Новое доказательство продевает иглу над проблемой липкой геометрии | Журнал Кванта

В 1917 году японский математик Соити Какея сформулировал то, что поначалу казалось не более чем забавным упражнением в геометрии. Положите бесконечно тонкую иглу длиной в дюйм на плоскую поверхность, затем поверните ее так, чтобы она указывала во всех направлениях по очереди. Какую наименьшую площадь может очистить игла?

Если просто покрутить его вокруг центра, получится круг. Но можно двигать иглу изобретательно, так что вы выкроите гораздо меньше места. С тех пор математики поставили родственную версию этого вопроса, названную гипотезой Какеи. В своих попытках решить ее они обнаружили удивительные связи с гармоническим анализом, теорией чисел и даже с физикой.

«Почему-то эта геометрия линий, указывающих в разных направлениях, повсеместно распространена в значительной части математики», — сказал он. Джонатан Хикман из Эдинбургского университета.

Но это также то, что математики до сих пор не до конца понимают. За последние несколько лет они доказали варианты гипотезы Какеи. в более простых настройках, но вопрос остается нерешенным в нормальном трехмерном пространстве. Некоторое время казалось, что весь прогресс в этой версии гипотезы застопорился, хотя она имеет многочисленные математические следствия.

Теперь два математика сдвинули иглу, так сказать. Их новое доказательство преодолевает серьезное препятствие которая стояла десятилетиями, возрождая надежду на то, что решение, наконец, может появиться.

Что за маленькая сделка?

Какею интересовали множества на плоскости, содержащие отрезки длины 1 в каждом направлении. Есть много примеров таких наборов, самым простым из которых является диск диаметром 1. Какея хотел знать, как будет выглядеть самый маленький такой набор.

Он предложил треугольник со слегка вогнутыми сторонами, называемый дельтовидным, который имеет половину площади диска. Однако оказалось, что можно сделать намного лучше.

В 1919 году, всего через пару лет после того, как Какея поставил свою задачу, русский математик Абрам Безикович показал, что если расположить иголки особым образом, можно построить колючее множество с произвольно малой площадью. (Из-за Первой мировой войны и революции в России его результаты не доходили до остального математического мира в течение нескольких лет.)

Чтобы увидеть, как это может работать, возьмите треугольник и разделите его вдоль основания на более тонкие треугольные части. Затем сдвиньте эти части так, чтобы они максимально перекрывали друг друга, но выступали в несколько разных направлениях. Повторяя процесс снова и снова — разбивая ваш треугольник на все более тонкие фрагменты и аккуратно переставляя их в пространстве — вы можете сделать свой набор настолько маленьким, насколько захотите. В бесконечном пределе вы можете получить множество, которое математически не имеет площади, но тем не менее, как это ни парадоксально, может вместить иглу, указывающую в любом направлении.

«Это довольно удивительно и парадоксально», — сказал Руйсян Чжан из Калифорнийского университета в Беркли. «Это очень патологический набор».

Этот результат можно обобщить на более высокие измерения: можно построить множество произвольно малого объема, содержащее единичный отрезок, указывающий во всех направлениях в nпространство.

Безикович, казалось, полностью решил вопрос Какеи. Но десятилетия спустя математики начали работать над другой версией проблемы, в которой они заменили площадь (или объем в случае многомерности) другим понятием размера.

Чтобы понять эту переформулировку вопроса, сначала возьмите каждый отрезок линии в наборе Какейи и немного увеличьте его — как если бы вы использовали настоящую иглу, а не идеализированную. На плоскости ваш набор будет состоять из очень тонких прямоугольников; в трехмерном пространстве у вас будет набор очень тонких трубочек.

Эти раздутые множества всегда имеют некоторую площадь (или объем, но пока мы будем придерживаться двумерного случая). Когда вы измените ширину иглы, эта область будет меняться. В 1970-х годах математик Рой Дэвис (умерший в прошлом месяце) показал, что если общая площадь изменится на небольшую величину, ширина каждой иглы должна резко измениться. Например, если вы хотите, чтобы утолщенная версия набора Безиковича имела площадь 1/10 квадратного дюйма, каждая игла должна иметь толщину около 0.000045 дюйма: e^-10 дюйма, если быть точным. Но если бы вы хотели сделать общую площадь 1/100 квадратного дюйма — в 10 раз меньше — игла должна была бы быть e^-100 толщиной в дюйм. (Сорок три нуля следуют за запятой, прежде чем вы перейдете к другим цифрам.)

«Если вы скажете мне, насколько маленькой должна быть площадь, то мне придется потребовать иглу, которая будет просто невероятно тонкой», — сказал он. Чарльз Фефферман Принстонского университета.

Математики измеряют «размер» множества Какейи, используя величину, называемую размерностью Минковского, которая связана с обычной размерностью, но не совсем совпадает с ней (определяемой как количество независимых направлений, необходимых для описания пространства).

Вот один из способов представить измерение Минковского: возьмите свой набор и покройте его крошечными шариками, каждый из которых имеет диаметр в одну миллионную от предпочитаемой вами единицы. Если ваш набор представляет собой отрезок длины 1, вам понадобится не менее 1 миллиона шаров, чтобы покрыть его. Если ваш набор представляет собой квадрат площади 1, вам понадобится гораздо больше: миллион в квадрате или триллион. Для сферы объемом 1 это около 1 миллиона в кубе (квинтиллион) и так далее. Размерность Минковского - это значение этого показателя. Он измеряет скорость, с которой количество мячей, необходимых для покрытия набора, растет по мере того, как диаметр каждого мяча становится меньше. Отрезок прямой имеет размерность 1, квадрат имеет размерность 2, а куб имеет размерность 3.

Эти размеры знакомы. Но используя определение Минковского, становится возможным построить множество, имеющее размерность, скажем, 2.7. Хотя такое множество не заполняет трехмерное пространство, оно в каком-то смысле «больше», чем двумерная поверхность.

Когда вы покрываете набор шарами заданного диаметра, вы приближаетесь к объему откормленной версии набора. Чем медленнее уменьшается объем набора с размером вашей иглы, тем больше шариков вам потребуется, чтобы его покрыть. Таким образом, вы можете переписать результат Дэвиса, который утверждает, что площадь множества Какея на плоскости медленно уменьшается, чтобы показать, что размерность Минковского этого множества должна быть равна 2. Гипотеза Какеи обобщает это утверждение на более высокие измерения: всегда имеют ту же размерность, что и пространство, в котором они обитают.

Это простое утверждение оказалось на удивление трудно доказать.

Башня догадок

Пока Фефферман не сделал поразительное открытие в 1971 году эта гипотеза рассматривалась как диковинка.

В то время он работал над совершенно другой проблемой. Он хотел понять преобразование Фурье, мощный инструмент, который позволяет математикам изучать функции, записывая их в виде суммы синусоид. Представьте себе музыкальную ноту, состоящую из множества перекрывающихся частот. (Вот почему среднее до на фортепиано звучит иначе, чем среднее до на скрипке.) Преобразование Фурье позволяет математикам вычислять составляющие частоты конкретной ноты. Тот же принцип работает для таких сложных звуков, как человеческая речь.

Математики также хотят знать, смогут ли они восстановить исходную функцию, если им даны лишь некоторые из бесконечно многих составляющих ее частот. Они хорошо понимают, как это сделать в одном измерении. Но в более высоких измерениях они могут по-разному выбирать, какие частоты использовать, а какие игнорировать. Фефферман, к удивлению своих коллег, доказал, что вы можете не перестроить свою функцию, если полагаетесь на хорошо известный способ выбора частот.

Его доказательство основывалось на построении функции путем модификации множества Какеи Безиковича. Позже это вдохновило математиков на разработку иерархии гипотез о многомерном поведении преобразования Фурье. Сегодня иерархия включает даже предположения о поведении важных уравнений в частных производных в физике, таких как уравнение Шредингера. Каждая гипотеза в иерархии автоматически подразумевает следующую.

Гипотеза Какеи лежит в самом основании этой башни. Если оно ложно, то ложны и утверждения выше в иерархии. С другой стороны, доказательство его истинности не сразу означает истинность предположений, расположенных над ним, но может предоставить инструменты и идеи для атаки на них.

«Самое удивительное в гипотезе Какейи то, что это не просто забавная задача; это настоящее теоретическое узкое место», — сказал Хикман. «Мы не понимаем многие из этих явлений в уравнениях в частных производных и анализе Фурье, потому что мы не понимаем эти множества Какейи».

Вынашивание плана

Доказательство Феффермана — наряду с обнаруженными впоследствии связями с теорией чисел, комбинаторикой и другими областями — возродило интерес к проблеме Какейи среди ведущих математиков.

В 1995 году Томас Вольф доказал, что размерность Минковского множества Какейи в трехмерном пространстве должна быть не менее 3. Оказалось, что эту нижнюю границу трудно увеличить. Затем, в 2.5 году, математики Нетс Кац, Изабелла Лаба и Теренс Тао удалось победить. Их новая граница: 2.500000001. Несмотря на то, насколько небольшим было улучшение, оно преодолело огромный теоретический барьер. Их бумага была опубликовано в Анналы математики, самый престижный журнал в этой области.

Позже Кац и Тао надеялись применить некоторые идеи из этой работы, чтобы по-другому опровергнуть гипотезу трехмерного Какея. Они предположили, что любой контрпример должен обладать тремя особыми свойствами и что сосуществование этих свойств должно приводить к противоречию. Если бы они смогли это доказать, это означало бы, что гипотеза Какеи верна в трех измерениях.

Они не смогли пройти весь путь, но они добились некоторого прогресса. В частности, они (вместе с другими математиками) показали, что любой контрпример должен обладать двумя из трех свойств. Он должен быть «плоским», что означает, что всякий раз, когда отрезки пересекаются в точке, эти отрезки также лежат почти в одной плоскости. Он также должен быть «зернистым», что требует одинаковой ориентации плоскостей ближайших точек пересечения.

Осталось третье свойство. В «липком» наборе сегменты линий, которые указывают почти в одном направлении, также должны располагаться близко друг к другу в пространстве. Кац и Тао не смогли доказать, что все контрпримеры должны быть липкими. Но интуитивно кажется, что липкий набор — это лучший способ заставить сегменты линий сильно перекрываться, тем самым делая набор как можно меньше — именно то, что вам нужно для создания контрпримера. Если бы кто-нибудь смог показать, что липкое множество Какеи имеет размерность Минковского меньше 3, это опровергло бы гипотезу о трехмерности Какеи. «Похоже, самый тревожный случай — «липкий», — сказал Ларри Гут Массачусетского технологического института.

Это больше не беспокоит.

Камень преткновения

В 2014 году — более чем через десять лет после того, как Кац и Тао попытались доказать гипотезу Какейи — Тао опубликовал набросок своего подхода в своем блоге, давая другим математикам возможность испытать это на себе.

В 2021 Хонг Ван, математик из Нью-Йоркского университета и Джошуа Зал из Университета Британской Колумбии решили продолжить с того места, на котором остановились Тао и Кац.

Они начали с предположения о существовании липкого контрпримера с размерностью Минковского меньше 3. Из предыдущей работы они знали, что такой контрпример должен быть плоским и зернистым. «Таким образом, мы оказались в том мире, о котором думали Терри Тао и Нетс Кац, — сказал Заль. Теперь им нужно было показать, что плоские, зернистые и липкие свойства накладываются друг на друга и приводят к противоречию, которое означало бы, что этот контрпример на самом деле не может существовать.

Однако, чтобы получить это противоречие, Ван и Заль обратили свое внимание в направлении, которого Кац и Тао не предвидели, — в область, известную как теория проекций.

Они начали с более подробного анализа структуры своего липкого контрпримера. Если вы рассмотрите идеализированную версию набора, он имеет бесконечное количество отрезков, указывающих во всех направлениях. Но в этой задаче помните, что вы имеете дело с утолщенными версиями этих отрезков — кучей иголок. Каждая из этих игл может содержать множество идеализированных отрезков, а это означает, что вы можете закодировать весь бесконечный набор с помощью конечного числа игл. В зависимости от того, насколько толстые иглы, ваш упитанный набор может выглядеть совсем по-другому.

Если набор липкий, он будет выглядеть более или менее одинаково независимо от толщины иголок.

Ван и Заль использовали это свойство, чтобы показать, что по мере того, как иголки становятся тоньше, набор становится все более и более плоским. Посредством этого процесса они могли «извлечь еще более патологический объект», — сказал Заль, — что-то, что, казалось, обладало невозможными качествами.

Вот что они показали дальше. Они доказали, что этот патологический объект должен был выглядеть одним из двух способов, оба из которых приводили к противоречиям. Либо вы сможете спроецировать его в двухмерное пространство таким образом, чтобы он стал намного меньше во многих направлениях — то, что Ван и ее коллеги только что сделали. показано, что это невозможно. Или, во втором случае, иглы в наборе будут организованы в соответствии с очень специфической функцией, что недавно доказали Заль и его сотрудники. не могло существовать, потому что это привело бы к другим типам проекций, которые не имели смысла.

Теперь у Ванга и Зала было свое противоречие — это означало, что к гипотезе Какеи не существует липких контрпримеров. (Они показали это не только для размерности Минковского, но и для родственной величины, называемой размерностью Хаусдорфа.) «Результат исключает весь этот класс контрпримеров, — сказал Заль, — точный тип множества, который математики считали наиболее вероятным для опровержения. гипотеза.

Новая работа «является сильным подтверждением того, что гипотеза Какеи верна», — сказал он. Пабло Шмеркин из Университета Британской Колумбии. Хотя это применимо только к трехмерному случаю, некоторые из его методов могут быть полезны в более высоких измерениях. Потратив годы на то, чтобы продвинуть гипотезу в других системах счисления, математики взволнованы этим возвращением к исходной области проблемы действительных чисел.

«Примечательно, что они полностью раскрыли это дело, — сказал Чжан. «В реальных условиях это крайне редко». И если кто-нибудь сможет доказать, что контрпример должен быть липким, новый результат будет подразумевать полную гипотезу в трех измерениях. Иерархия догадок, выстроенная над ней, останется тогда надежной, ее основание прочным.

«Каким-то образом эти две разные проблемы в теории проекций, которые, на первый взгляд, не имеют ничего общего друг с другом, довольно хорошо сочетаются друг с другом, чтобы дать именно то, что было нужно для Какеи», — сказал Заль.