующих кругов в упаковке гарантированно будет целым числом. Это замечательно само по себе. Но математики пошли еще дальше, задав вопросы о том, какие целые числа появляются по мере того, как круги становятся все меньше и меньше, а кривизны — все больше и больше.

В 2010 Елена Фукс, теоретик чисел, ныне работающий в Калифорнийском университете в Дэвисе, доказанный что кривизны следуют определенному соотношению, которое заставляет их помещаться в определенные числовые сегменты. Вскоре после этого математики пришли к убеждению, что не только кривизны должны попадать в то или иное ведро, но и что нужно использовать все возможные числа в каждом ведре. Эта идея стала известна как локально-глобальная гипотеза.

«Многие работы ссылались на это так, как будто это уже был факт», — сказал Кертцер. «Мы обсуждали это так, как будто это должно было быть доказано в какой-то момент в ближайшем будущем».

Джеймс Рикардс, математик из Боулдера, который работает со Штанге и студентами, написал код для проверки любого желаемого расположения упаковок кругов. Поэтому, когда Хааг и Кертцер присоединились к группе 15 мая, они думали, что создадут крутые сюжеты о действии надежного локально-глобального правила.

Штанге прилетел во Францию ​​на конференцию в начале июня. Когда она вернулась 12 июня, команда столпилась вокруг диаграмм, показывающих, что в нескольких корзинах отсутствуют определенные числа.

«Мы не исследовали это явление, — сказал Рикардс. «Я не пытался проверить, правда ли это. Я знал, что это правда — я просто предположил, что это правда. И вдруг мы сталкиваемся с данными, которые говорят, что это не так».

К концу недели команда была уверена, что гипотеза ложна. Числа, которые они ожидали увидеть, так и не появились. Они разработали доказательство, и 6 июля они опубликовал свою работу на сайт научных препринтов arxiv.org.

Фукс вспоминает, как разговаривал со Штанге вскоре после того, как доказательство встало на свои места. «Насколько вы верите в гипотезу о глобальном масштабе?» — спросил Станге. Фукс ответила, что, конечно, она в это верит. «Затем она показала мне все эти данные, и я сказал: «Боже мой, это потрясающе», — сказал Фукс. «Я имею в виду, я действительно верил, что гипотеза о глобальном масштабе верна».

«Как только вы это увидите, вы просто скажете: «Ага! Конечно!» Петр Сарнак, математик из Института перспективных исследований и Принстонского университета, ранние наблюдения помогло подпитывать локально-глобальную гипотезу.

«Это фантастическое понимание», — добавил Алексей Конторович Университета Рутгерса. «Мы все корим себя за то, что не нашли его 20 лет назад, когда люди впервые начали с этим играть».

Среди обломков, оставленных результатом, работа выявила трещину в фундаменте других предположений в теории чисел. Математикам оставалось только гадать, какое широко распространенное мнение может рухнуть следующим.

История кольцевой развязки

Аполлонийские упаковки кругов получили свое название от их вероятного создателя, Аполлония Пергского. Около 2,200 лет назад греческий геометр написал книгу под названием касания о том, как построить окружность, касающуюся любых трех других. Книга потеряна во времени. Но около 500 лет спустя греческий математик Папп Александрийский составил сборник, который пережил крах Византийской империи.

Используя только описание Паппа касания, математики эпохи Возрождения попытались проследить исходную работу. К 1643 году Рене Декарт обнаружил простую связь между кривизной любых четырех окружностей, касающихся друг друга. Декарт утверждал, что сумма квадратов всех кривизн равна половине квадрата суммы кривизн. Это означает, что по трем окружностям можно вычислить радиус четвертой касательной окружности. Например, если у вас есть три окружности с кривизной 11, 14 и 15, вы можете подставить эти числа в уравнение Декарта и вычислить кривизну окружности, которая поместилась бы внутри них: 86.

В 1936 году лауреат Нобелевской премии по радиохимии Фредерик Содди заметил что-то странное, когда строил упаковки с соотношением Декарта. По мере того, как круги становились меньше, а кривизна — больше, он ожидал получить корявые числа с квадратными корнями или бесконечными десятичными знаками. Вместо этого все кривизны были целыми числами. Это было довольно прямым следствием уравнения Декарта, но никто не замечал этого в течение сотен лет. Это вдохновило Содди на опубликовать стихотворение в научном журнале природа, которая началась:

Для пары губ, чтобы поцеловать, может быть
Не требует тригонометрии.
Это не так, когда четыре круга целуются
Друг друга по трое.

Возможное и неизбежное

Как только было установлено, что существуют упаковки, заполненные целыми числами, математики попытались найти закономерности в этих целых числах.

В 2010 году Фукс и Кэтрин Санден намеревались построить на бумага из 2003. Дуэт заметил, что если вы разделите каждую кривизну в данной упаковке на 24, возникнет правило. Некоторые упаковки имеют кривизну только с остатком 0, 1, 4, 9, 12 или 16, например. Другие оставляют только остатки 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 или 22. Было шесть различных возможных групп.

Когда математики исследовали различные категории упаковок, они начали замечать, что для достаточно маленьких кругов — кругов с большой кривизной — кажется, что для упаковок этого типа появляются все возможные числа в каждой категории. Эта идея получила название локально-глобальной гипотезы. Доказательство этого стало «одной из моих мечтаний этих маленьких математиков», — сказал Фукс. «Может быть, в какой-то момент, много лет спустя, я смогу ее решить».

В 2012 году Конторович и Жан Бурген (который умер в 2018) доказал, что практически каждое число предсказанное гипотезой действительно происходит. Но «практически все» не означает «все». Например, идеальные квадраты настолько редки, что математически «практически все» целые числа не являются идеальными квадратами, хотя, например, 25 и 49 таковыми являются. По словам Конторовича, математики считали, что редкие контрпримеры, оставшиеся возможными после работы Конторовича и Бургейна, на самом деле не существовали, в основном потому, что две или три наиболее хорошо изученные упаковки кругов, казалось, так хорошо следуют локально-глобальной гипотезе.

Провернуть этот циферблат

Когда этим летом Хааг и Керцер начали работать в Боулдере, Рикардс записывал идеи на доске в кабинете Штанге. «У нас был целый список», — сказал Рикардс. У них было четыре или пять отправных точек для экспериментов. «Вещи, с которыми можно просто поиграть и посмотреть, что получится».

Одна из идей состояла в том, чтобы вычислить все возможные упаковки кругов, которые содержат две произвольные кривизны A и B. Рикардс написал программу, которая выводит своего рода бухгалтерскую книгу, сообщающую, какие целые числа появляются на вечеринке, когда A принимает гостей.

На основе этой программы Хааг набросал сценарий Python, который одновременно отображал множество симуляций. Это было похоже на таблицу умножения: Хааг выбирал, какие строки и столбцы включить, основываясь на их остатках при делении на 24. Пары чисел, которые появляются в аполлоновской упаковке вместе, получали белые пиксели; те, у которых нет черных пикселей.

Хааг перерыл десятки участков — по одному на каждую пару остатков в каждой из шести групп.

Они выглядели именно так, как и ожидалось: белая стена, усеянная черными крапинками для меньших целых чисел. «Мы ожидали, что черные точки исчезнут», — сказал Штанге. Рикардс добавил: «Я подумал, что, может быть, даже удастся доказать, что они исчезают». Он предположил, что, изучая диаграммы, которые синтезируют множество насадок вместе, команда сможет доказать результаты, которые были бы невозможны, если бы они рассматривали любую насадку отдельно.

Пока Штанге отсутствовал, Хааг зарисовал каждую пару остатков — около 120. Никаких сюрпризов. Потом она стала большой.

Хааг рисовал, как взаимодействуют 1,000 целых чисел. (График больше, чем кажется, поскольку он включает 1 миллион возможных пар.) Затем она увеличила шкалу до 10,000 10,000 раз по XNUMX XNUMX. На одном графике отказались растворяться правильные ряды и столбцы черных точек. Это совсем не походило на то, что предсказывала локально-глобальная гипотеза.

Команда встретилась в понедельник после возвращения Штанге. Хааг представила свои графики, и все они сосредоточились на графике со странными точками. «Это была просто постоянная схема», — сказал Хааг. «И тогда Кейт сказала: «Что, если локально-глобальная гипотеза неверна?»

«Это похоже на закономерность. Это должно продолжаться. Таким образом, локально-глобальная гипотеза должна быть ложной», — вспоминал Штанге. «Джеймс был настроен более скептически».

«Моей первой мыслью было, что в моем коде должна быть ошибка, — сказал Рикардс. — Я имею в виду, это было единственное разумное, что я мог придумать.

Через полдня Рикардс пришел в себя. Шаблон исключал все пары, где первое число имеет форму 8 × (3n ± 1)² а второй в 24 раза больше любого квадрата. Это означает, что числа 24 и 8 никогда не появляются в одной упаковке. Числа, которые вы ожидаете, не появляются.

«У меня было какое-то головокружение. Не так уж часто тебя что-то действительно удивляет, — сказал Штанге. «Но в этом и заключается магия игры с данными».

Ассоциация Июльская газета приводит строгое доказательство того, что закономерность, которую они наблюдали, продолжается бесконечно, опровергая гипотезу. Доказательство основано на многовековом принципе квадратичной взаимности, который включает в себя квадраты двух простых чисел. Команда Штанге обнаружила, как принцип взаимности применяется к упаковкам кругов. Это объясняет, почему некоторые кривизны не могут касаться друг друга. Правило, называемое препятствием, распространяется на всю упаковку. «Это просто совершенно новая вещь, — сказал Джеффри Лагариас, математик из Мичиганского университета, который был соавтором статьи 2003 года об упаковке кругов. «Они нашли это гениально, — сказал Сарнак. «Если бы эти числа действительно появились, они нарушили бы принцип взаимности».

Fallout

Ряд других предположений в теории чисел теперь может быть поставлен под сомнение. Как и локально-глобальную гипотезу, их трудно доказать, но уже было показано, что они верны практически во всех случаях, и обычно предполагается, что они верны.

Например, Фукс изучает тройки Маркова, наборы чисел, удовлетворяющие уравнению x² + y² + z² = 3хуг. Она и другие показали, что определенные типы решений связаны для простых чисел больше 10.³⁹². Все считают, что шаблон должен продолжаться до бесконечности. Но в свете нового результата Фукс позволила себе усомниться. «Может быть, я что-то упускаю», — сказала она. «Может быть, все что-то упускают».

«Теперь, когда у нас есть единственный пример, где это ложно, возникает вопрос: ложно ли это и для этих других примеров?» — сказал Рикардс.

Есть еще гипотеза Зарембы. В нем говорится, что дробь с любым знаменателем может быть представлена ​​в виде цепной дроби, в которой используются только числа от 1 до 5. В 2014 году Конторович и Бургейн показали, что гипотеза Зарембы верна почти для всех чисел. Но удивление по поводу упаковки кругов подорвало доверие к гипотезе Зарембы.

Если проблема с упаковкой является предвестником грядущих событий, вычислительные данные могут стать инструментом ее устранения.

«Я всегда нахожу захватывающим, когда новая математика рождается из простого взгляда на данные», — сказал Фукс. «Без этого действительно трудно представить, что [они] наткнулись бы на это».

Штанге добавил, что ничего из этого не произошло бы без летнего проекта с низкими ставками. «Интуиция и отношение к игривому исследованию играют огромную роль в открытии», — сказала она.

«Это было чистое совпадение, — сказал Хааг. «Если бы я не стал достаточно большим, мы бы этого не заметили». Работа служит хорошим предзнаменованием для будущего теории чисел. «Вы можете понять математику с помощью своей интуиции, с помощью доказательств», — сказал Штанге. «И вы очень доверяете этому, потому что потратили много времени на размышления об этом. Но с данными не поспоришь».

Примечание редактора: Алексей Конторович является членом Quanta Magazineнаучно-консультативный совет России. У него брали интервью для этой истории, но он не участвовал в ее создании.