Связь Пьера де Ферма с простым математическим доказательством старшеклассника | Журнал Кванта

Как и многие студенты-математики, я мечтал о математическом величии. Я думал, что когда-то был близок. Сложная задача по алгебре в колледже заставила меня работать до поздней ночи. После нескольких часов борьбы я почувствовал приближение прорыва. Я ловко манипулировал выражениями. Я факторизировал, умножал и упрощал, пока мое открытие наконец не проявилось:

$латекс 1 + 1 = 2$.

Я не мог удержаться от смеха. Мир уже знал, что $latex 1 + 1 = 2$, поэтому «теореме Хоннера» не суждено было сбыться. И хотя многие молодые математики испытали разочарование от не совсем прорыва, замечательные история Дэниела Ларсена сохраняет мечту живой.

Ларсен был учеником средней школы в 2022 году, когда доказал результат об определенном виде чисел, который десятилетиями ускользал от математиков. Он доказал, что числа Кармайкла — любопытный вид не совсем простых чисел — можно встретить чаще, чем было известно ранее, установив новую теорему, которая навсегда будет связана с его работой. Итак, что же такое числа Кармайкла? Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно вернуться в прошлое.

Имя Пьера де Ферма связано с одной из самых известных теорем математики. На протяжении более 300 лет Великая теорема Ферма оставалась высшим символом недостижимого математического величия. В 1600-х годах Ферма сделал заметку о предложенной им теореме в книге, которую читал, утверждая, что знает, как ее доказать, но не сообщая никаких подробностей. Математики пытались решить проблему самостоятельно до 1990-х годов, когда Эндрю Уайлс наконец доказал ее с помощью новых методов, открытых через сотни лет после смерти Ферма.

Но к числам Кармайкла относится менее известная «маленькая теорема» Ферма. Вот один из способов выразить это:

Если задано простое число $latex p$, то для любого целого числа $latex a$ количество $latex a^p – a$ делится на $latex p$.

Например, возьмем простое число $latex p = 11$ и целое число $latex a = 2$. Маленькая теорема Ферма гласит, что $latex 2^{11} – 2 = 2046$ делится на 11, и это: $latex 2046 div 11 = 186$. Или возьмем $latex p = 7$ и $latex a = 4$: $latex 4^7 – 4 = 16380 = 7 раз 2340$, так что $latex 4^7 – 4$ действительно делится на 7.

В отличие от Великой теоремы Ферма, на решение его маленькой теоремы не потребовалось 300 лет. Леонард Эйлер опубликовал доказательство менее века спустя. И поскольку речь идет о простых числах, люди нашли способы их использовать.

Один из способов использования маленькой теоремы Ферма — показать, что число не является простым. Допустим, вам интересно, является ли 21 простым или нет. Если бы 21 было простым числом, то, согласно маленькой теореме Ферма, для любого целого числа $latex a$ $latex a^{21}$ – $latex a$ должно было бы делиться на 21. Но если вы попробуете некоторые значения $, латекс, а $ вы видите, что это не работает. Например, $latex 2^{21} – 2 = 2097150$, что не кратно 21. Следовательно, поскольку оно не удовлетворяет малой теореме Ферма, 21 не может быть простым числом.

Это может показаться глупым способом проверить, является ли число простым. Ведь мы знаем, что $латекс 21 = 3 раза по 7$. Но проверка того, являются ли большие числа простыми, — это трудоемкая и важная задача в современной математике, поэтому математики всегда ищут короткие пути. С этой целью математики задавались вопросом, может ли быть верным обратное утверждение малой теоремы Ферма.

Что является обратной теоремой? Возможно, вы помните из уроков математики, что теорему можно рассматривать как условное утверждение вида «если P тогда Q». Теорема гласит, что если P часть (антецедент или гипотеза) верна, то Q часть (следствие или заключение) также должна быть истинной. Обратная теорема — это утверждение, которое получается, если поменять местами антецедент и консеквент. Таким образом, обратное утверждение «Если P тогда Q» — это утверждение «Если Q тогда P".

Давайте рассмотрим теорему Пифагора. Нам часто говорят, что здесь написано $latex a^2 + b^2 = c^2$. Но это не совсем правильно. Теорема Пифагора на самом деле является условным утверждением: она гласит, что если стороны прямоугольного треугольника имеют длины сторон $latex a$, $latex b$ и $latex c$, причем $latex c$ — это длина гипотенузы, то $latex a ^2 + b^2 = c^2$. Так в чем же его обратное? Он гласит, что если длины сторон треугольника $latex a$, $latex b$ и $latex c$ удовлетворяют уравнению $latex a^2 + b^2 = c^2$, то это прямоугольный треугольник.

Соблазнительно думать, что обратная теорема всегда верна, и многие студенты попали в эту ловушку. Обратное утверждение теоремы Пифагора оказывается верным, что позволяет сделать вывод, что треугольник с длинами сторон 9, 40 и 41 должен быть прямоугольным, поскольку $latex 9^2 + 40^2 = 41^2$. Но обратное истинному утверждению не обязательно должно быть верным: например, хотя верно, что если $latex x$ — положительное число, то $latex x^2$ является положительным числом, а обратное — если $latex x^2$ является положительным числом. положительное число, то $latex x$ является положительным числом, но это не так, поскольку $latex (-1)^2$ является положительным числом, а само −1 нет.

Хорошей математической практикой является исследование обратного утверждения, и математики, ищущие тест на простоту, хотели знать, верно ли обратное утверждение маленькой теоремы Ферма. Обратное утверждение гласит, что для любого целого числа $latex q$, если число $latex a^q – a$ делится на $latex q$ для любого целого числа $latex a$, то $latex q$ должно быть простым числом. Если бы это было правдой, это позволило бы избежать части трудоемкой вычислительной работы по проверке того, делится ли $latex q$ на какие-либо числа, кроме 1 и самого себя. Как это часто бывает в математике, этот один вопрос привел к появлению новых вопросов, которые в конечном итоге привели к некоторым новым математическим идеям.

Когда вы начнете исследовать обратную маленькую теорему Ферма, вы обнаружите, что она верна для многих чисел. Например, для любого целого числа $latex a$ число $latex a^2 – a$ делится на 2. Вы можете убедиться в этом, разложив $latex a^2 – a$ на $latex a раз (a-1) $. С a и $latex a − 1$ — последовательные целые числа, одно из них должно быть четным, а значит, их произведение должно делиться на 2.

Подобные аргументы показывают, что $latex a^3 – a$ всегда делится на 3, а $latex a^5 – a$ всегда делится на 5 (подробнее см. в упражнениях ниже). Таким образом, обратная малая теорема Ферма справедлива для чисел 3 и 5. Обратное утверждение говорит нам, чего мы ожидаем и от малых непростых чисел. Если мы используем его, чтобы проверить, является ли 4 простым или нет, мы вычислим $latex 2^4 – 2$ и заметим, что 14 не делится на 4.

Фактически, вы можете проверить вплоть до числа 561, и все будет указывать на то, что обратная малая теорема Ферма верна. Простые числа меньше 561 делят $latex a^p – a$ на каждое a, а непростые числа меньше 561 — нет. Но это меняется в 561. С помощью немного продвинутой теории чисел можно показать, что $latex a^{561} – a$ всегда делится на 561, поэтому, если бы обратное утверждение маленькой теоремы Ферма было верным, то 561 должно быть простым числом. . Но это не так: $латекс 561 = 3×11×17$. Таким образом, обращение малой теоремы Ферма неверно.

Математики называют числа вроде 561 «псевдопростыми», потому что они удовлетворяют некоторым условиям, связанным с простотой (например, деление $latex a^p – a$ для всех a), но на самом деле не являются простыми числами. Были найдены и другие контрпримеры обращению малой теоремы Ферма — следующие три — 1,105, 1,729 и 2,465. Они стали известны как числа Кармайкла, названные в честь американского математика Роберта Кармайкла. После того, как они были обнаружены, возникли новые вопросы: существуют ли другие способы идентифицировать числа Кармайкла? Есть ли у них еще какие-то особые свойства? Их бесконечно много? Если да, то как часто они происходят?

Именно последний вопрос в конечном итоге привлек внимание Дэниела Ларсена. Математики доказали, что чисел Кармайкла действительно бесконечно много, но чтобы доказать это, им пришлось построить числа Кармайкла, которые были очень далеко друг от друга. Это оставило открытым вопрос о том, как эти бесконечно многие числа Кармайкла распределяются вдоль числовой прямой. Всегда ли они далеки друг от друга по своей природе или могут возникать с большей частотой и регулярностью, чем показало это первоначальное доказательство?

Подобные вопросы о псевдопростых числах напоминают аналогичные и важные вопросы о самих простых числах. Две тысячи лет назад Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много, но потребовалось гораздо больше времени, чтобы понять, как простые числа распределяются по числовой прямой. В 1800-х годах постулат Бертрана показал, что для любого $latex n > 3$ всегда существует простое число между $latex n$ и $latex 2n$. Это дает нам некоторое представление о том, как часто следует ожидать простых чисел, пока мы идем по числовой прямой.

Математики задавались вопросом, верна ли какая-то версия постулата Бертрана для чисел Кармайкла. Дэниел Ларсен тоже задавался этим вопросом, опираясь на работы некоторых известных современных математиков — медалистов Филдса. Джеймс Мейнард и Теренс Тао, среди прочих — он обратил свое любопытство в новый результат о том, как распределяются числа Кармайкла. И хотя молодым математикам, вероятно, не стоит рассчитывать на то, что они добьются таких же результатов, выполняя сегодняшнее домашнее задание, тяжелая работа, настойчивость и успех Дэниела Ларсена должны вдохновить их двигаться вперед, даже если они повторное доказательство того, что мы уже знаем.

Упражнения

1. С помощью факторинга покажите, что если $latex a$ — натуральное число, то $latex a^3 – a$ всегда делится на 3.

2. Утверждение «Если четырехугольник является прямоугольником, то диагонали четырехугольника равны» верно. Верно ли обратное?

3. Докажите, что если $latex a$ — натуральное число, то число $latex a^5 – a$ всегда делится на 5.