Математики восхищаются «сумасшедшим» разрезом четырех измерений | Журнал Кванта

Центральными объектами изучения топологии являются пространства, называемые многообразиями, которые при увеличении кажутся плоскими. Например, поверхность сферы представляет собой двумерное многообразие. Топологи очень хорошо понимают такие двумерные многообразия. И они разработали инструменты, которые позволяют им разобраться в трехмерных многообразиях, а также многообразиях с пятью и более измерениями.

Но в четырех измерениях «все сходит с ума», сказал Сэм Хьюз, постдокторант Оксфордского университета. Инструменты перестают работать; появляется экзотическое поведение. Как Том Мровка из Массачусетского технологического института объяснил: «Здесь достаточно места для интересных явлений, но не так много места, чтобы они развалились».

В начале 1990-х годов Мровка и Питер Кронхаймер из Гарвардского университета изучали, как двумерные поверхности могут быть вложены в четырехмерные многообразия. Они разработали новые методы для характеристики этих поверхностей, что позволило им получить решающее представление о недоступной иначе структуре четырехмерных многообразий. Их результаты показали, что все члены широкого класса поверхностей относительно просто прорезают свое родительское многообразие, оставляя фундаментальное свойство неизменным. Но никто не мог доказать, что это всегда было правдой.

В феврале вместе с Дэниел Руберман Университета Брандейса, Хьюз построил последовательность контрпримеров — «сумасшедшие» двумерные поверхности, которые рассекают свои родительские многообразия способами, которые математики считали невозможными. Контрпримеры показывают, что четырехмерные многообразия еще более разнообразны, чем предполагали математики предыдущих десятилетий. «Это действительно красивая бумага», — сказал Мровка. «Я просто продолжаю смотреть на это. Там много вкусных мелочей».

Составление списка

В конце прошлого года Руберман помог организовать конференция, на которой был составлен новый список наиболее значительных открытых проблем в низкоразмерной топологии. Готовясь к нему, он просмотрел предыдущий список важных нерешенных топологических проблем 1997 года. Он включал вопрос, который Кронхаймер поставил на основе своей работы с Мровкой. «Оно было там, и я думаю, о нем немного забыли», — сказал Руберман. Теперь он думал, что сможет ответить на этот вопрос.

Чтобы понять этот вопрос, полезно сначала рассмотреть две ключевые идеи: односвязные многообразия и фундаментальную группу.

Односвязные многообразия — это пространства, через которые не проходят дыры. В одном измерении бесконечная линия просто соединена, а круг — нет. В двух измерениях бесконечная плоскость и поверхность сферы просто соединены, а поверхность бублика — нет.

Математики делают это различие строгим, размещая петли на многообразии и рассматривая, как их можно деформировать. Если любую петлю можно сжать до точки, то многообразие просто связно. Например, на плоскости или на поверхности сферы это возможно — представьте, что вы натягиваете веревку. Но если эта нить движется по кругу, она не может сжаться. Аналогично, на поверхности пончика петли, проходящие вокруг центрального отверстия или сквозь него, не могут быть деформированы в одну точку. Сам пончик мешает.

Математики классифицируют пространства, которые не связаны между собой просто, вычисляя их «фундаментальную группу» — объект, структура которого отражает сжатие петель. Односвязные многообразия имеют «тривиальную» фундаментальную группу, состоящую всего из одного элемента. Но многообразия с дырками имеют более сложные фундаментальные группы.

Односвязные четырехмерные многообразия все еще могут быть довольно странными. Чтобы понять их, математики размышляют над тем, что может случиться с заключенными в них двумерными поверхностями.

По аналогии представьте себе, что на листе бумаги можно положить петлю из веревки. Вы мало что можете с этим поделать. Но поднимите его в трехмерное пространство, и вы сможете завязать его в сложные узлы. Способы манипулирования струной — одномерным многообразием — проясняют природу пространства, в котором она заключена.

Точно так же в более сложном четырехмерном мире двумерные поверхности являются «своего рода ключом ко всему бизнесу во многих отношениях», — сказал Руберман. «Поверхности расскажут вам о четырехмерном многообразии гораздо больше, чем вы имеете право ожидать». Поверхности позволяют различать многообразия: если поверхность может находиться внутри одного многообразия, но не внутри другого, вы знаете, что эти многообразия разные. А поверхности можно использовать для создания новых коллекторов из старых.

Поверхности также имеют соответствующие фундаментальные группы. То же самое происходит и с их дополнениями — частью многообразия, которая остается, когда вы убираете поверхность. Удалите экватор из двумерных многообразий, таких как, например, поверхность сферы или бублика, и вы получите два несвязанных полушария. Но поверхность пончика останется целой, если вместо горизонтального кольца убрать вертикальное. Аналогично, в зависимости от того, как вы вырезаете поверхность из четырехмерного многообразия, вы можете получить различные виды дополнений.

Еще в 1990-х годах Мровка и Кронхаймер исследовали, что происходит, когда вы вырезаете двумерную поверхность из четырехмерного многообразия. Если само многообразие односвязно, каким условиям должны соответствовать поверхности, чтобы их дополнения также были односвязными?

Кронхаймер и Мровка знали, что некоторые виды поверхностей могут иметь дополнения, которые не просто связаны между собой. Но их работа, похоже, показала, что другой широкий класс поверхностей всегда должен иметь просто связанные дополнения.

В течение почти трех десятилетий никто не мог найти в этом классе поверхность, дополнение которой не было бы просто связным. Но осенью 2023 года, столкнувшись с проблемой, Руберман подумал, что сможет. Вместо того, чтобы начинать с четырехмерного многообразия и вырезать поверхность, он начал с двумерной поверхности, обладающей необходимыми свойствами, и построил вокруг нее многообразие.

Сначала он превратил поверхность в четырехмерную каплю. Эта четырехмерная капля имела трехмерную границу, точно так же, как трехмерный объект, такой как мяч, имеет двухмерную границу. Руберман хотел прикрепить к другой стороне границы тщательно выбранное четырехмерное многообразие, которое служило бы дополнением к поверхности. Если бы гамбит сработал, то это многообразие имело бы сложную фундаментальную группу, однако фундаментальная группа всего вместе взятого была бы тривиальной. Таким образом, вновь построенное четырехмерное многообразие будет односвязным.

Но чтобы суметь правильно склеить все вместе, ему нужно было показать, что основная группа нового дополнения удовлетворяет самым разным свойствам. «Я понятия не имел, как это сделать», — сказал Руберман.

Затем, в январе, Хьюз — теоретик групп — выступил с докладом в Брандейсе. Руберман был в зале. Он понял, что у Хьюза, возможно, есть недостающая часть, которую он искал. На следующий день они встретились и за несколько часов выработали основные идеи, которые им были нужны. Чего Руберману не хватало, «это то, что теоретики групп вычисляли уже 70-80 лет», — сказал Хьюз. «Мы занимались этим всегда». К концу недели у них было законченное доказательство.

«Я кое-что знал, и он кое-что знал, и мы оба знали достаточно, чтобы просто сделать это», — сказал Руберман.

Из-за того, как в доказательстве используется теория групп, «это немного необычно», сказал Мэгги Миллер из Техасского университета в Остине. «Это написано немного иначе, чем было бы удобно большинству четырехмерных топологов».

Результат — еще один пример того, насколько сложной может быть четырехмерная топология. «Есть более интересные вложения поверхностей, чем мы думали», — сказал Хьюз. Это затрудняет классификацию многообразий и доказательство других результатов о них.

Тем не менее в марте Инанч Байкур из Массачусетского университета в Амхерсте, который вместе с Руберманом организовал прошлогоднюю конференцию по составлению списков, объявил о решении к другой проблеме, связанной с односвязными четырехмерными многообразиями из списка 1997 года.

Кажется, топологи наводят порядок.