Введение
На протяжении веков математики стремились понять и смоделировать движение жидкостей. Уравнения, описывающие, как рябь образует складки на поверхности пруда, также помогли исследователям предсказать погоду, спроектировать более совершенные самолеты и описать, как кровь течет по системе кровообращения. Эти уравнения обманчиво просты, если они написаны на правильном математическом языке. Однако их решения настолько сложны, что разобраться даже в основных вопросах о них может быть непомерно сложно.
Возможно, самое старое и наиболее известное из этих уравнений, сформулированное Леонардом Эйлером более 250 лет назад, описывает течение идеальной несжимаемой жидкости: жидкости без вязкости или внутреннего трения, объем которой нельзя уменьшить. «Почти все нелинейные уравнения жидкости являются своего рода производными от уравнений Эйлера», — сказал Тарек Эльгинди, математик из Университета Дьюка. — Можно сказать, первые.
Тем не менее, многое остается неизвестным об уравнениях Эйлера, в том числе о том, всегда ли они являются точной моделью течения идеальной жидкости. Одна из центральных проблем гидродинамики состоит в том, чтобы выяснить, не ошибаются ли когда-нибудь уравнения, выдавая бессмысленные значения, которые делают их неспособными предсказать будущие состояния жидкости.
Математики давно подозревали, что существуют начальные условия, из-за которых уравнения не работают. Но доказать это не смогли.
In препринт Опубликовано в Интернете в прошлом месяце, пара математиков показала, что конкретная версия уравнений Эйлера действительно иногда дает сбой. Доказательство знаменует собой крупный прорыв — и хотя оно не решает полностью проблему для более общей версии уравнений, оно дает надежду на то, что такое решение, наконец, будет достижимо. «Это потрясающий результат, — сказал Тристан Бакмастер, математик из Мэрилендского университета, не участвовавший в работе. «В литературе нет результатов подобного рода».
Есть только одна загвоздка.
177-страничное доказательство — результат десятилетней исследовательской программы — в значительной степени использует компьютеры. Это, возможно, затрудняет проверку другими математиками. (На самом деле они все еще в процессе, хотя многие эксперты считают, что новая работа окажется правильной.) Это также заставляет их задуматься над философскими вопросами о том, что такое «доказательство» и что оно даст. означает, что единственным жизнеспособным способом решения таких важных вопросов в будущем является использование компьютеров.
Наблюдение за зверем
В принципе, если вы знаете местоположение и скорость каждой частицы в жидкости, уравнения Эйлера должны быть в состоянии предсказать, как жидкость будет развиваться во все времена. Но математики хотят знать, так ли это на самом деле. Возможно, в некоторых ситуациях уравнения будут работать так, как ожидалось, давая точные значения состояния жидкости в любой момент, только для одного из этих значений, которое внезапно взлетит до бесконечности. Говорят, что в этот момент уравнения Эйлера порождают «сингулярность» или, что более драматично, «взрыв».
Как только они достигнут этой сингулярности, уравнения больше не смогут вычислять поток жидкости. Но «несколько лет назад то, что люди могли сделать, было очень и очень далеко от [доказательства взрыва]», — сказал он. Чарли Фефферман, математик из Принстонского университета.
Все становится еще сложнее, если вы пытаетесь смоделировать жидкость, обладающую вязкостью (как это бывает почти со всеми реальными жидкостями). Премия тысячелетия от Математического института Клэя ожидает каждого, кто сможет доказать, что подобные ошибки происходят в уравнениях Навье-Стокса, обобщении уравнений Эйлера, объясняющих вязкость.
В 2013 Томас Хоу, математик из Калифорнийского технологического института и Го Луо, сейчас работающий в Университете Ханг Сенг в Гонконге, предложил сценарий, в котором уравнения Эйлера приведут к сингулярности. Они разработали компьютерное моделирование жидкости в цилиндре, верхняя половина которого вращается по часовой стрелке, а нижняя половина вращается против часовой стрелки. По мере того, как они запускали симуляцию, более сложные токи начали двигаться вверх и вниз. Что, в свою очередь, приводило к странному поведению на границе цилиндра, где встречались встречные потоки. Завихренность жидкости — мера вращения — росла так быстро, что казалось, она вот-вот взорвется.
Работа Хоу и Луо наводит на размышления, но не является истинным доказательством. Это потому, что компьютер не может вычислить бесконечные значения. Он может быть очень близок к тому, чтобы увидеть сингулярность, но на самом деле не может ее достичь — это означает, что решение может быть очень точным, но все же это приближение. Без поддержки математических доказательств может показаться, что значение завихренности увеличивается до бесконечности только из-за какого-то артефакта симуляции. Вместо этого решения могут вырасти до огромных чисел, прежде чем снова исчезнуть.
Такие инверсии случались и раньше: моделирование указывало бы, что значение в уравнениях резко увеличилось, но более сложные вычислительные методы показывали бы обратное. «Эти проблемы настолько деликатны, что дорога усеяна обломками предыдущих симуляций», — сказал Фефферман. Собственно, именно так Хо и начал свою работу в этой области: некоторые из его более ранних результатов опровергли формирование гипотетических сингулярностей.
Тем не менее, когда он и Луо опубликовали свое решение, большинство математиков сочли, что это, скорее всего, настоящая сингулярность. «Это было очень тщательно, очень точно», — сказал Владимир Сверак, математик из Миннесотского университета. «Они действительно пошли на многое, чтобы установить, что это реальный сценарий». Последующие работы Эльгинди, Сверака и других только укрепил это убеждение.
Но доказательство было неуловимым. — Вы заметили зверя, — сказал Фефферман. — Тогда попробуй поймать. Это означало показать, что приближенное решение, которое так тщательно смоделировали Хоу и Луо, в определенном математическом смысле очень близко к точному решению уравнений.
Теперь, спустя девять лет после того первого наблюдения, Хоу и его бывший аспирант Цзяцзе Чен наконец удалось доказать существование этой близкой сингулярности.
Переезд в самоподобную землю
Хоу, к которому позже присоединился Чен, воспользовался тем фактом, что при более внимательном анализе примерное решение от 2013 года, казалось, имело особую структуру. По мере того, как уравнения менялись во времени, решение отображало то, что называется автомодельным паттерном: позже его форма очень походила на его прежнюю форму, только масштаб был изменен определенным образом.
В результате математикам не нужно было пытаться смотреть на саму сингулярность. Вместо этого они могли изучить его косвенно, сосредоточившись на более раннем моменте времени. Увеличивая масштаб этой части решения с нужной скоростью — определяемой на основе самоподобной структуры решения — они могли смоделировать то, что произойдет позже, в том числе в самой сингулярности.
Им потребовалось несколько лет, чтобы найти автомодельный аналог сценария взрыва 2013 года. (Ранее в этом году другая группа математиков, в которую входил Бакмастер, использовала другие методы для найти аналогичное приближенное решение. В настоящее время они используют это решение для разработки независимого доказательства образования сингулярности.)
Имея в руках приближенное автомодельное решение, Хоу и Чен должны были показать, что поблизости существует точное решение. Математически это эквивалентно доказательству того, что их приближенное автомодельное решение является устойчивым — что даже если вы слегка возмутите его, а затем эволюционируете уравнения, начиная с этих возмущенных значений, не будет никакого способа избежать небольшой окрестности вокруг приближенное решение. «Это похоже на черную дыру, — сказал Хоу. «Если вы начнете с профиля рядом, вас затянет».
Но наличие общей стратегии было лишь одним шагом к решению. «Суетливые детали имеют значение, — сказал Фефферман. Потратив следующие несколько лет на проработку этих деталей, Хоу и Чен обнаружили, что им снова приходится полагаться на компьютеры, но на этот раз совершенно по-новому.
Гибридный подход
Среди их первых задач было выяснить точное утверждение, которое они должны были доказать. Они хотели показать, что если они возьмут любой набор значений, близких к их приблизительному решению, и подставят его в уравнения, результат не сможет далеко отклониться. Но что означает, что входные данные «близки» к приближенному решению? Им пришлось указать это в математическом выражении, но есть много способов определить понятие расстояния в этом контексте. Чтобы их доказательство сработало, им нужно было выбрать правильное.
«Он должен измерять различные физические эффекты», — сказал Рафаэль де ла Лав, математик из Технологического института Джорджии. «Поэтому его нужно выбирать, используя глубокое понимание проблемы».
Как только у них появился правильный способ описать «близость», Хоу и Чен должны были доказать утверждение, которое сводилось к сложному неравенству, включающему члены как из перемасштабированных уравнений, так и из приближенного решения. Математики должны были убедиться, что значения всех этих терминов уравновешиваются чем-то очень маленьким: если одно значение оказывалось большим, другие значения должны были быть отрицательными или держаться под контролем.
«Если вы сделаете что-то слишком большим или слишком маленьким, все это сломается», — сказал он. Хавьер Гомес-Серрано, математик из Университета Брауна. «Так что это очень, очень тщательная, тонкая работа».
«Это действительно ожесточенный бой», — добавил Эльгинди.
Чтобы получить жесткие границы, необходимые для всех этих различных условий, Хоу и Чен разбили неравенство на две основные части. Они могли позаботиться о первой части вручную, используя методы, в том числе те, которые восходят к 18 веку, когда французский математик Гаспар Монж искал оптимальный способ транспортировки грунта для строительства укреплений для армии Наполеона. «Подобные вещи уже делались раньше, но меня поразило, что [Хоу и Чен] использовали их для этого», — сказал Фефферман.
Оставалась вторая часть неравенства. Чтобы справиться с этим, потребуется компьютерная помощь. Во-первых, нужно было сделать так много вычислений и так много точности, что «объем работы, которую вам придется проделать с карандашом и бумагой, будет ошеломляющим», — сказал де ла Льяв. Чтобы сбалансировать различные члены, математикам пришлось решить ряд оптимизационных задач, относительно простых для компьютеров, но чрезвычайно трудоемких для людей. Некоторые значения также зависели от величин из приближенного решения; поскольку это было рассчитано с помощью компьютера, было проще использовать компьютер для выполнения этих дополнительных вычислений.
«Если вы попытаетесь вручную сделать некоторые из этих оценок, вы, вероятно, в какой-то момент переоцените, а затем проиграете», — сказал Гомес-Серрано. «Цифры такие крошечные и плотные… и поля невероятно тонкие».
Но поскольку компьютеры не могут манипулировать бесконечным числом цифр, неизбежно возникают крошечные ошибки. Хоу и Чен должны были тщательно отслеживать эти ошибки, чтобы убедиться, что они не мешают остальной части балансировки.
В конце концов, они смогли найти границы для всех членов, завершив доказательство: уравнения действительно создали сингулярность.
Доказательство с помощью компьютера
Остается открытым вопрос, могут ли более сложные уравнения — уравнения Эйлера без наличия цилиндрической границы и уравнения Навье-Стокса — развить сингулярность. «Но [эта работа] по крайней мере дает мне надежду», — сказал Хоу. «Я вижу путь вперед, способ, возможно, даже в конечном итоге решить проблему тысячелетия».
Тем временем Бакмастер и Гомес-Серрано работают над собственным компьютерным доказательством, которое, как они надеются, будет более общим и, следовательно, способным решить не только проблему, которую решили Хоу и Чен, но и множество других.
Эти усилия отмечают растущую тенденцию в области гидродинамики: использование компьютеров для решения важных задач.
«В ряде различных областей математики это происходит все чаще и чаще, — сказал Сьюзан Фридлендер, математик из Университета Южной Калифорнии.
Но в механике жидкости компьютерные доказательства все еще являются относительно новым методом. На самом деле, когда дело доходит до утверждений о формировании сингулярности, доказательство Хоу и Чена является первым в своем роде: предыдущие компьютерные доказательства позволяли решать только игрушечные задачи в этой области.
Такие доказательства не столько спорны, сколько «дело вкуса», сказал Питер Константин Принстонского университета. Математики обычно согласны с тем, что доказательство должно убедить других математиков в правильности некоторой линии рассуждений. Но многие утверждают, что это также должно улучшить их понимание того, почему конкретное утверждение верно, а не просто обеспечить подтверждение его правильности. «Узнаем ли мы что-то принципиально новое или просто знаем ответ на вопрос?» — сказал Эльгинди. «Если рассматривать математику как искусство, то это не так эстетично».
«Компьютер может помочь. Это замечательно. Это дает мне понимание. Но это не дает мне полного понимания», — добавил Константин. «Понимание исходит от нас».
Со своей стороны, Эльгинди все еще надеется разработать альтернативное доказательство взрыва полностью вручную. «В целом я рад, что это существует», — сказал он о работе Хоу и Чена. «Но я воспринимаю это как дополнительную мотивацию, чтобы попытаться сделать это менее зависимым от компьютера способом».
Другие математики рассматривают компьютеры как жизненно важный новый инструмент, который позволит решать ранее неразрешимые проблемы. «Теперь работа — это не только бумага и карандаш, — сказал Чен. «У вас есть возможность использовать что-то более мощное».
По его мнению и другим (в том числе Эльгинди, несмотря на его личное предпочтение писать доказательства от руки), есть большая вероятность, что единственный способ решить большие проблемы в гидродинамике — то есть проблемы, которые включают все более сложные уравнения — может состоять в том, чтобы полагаться на в значительной степени на компьютерной помощи. «Мне кажется, что пытаться сделать это без интенсивного использования компьютерных доказательств — все равно, что связывать одну или, возможно, две руки за спиной», — сказал Фефферман.
Если это действительно так, и «у вас нет выбора, — сказал Эльгинди, — тогда люди… такие как я, которые сказали бы, что это неоптимально, должны молчать». Это также будет означать, что больше математиков должны будут начать изучать навыки, необходимые для написания компьютерных доказательств — мы надеемся, что работа Хоу и Чена вдохновит на это. «Я думаю, что было много людей, которые просто ждали, пока кто-нибудь решит такую проблему, прежде чем вкладывать свое время в этот подход», — сказал Бакмастер.
Тем не менее, когда дело доходит до дебатов о том, в какой степени математики должны полагаться на компьютеры, «дело не в том, что вам нужно выбирать сторону», — сказал Гомес-Серрано. «Доказательство [Хоу и Чена] не сработало бы без анализа, а доказательство не сработало бы без помощи компьютера. … Я думаю, ценность в том, что люди могут говорить на двух языках».
При этом, по словам де ла Льява, «в городе появилась новая игра».
