«Энтропийные бублики» и другие сложные структуры возникают из простых правил | Журнал Кванта

Повторение не всегда должно быть банальным. В математике это мощная сила, способная породить ошеломляющую сложность.

Даже после десятилетий исследований математики оказываются не в состоянии ответить на вопросы о многократном выполнении очень простых правил — самых основных «динамических систем». Но пытаясь это сделать, они обнаружили глубокую связь между этими правилами и другими, казалось бы, далекими областями математики.

Например, множество Мандельброта, которое я писал о в прошлом месяце представляет собой карту того, как семейство функций, описываемое уравнением f(x) = x² + c — ведет себя как значение c распространяется на так называемую комплексную плоскость. (В отличие от действительных чисел, которые можно разместить на прямой, комплексные числа состоят из двух компонентов, которые можно отобразить на графике). x- и y-оси двумерной плоскости.)

Независимо от того, насколько сильно вы приближаете множество Мандельброта, всегда возникают новые закономерности, без ограничений. «Для меня даже сейчас это совершенно ошеломляет, что эта очень сложная структура возникает из таких простых правил», — сказал Мэтью Бейкер Технологического института Джорджии. «Это одно из действительно удивительных открытий 20-го века».

Сложность множества Мандельброта возникает отчасти потому, что оно определяется в терминах чисел, которые сами по себе являются комплексными. Но, что, возможно, удивительно, это еще не вся история. Даже когда c является простым действительным числом, например, –3/2, могут происходить всевозможные странные явления. Никто не знает, что произойдет, если вы неоднократно применяете уравнение f(x) = x² – 3/2, используя каждый выход в качестве следующего входа в процессе, известном как итерация. Если вы начнете итерацию с x = 0 («критическая точка» квадратного уравнения), неясно, создадите ли вы последовательность, которая в конечном итоге сходится к повторяющемуся циклу значений, или такую, которая продолжает бесконечно колебаться в хаотическом порядке.

Для значений c меньше –2 или больше 1/4, итерация быстро достигает бесконечности. Но внутри этого интервала существует бесконечно много значений c известно, что оно вызывает хаотическое поведение, и бесконечно много случаев, таких как –3/2, когда «мы не знаем, что происходит, даже если это суперконкретно», сказал Джулио Тиоццо Университета Торонто.

Но в 1990-е годы математик из Университета Стоуни-Брук Миша Любич, который занимал видное место в моем отчете о множестве Мандельброта, доказанный что в интервале от –2 до 1/4 подавляющее большинство значений c производят красивое «гиперболическое» поведение. (Математики Яцек Грачик и Гжегож Святек независимо доказано результат примерно в одно и то же время.) Это означает, что соответствующие уравнения при итерации сходятся к одному значению или к повторяющемуся циклу чисел.

Десять лет спустя трио математиков показало, что большинство значений c гиперболичны не только для квадратных уравнений, но и для любое семейство действительных многочленов (более общие функции, которые объединяют переменные, возведенные в степень, например x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). И вот один из них, Себастьян ван Стрен из Имперского колледжа Лондона, считает, что у него есть доказательство этого свойства для еще более широкого класса уравнений, называемых вещественными аналитическими функциями, которые включают синус, косинус и экспоненциальные функции. Ван Стрин надеется объявить результаты в мае. Если она подтвердится после экспертной оценки, это будет означать значительный прогресс в описании того, как ведут себя реальные одномерные системы.

Маловероятные пересечения и энтропийные бублики

Известно, что существует бесконечно много реальных квадратных уравнений, которые, как известно, при повторении с нуля в конечном итоге создают повторяющийся цикл чисел. Но если вы ограничите c к рациональным значениям — тем, которые можно записать в виде дробей — только три значения в конечном итоге порождают периодические последовательности: 0, –1 и –2. «Эти динамические системы очень, очень особенные», — сказал Клейтон Петше Университета штата Орегон.

In бумага опубликовано в прошлом году Petsche and Чатчай Нойтаптим Университета Ватерлоо доказали, что они еще более особенные, чем кажутся на первый взгляд. Математики рассматривали «абсолютно реальные» числа, которые являются более ограничительными, чем действительные числа, но менее ограничительными, чем рациональные.

Если вы подставляете число в полином и получаете на выходе ноль, это число является решением или корнем полинома. Например, 2 является корнем f(x) = x² - 4, f(x) = x³ -10x² + 31x – 30 и бесконечно много других уравнений. Такие многочлены могут иметь действительные или комплексные корни. (Например, корни x² + 1 — это квадратный корень из –1, записанный как i, а также -i — оба комплексных числа.)

Число является полностью вещественным, если оно удовлетворяет полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами, которое имеет только действительные корни. Все рациональные числа полностью реальны, но и некоторые иррациональные числа тоже. Например, $latex sqrt{2}$ вполне реален, потому что это решение f(x) = x² – 2, который имеет только действительные корни ($latex sqrt{2}$ и его «сестринский» корень $latex -sqrt{2}$). Но кубический корень из 2, $latex sqrt[3]{2}$, не совсем реален. Это решение f(x) = x³ – 2, у которого есть еще два сестринских корня, также известных как сопряженные Галуа, которые являются комплексными.

Петше и Нойтаптим доказали, что не существует никаких иррациональных, полностью реальных чисел, которые в конечном итоге порождают периодические циклы. Скорее всего, 0, –1 и –2 — единственные полностью действительные числа, которые делают это. Они представляют собой маловероятное пересечение свойств из двух, казалось бы, разных миров — теории чисел (изучение целых чисел) и динамических систем. Петше и Нойтаптим использовали в своем доказательстве важные результаты теории чисел, подчеркивая связь между двумя областями.

Математики Ксавьер Бафф и Сара Кох найденный еще одно маловероятное пересечение. Они показали, что только четыре вполне реальных значения c — 1/4, –3/4, –5/4 и –7/4 – генерируют последовательности особого, хорошо понятного типа, называемого параболическим циклом.

Сопряжения Галуа также проложили путь к открытию загадочного объекта, получившего название «энтропийный бублик», — светящегося фрактального кольца на комплексной плоскости. Энтропия — это мера случайности; в этом контексте он измеряет, насколько сложно предсказать последовательность чисел, сгенерированную путем итерации. x² + c. В последняя статья, которую он написал Перед своей смертью в 2012 году известный тополог Уильям Терстон нарисовал график набора значений энтропии, соответствующих почти миллиарду различных реальных значений c — вместе с сопряженными Галуа теми значениями энтропии, которые могут быть комплексными. Понятие энтропии «прямо соответствует реальности, но каким-то образом вы все равно можете увидеть эту тень сложного мира», — сказал Тиоццо.

«Вы видите, что это самоорганизуется в эту невероятную кружевную фрактальную структуру», — сказал Кох. "Это так здорово." Энтропийный бублик — это лишь одна очень сложная закономерность, возникающая в результате итерации реальных квадратных уравнений. «Мы все еще изучаем все эти волшебные утверждения — маленькие жемчужины — о реальных квадратичных полиномах», — добавила она. «Вы всегда можете вернуться и удивиться тому, что, как вам казалось, вы знали очень хорошо».