Почему математики повторно доказывают то, что они уже знают

Первым доказательством, которое многие люди когда-либо узнают в начальной школе, является доказательство древнегреческого математика Евклида о том, что существует бесконечно много простых чисел. Он занимает всего несколько строк и не использует более сложных понятий, чем целые числа и умножение.

Его доказательство основано на том факте, что, если бы существовало конечное число простых чисел, умножение их всех вместе и добавление 1 означало бы существование другого простого числа. Это противоречие означает, что простые числа должны быть бесконечны.

У математиков есть удивительно популярное занятие: доказывать это снова и снова.

Зачем это делать? С одной стороны, это весело. Что еще более важно, «я думаю, что грань между рекреационной математикой и серьезной математикой очень тонка», — сказал Уильям Газарк, профессор компьютерных наук в Университете Мэриленда и автор книги новое доказательство размещены в Интернете в начале этого года.

Доказательство Гасарха является лишь последним в длинной череде новых доказательств. В 2018 году Ромео Мештрович Университета Черногории собрал около 200 доказательств теоремы Евклида в одном комплексный исторический обзор. Действительно, вся область аналитической теории чисел, которая использует непрерывно меняющиеся величины для изучения целых чисел, возможно возник в 1737 году, когда математический гигант Леонард Эйлер использовал тот факт, что бесконечный ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … расходится (это означает, что его сумма не дает конечного числа), чтобы еще раз доказать, что существует бесконечное число простых чисел.

Кристиан Эльшольц, математик из Технологического университета Граца в Австрии и автор еще одно недавнее доказательство, сказал, что вместо того, чтобы доказывать твердые результаты из множества более мелких результатов — что делают математики, систематически собирая леммы в теоремы, — он поступил наоборот. «Я использую Великую теорему Ферма, которая на самом деле является нетривиальным результатом. И затем я заключаю очень простой вывод». По его словам, работа в обратном направлении может выявить скрытые связи между различными областями математики.

«Существует небольшое соревнование за то, чтобы у людей были самые смехотворно сложные доказательства», — сказал он. Эндрю Грэнвилл, математик из Монреальского университета и автор двух другие доказательства. «Это должно быть забавно. Делать что-то технически ужасное не имеет смысла. Единственный способ сделать что-то сложное — это сделать его забавным».

Грэнвиль сказал, что в этом дружеском превосходстве есть серьезный смысл. Исследователей не просто кормят вопросами, которые они пытаются решить. «Процесс созидания в математике — это не про то, что ты просто ставишь перед машиной задачу, и машина ее решает. Речь идет о ком-то, кто берет то, что они делали в прошлом, и использует это для создания техники и способа развития идей».

Как говорит Гасарч: «Все статьи переходят от милого нового доказательства того, что простые числа бесконечны, к серьезной математике. Сегодня вы просто смотрите на простые числа, а на следующий день смотрите на плотности квадратов».

Доказательство Гасарча начинается с того, что если раскрасить целые числа конечным числом цветов, всегда найдется пара чисел одного цвета, сумма которых будет того же цвета, что и доказано в 1916 году Исай Шур. Гасарч использовал теорему Шура, чтобы показать, что если бы существовало конечное число простых чисел, то существовал бы совершенный куб (целое число, например 125, равное некоторому другому целому числу, умноженному само на себя трижды), являющемуся суммой двух другие совершенные кубы. Но еще в 1770 году Эйлер доказал, что такого куба не существует. n = 3 случай Великой теоремы Ферма, который утверждает, что нет целочисленных решений для aⁿ + bⁿ = cⁿ для n больше 2. Основываясь на этом противоречии, Гасарч пришел к выводу, что должно быть бесконечное число простых чисел.

В одном из доказательств Гранвиля 2017 года использовалась другая теорема Ферма. Гранвиль в основном полагался на теорема 1927 года Бартелем Лендертом ван дер Варденом, который показал, что если раскрасить целые числа конечным числом цветов, всегда будут существовать сколь угодно длинные цепочки равномерно расположенных целых чисел одного цвета. Как и Газарк, Гранвиль исходил из того, что простые числа конечны. Затем он использовал теорему ван дер Вардена, чтобы найти последовательность из четырех равноудаленных идеальных квадратов одинакового цвета. Но Ферма доказал, что такой последовательности не может быть. Противоречие! Поскольку такая последовательность могла бы существовать, если бы было конечное число простых чисел, но не может существовать, должно быть бесконечное число простых чисел. Доказательство Грэнвиля было вторым недавним простым доказательством теоремы Ван дер Вардена. Левент Альпёге, ныне постдок в Гарвардском университете, также использовал результат в 2015 бумага, опубликованный, когда он еще учился в колледже.

Гранвиль является особым поклонником статьи Эльсгольца, в которой также применяется Великая теорема Ферма и контрфактическое предположение о том, что существует только конечное число простых чисел. Подобно Газарху, Эльсгольц включил теорему Шура, хотя и несколько по-другому. Эльсгольц также дал второе доказательство, используя Теорема 1953 года Клауса Рота, в котором говорится, что наборы целых чисел свыше определенного размера должны содержать группы из трех равномерно расположенных чисел.

На некоторые более глубокие и даже практические математические вопросы можно ответить, опираясь на эту работу. Например, шифрование с открытым ключом, основанное на сложности разложения больших чисел на множители, было бы очень легко взломать, если бы мы жили в мире с конечным числом простых чисел. Эльсгольц задается вопросом, может ли поэтому быть какая-то связь между доказательствами бесконечного множества простых чисел и доказательством того, насколько сложно взломать такие схемы шифрования. Эльсгольц сказал, что существует «некоторая слабая связь с теоремой Евклида». «Было бы интересно увидеть более глубокие связи».

Гранвиль сказал, что лучшая математика может вырасти из странных комбинаций различных областей и предметов и часто возникает после того, как математики потратили годы на решение несложных, но забавных задач. Он очарован тем фактом, что, казалось бы, далекие предметы могут быть применены к теории чисел. В недавнем обзоре Гранвиль похвалил «скучную элегантность» Доказательство 1955 года Хиллеля Фюрстенберга, в котором использовалась точечная топология. Как и Альпеге, Фюрстенберг еще учился в колледже, когда его доказательство было опубликовано. Он пошел бы на блестящая карьера в разнообразие математических дисциплин.

Гранвиль риторически спросил, являются ли новые доказательства старого результата Евклида «просто любопытством или чем-то, что имеет какое-то долгосрочное значение». Отвечая на собственный вопрос, он сказал: «Я не могу вам сказать».