Старая гипотеза рушится, делая сферы намного сложнее | Журнал Кванта

В начале июня ажиотаж поднялся после того, как математики приземлились в лондонском аэропорту Хитроу. Их целью был Оксфордский университет и конференция в честь 65-летия со дня рождения Майкл Хопкинс, математик из Гарвардского университета, который был наставником для многих участников.

Хопкинс сделал себе имя в конце 1980-х годов, работая над семью гипотезами, которые Дуг Рэвенел Рочестерского университета сформулировали десятью годами ранее. Они касались методов определения того, когда две формы или пространства, которые могут выглядеть по-разному, на самом деле одинаковы. Хопкинс и его сотрудники доказали все гипотезы Равенела, за исключением одной — проблемы с многообещающим, но загадочным названием, называемой гипотезой телескопа.

В то время Хопкинс прекратил свою работу над гипотезами Равенела. Спустя десятилетия гипотеза о телескопе казалась практически неразрешимой.

«К такой теореме невозможно прикоснуться», — сказал Хопкинс.

Но когда математики приехали в Лондон, пошли слухи, что это было сделано — группой из четырех математиков, связанных с Массачусетским технологическим институтом, троих из которых консультировал Хопкинс в аспирантуре. Самый младший из четырех, аспирант по имени Ишан Леви, должен был выступить с докладом во вторник, на второй день конференции, и, похоже, именно тогда могло быть объявлено о доказательстве.

«Я слышал слухи о том, что это произойдет, и я не знал точно, чего ожидать», — сказал Весна Стояноска, математик из Университета Иллинойса, Урбана-Шампейн, присутствовавший на конференции.

Вскоре стало ясно, что слухи верны. Начиная со вторника и в течение следующих трёх дней Леви и его соавторы — Роберт Берклунд, Джереми Хан и Томер Шланк — объяснил толпе из примерно 200 математиков, как они доказали, что гипотеза о телескопе ложна, что сделало ее единственной из первоначальных гипотез Равенела, которая не соответствует действительности.

Опровержение гипотезы о телескопе имеет далеко идущие последствия, но одно из самых простых и глубоких заключается в следующем: оно означает, что в очень больших измерениях (представьте себе 100-мерную сферу) Вселенная различных форм гораздо сложнее, чем предвидели математики.

Составление карт

Чтобы классифицировать формы или топологические пространства, математики различают существенные и несущественные различия. Гомотопическая теория — это точка зрения, с которой можно провести эти различия. Он считает, что шар и яйцо по сути являются одним и тем же топологическим пространством, потому что вы можете сгибать и растягивать одно в другое, не разрывая при этом ни одного. Точно так же теория гомотопии считает, что шар и внутренняя трубка фундаментально различны, потому что вам нужно проделать отверстие в шаре, чтобы деформировать его во внутреннюю трубку.

Гомотопия полезна для классификации топологических пространств — создания диаграммы всех возможных форм. Это также важно для понимания того, что волнует математиков: карт между пространствами. Если у вас есть два топологических пространства, один из способов исследовать их свойства — это найти функции, которые преобразуют или сопоставляют точки одного с точками другого — введите точку в пространстве A, получите точку в пространстве B в качестве результата, и проделайте это для всех точек на A.

Чтобы увидеть, как работают эти карты и почему они освещают свойства задействованных пространств, начните с круга. Теперь нанесите его на двумерную сферу, которая является поверхностью шара. Существует бесконечно много способов сделать это. Если вы представляете сферу как поверхность Земли, вы можете, например, разместить круг на любой линии широты. С точки зрения теории гомотопии, все они эквивалентны или гомотопны, поскольку все они могут сжаться до точки на северном или южном полюсе.

Затем нанесите круг на двумерную поверхность внутренней трубки (тора с одним отверстием). Опять же, существует бесконечно много способов сделать это, и большинство из них гомотопны. Но не все из них. Вы можете разместить круг вокруг тора горизонтально или вертикально, и ни один из них нельзя плавно деформировать в другой. Это два (из многих) способов отобразить круг на тор, тогда как есть только один способ отобразить его на сферу, что отражает фундаментальное различие между двумя пространствами: у тора есть одна дырка, а у сферы ее нет.

Легко подсчитать способы отображения круга в двумерную сферу или тор. Это знакомые пространства, которые легко визуализировать. Но считать карты гораздо сложнее, когда речь идет о пространствах более высокой размерности.

Размерные различия

Если две сферы имеют одно и то же измерение, между ними всегда существует бесконечное количество отображений. И если пространство, из которого вы сопоставляете карту, имеет меньшую размерность, чем пространство, в которое вы сопоставляете (как в нашем примере с одномерным кругом, отображенным на двумерную сферу), всегда существует только одна карта.

Частично по этой причине подсчет карт наиболее интересен, когда пространство, из которого вы картируете, имеет более высокое измерение, чем пространство, в которое вы картируете, например, когда вы отображаете семимерную сферу на трехмерную сферу. В подобных случаях количество карт всегда конечно.

«Карты между сферами в целом становятся более интересными, когда источник имеет большее измерение», — сказал Хан.

Более того, количество карт зависит только от разницы в количестве измерений (как только размеры станут достаточно большими по сравнению с разницей). То есть количество карт из 73-мерной сферы в 53-мерную сферу такое же, как и количество карт из 225-мерной сферы в 205-мерную сферу, поскольку в обоих случаях разница в размерности равна 20.

Математики хотели бы знать количество отображений между пространствами любой разницы в размерности. Им удалось вычислить количество карт почти для всех различий в размерности до 100: между сферами имеется 24 карты, когда разница равна 20, и 3,144,960 23 XNUMX, когда она равна XNUMX.

Но вычисление количества карт для любой разницы, превышающей 100, исчерпывает современные вычислительные мощности. И в то же время математики не обнаружили достаточной закономерности в количестве карт для дальнейшей экстраполяции. Их цель — заполнить таблицу, в которой указано количество карт для любой разницы в размерах, но эта цель кажется очень далекой.

«Это не тот вопрос, на который я ожидаю полного решения при жизни моих внуков», — сказал Равенел, которому 76 лет.

Гипотеза о телескопе позволяет предсказать, как количество карт будет расти по мере увеличения разницы в размерах. По сути, он предсказывает, что это число будет расти медленно. Если бы это было правдой, это немного облегчило бы задачу заполнения таблицы.

Сомнение в неверие

Гипотеза о телескопе получила свое название невероятным образом.

Началось с того, что в очень высоких измерениях часто нарушается геометрическая интуиция, сформированная в более низких измерениях, и сложно считать карты между сферами. Но формулируя свою гипотезу, Равенел понимал, что этого делать не обязательно. Вместо подсчета карт между сферами вы можете упростить прокси-подсчет карт между сферами и объектами, называемыми телескопами.

Телескопы представляют собой серию копий замкнутой кривой более высокого измерения, каждая из которых представляет собой уменьшенную версию той, которая была до нее. Ряд кривых напоминает переплетенные трубки настоящего складного телескопа. «Как бы странно ни звучал этот телескоп, когда вы его описываете, на самом деле с ним легче иметь дело, чем с самой сферой», — сказал Равенел.

Но, тем не менее, сферы могут отображаться на телескопах разными способами, и проблема состоит в том, чтобы узнать, когда эти карты действительно различимы.

Чтобы определить, являются ли два пространства гомотопными, требуется математический тест, известный как инвариант, который представляет собой расчет, основанный на свойствах пространств. Если расчет дает разные значения для каждого пространства, вы знаете, что они уникальны с точки зрения гомотопии.

Существует много видов инвариантов, и некоторые из них могут воспринимать различия, на которые другие инварианты не обращают внимания. Гипотеза телескопа предсказывает, что инвариант по имени Морава E-теория (и ее симметрии) может прекрасно различать все отображения между сферами и телескопами с точностью до гомотопии — то есть, если Морава E- теория утверждает, что карты различны, они различны, и если она утверждает, что они одинаковы, то они одинаковы.

Но к 1989 году Равенел начал сомневаться в правдивости этого утверждения. Его скептицизм возник из проведенных им расчетов, которые, казалось, не согласовывались с этой гипотезой. Но только в октябре того же года, когда сильное землетрясение произошло в районе залива, когда он был в Беркли, эти сомнения переросли в полноценное неверие.

«Я пришел к этому выводу через день или два после землетрясения, поэтому мне нравится думать, что произошло что-то, что заставило меня поверить, что это неправда», — сказал Равенел.

Для опровержения гипотезы о телескопе потребуется найти более мощный инвариант, который мог бы видеть вещи Моравы. E- теория не может. На протяжении десятилетий казалось, что такого инварианта не существует, что делало эту гипотезу совершенно недосягаемой. Но прогресс последних лет изменил ситуацию – и Бурклунд, Хан, Леви и Шланк воспользовались этим.

Взрывающаяся экзотика

Их доказательство опирается на набор инструментов, называемых алгебраическими. K-теория, которая была создана в 1950-х годах Александром Гротендиком и быстро развивалась в течение последнего десятилетия. У него есть приложения в математике, в том числе в геометрии, где он способен усиливать инвариант.

Четыре автора используют алгебраические K-теория как гаджет: вводят Мораву E-теория, и их результатом является новый инвариант, который они называют алгебраическим K-теория неподвижных точек Моравы E-теория. Затем они применяют этот новый инвариант к картам от сфер до телескопов и доказывают, что он может видеть карты, которые Морава E- теория не может.

И дело не только в том, что этот новый инвариант видит еще несколько карт. Он видит гораздо больше, даже бесконечно больше. Настолько больше, что будет справедливо сказать Морава E-теория едва коснулась поверхности, когда дело дошло до определения карт от сфер до телескопов.

Бесконечно больше карт от сфер до телескопов означает бесконечно больше карт между самими сферами. Число таких отображений конечно при любой разнице в размерности, но новое доказательство показывает, что их число растёт быстро и неумолимо.

То, что существует так много карт, указывает на тревожную геометрическую реальность: существует так много сфер.

В 1956 году Джон Милнор выявил первые примеры так называемых «экзотических» сфер. Это пространства, которые могут быть деформированы в реальную сферу с точки зрения гомотопии, но отличаются от сферы в определенном точном смысле. Экзотические сферы вообще не существуют в первом, втором или третьем измерениях, и никто не обнаружил их примеров ниже седьмого измерения — измерения, где Милнор впервые нашел их. Но по мере роста измерения количество экзотических сфер резко возрастает. В измерении 16,256 их 15 523,264, а в измерении 19 — XNUMX XNUMX.

И все же, какими бы огромными ни были эти цифры, опровержение гипотезы о телескопе означает, что их гораздо больше. Опровержение означает, что между сферами существует больше карт, чем предполагалось, когда Равенел выдвинул гипотезу, и единственный способ получить больше карт — это иметь большее разнообразие сфер для сопоставления.

Существуют разные типы прогресса в математике и естественных науках. Один вид вносит порядок в хаос. Но другой усиливает хаос, развеивая обнадеживающие предположения, которые не были правдой. Опровержение гипотезы о телескопе выглядит так. Это усложняет геометрию и увеличивает вероятность того, что многие поколения внуков придут и уйдут, прежде чем кто-либо полностью поймет карты между сферами.

«Каждый крупный прогресс в этой области, кажется, говорит нам, что ответ намного сложнее, чем мы думали раньше», — сказал Равенел.