Flow Proof помогает математикам обрести устойчивость в хаосе | Журнал Кванта

Как и многое другое в математике, доказательство началось с кофе. В сентябре 2019 г. Кэтрин Манн Корнельского университета посетил Кингстон, Онтарио, чтобы прочитать гостевую лекцию в Королевском университете. После этого она села со своим хозяином, Томас Бартельме, за то, что должно было быть быстрой чашкой кофе. Он хотел узнать ее мнение по проблеме, над которой он работал, связанной с математическими моделями, называемыми динамическими системами, которые описывают, как такие простые явления, как возвратно-поступательное движение маятника, или такие сложные, как погода, развиваются во времени.

Прежде чем они поняли это, прошли часы. «Мы просто сидели в этой кофейне, рисовали картинки, каждый из нас пытался понять, что пытался сказать другой», — сказал Манн. «Вначале я думал, что этот парень не имеет смысла». Но когда они научились говорить на математических языках друг друга, оба стали более оптимистично смотреть на свои шансы найти решение.

Манн не всегда любила математику — в детстве она плохо с ней справлялась, — но именно такие разговоры в конечном итоге привели ее к ее изучению. Хотя изначально она была заинтересована в карьере в области философии, она поняла, что это не подходит. Для философов «продуктивная дискуссия означает сравнение вашей позиции с чьей-то еще», — сказала она. «Математика наоборот. Вы разговариваете с кем-то, и вы оба в одной команде с самого начала. Если кто-то говорит: «Это так не работает», вы говорите: «О, расскажите мне больше». Я нашел этот способ дискурса намного лучше».

Бартельме интересовали определенные динамические системы, называемые потоками Аносова, которые естественным образом возникают во многих областях математики и служат важными игрушечными моделями. Эти системы демонстрируют, казалось бы, парадоксальные свойства в одном месте: хаос и стабильность; жесткость и гибкость; наличие внутренней геометрической структуры среди лежащей в основе топологической глуши.

Каждое из этих свойств возникает в динамических системах, которые математики пытались понять на протяжении веков, от движения планет вокруг Солнца до распространения болезней среди населения. Но в таких системах распутывание этих различных функций становится безнадежно сложным. Потоки Аносова были определены как самостоятельные объекты изучения в 1960-х годах, потому что они проявляют эти важные свойства в чрезвычайной степени, что облегчает их анализ. «Вы надеетесь, что, когда у вас будет идеальная картина этого дела, вы сможете вернуться к грязному реальному миру и посмотреть на него свежим взглядом», — сказал Манн.

«В начале теории динамических систем потоки Аносова были как маяки, указывающие вам направление, куда вам следует идти», — сказал Этьен Гис Высшей нормальной школы в Лионе, Франция.

Тем не менее, их было невероятно трудно понять. Хотя математики добились большого прогресса за последние 60 лет, они все еще далеки от создания идеальной картины, о которой говорил Манн: классификации всех различных видов потоков Аносова.

Теперь в серия последние статьи, Бартельме и Манн вместе с Стивен Франкель Вашингтонского университета в Сент-Луисе сделали поразительный шаг к этой неуловимой цели. Переведя вопросы о движении и форме на язык алгебры, они показали, что для полного и однозначного определения данного потока Аносова требуется сравнительно немного данных. (Их результат справедлив и для родственных, но более общих динамических систем, называемых псевдоаносовскими потоками.) Скрытые во всем этом хаосе, они нашли структуру.

Математики уже применили свой результат для решения ключевых вопросов о потоках Аносова, а именно, как их построить и сколько их может быть. «Иногда результаты важны, потому что они действительно дают новую точку зрения на предмет», — сказал он. Рафаэль Потри, математик из Университета Республики в Уругвае. — Вот что здесь происходит.

Геометрическая перспектива

С конца 19 века, когда работы Анри Пуанкаре по небесной механике положили начало современной теории динамических систем, математики рассматривали динамику через призму геометрии.

Рассмотрим маятник. Оставшись один, он висит вертикально, неподвижно. Но если вы поднимете его и отпустите, он будет качаться вперед и назад. В данный момент состояние маятника может быть зафиксировано двумя элементами информации: его углом от вертикального висящего положения и его скоростью. В результате вы можете представить все возможные состояния маятника в виде точек на плоскости, которая известна как пространство состояний.

Если вы начнете с любой из этих точек, дифференциальное уравнение (основанное на законах движения Ньютона) расскажет вам, как со временем изменятся угол и скорость маятника. Это движение фиксируется кривой или «траекторией», проходящей через пространство состояний. Если вы измените начальный угол и скорость маятника, вы получите другую траекторию в пространстве состояний.

Вы хотите изучить все такие траектории как единый математический объект. Этот геометрический способ кодирования вашей динамической системы называется «потоком». Вместо того, чтобы думать о маятнике, вычерчивающем дуги в воздухе, вы можете изучить его поведение, анализируя поток. В этом случае поток состоит из вложенных эллипсов (каждый эллипс представляет способ, которым маятник может колебаться вперед и назад), а также кривых выше и ниже этих эллипсов (представляющих сценарии, в которых маятник быстро вращается, как вертушка).

Но потоки могут стать намного сложнее, включая запутанные многомерные пространства состояний. Возьмем 100 частиц, движущихся и взаимодействующих в пространстве. Поток, фиксирующий их поведение, представляет собой набор бесконечного множества траекторий в 600-мерном пространстве состояний. (Чтобы описать состояние только одной частицы, вам нужно шесть единиц информации: три числа для ее положения и три для скорости. Таким образом, для описания всех 100 частиц одновременно требуется 600 чисел.)

Чтобы разработать инструменты для изучения этих более сложных систем, математикам требовались подходящие испытательные полигоны — системы, достаточно простые, чтобы в них можно было разобраться, но достаточно сложные, чтобы отражать интересующие их свойства.

Вот где в дело вступили потоки Аносова.

Глобальная стабильность, локальный хаос

Еще до того, как работа Пуанкаре 19-го века изменила способ изучения динамических систем, математиков интересовали системы, в которых частица движется по кратчайшему доступному пути: так называемые геодезические. На плоскости частицы следуют связке прямых линий; на поверхности сферы они движутся по большим кругам. Топология или глобальная форма поверхности влияет на то, как выглядят эти пути.

Геодезический поток описывает все возможные способы движения частицы, когда она не подвергается воздействию каких-либо внешних сил. Пространство состояний, как правило, четырехмерно: два из этих измерений соответствуют физическому положению частицы, а два других соответствуют скорости ее движения. Но если вы хотите отбросить некоторую информацию — если, например, вас не волнует, как быстро движется частица, а только то, в какую сторону она обращена в любой момент времени — вы можете описать ее движение, используя трехмерную модель. государственное пространство. Два измерения описывают его положение, а третье измерение представляет направление, в котором он смотрит. Вот как математики часто думают о геодезических потоках: как о наборе траекторий в трехмерном пространстве состояний.

Эти потоки вызвали интерес математиков по ряду причин. С конца 1800-х годов они позволили геометрам и топологам лучше понять структуру очень сложных поверхностей — поверхностей, которые слишком сложно изучать напрямую, но которые становятся более податливыми, когда вы смотрите на то, как по ним движутся частицы. И они столь же важны для динамиков, потому что многие механические системы в физике могут быть представлены в виде геодезических потоков.

К началу 20-го века французский математик Жак Адамар начал исследовать геодезические потоки на «отрицательно изогнутых» поверхностях, то есть на поверхностях, которые в любой заданной точке выглядят как седло. (Возможно, это невозможно визуализировать, но математически это полезно.) Он обнаружил, что геодезические потоки такого рода всегда хаотичны: если немного изменить начальное положение частицы, она окажется на совершенно другой траектории, а это означает, что вы не может предсказать долгосрочное поведение системы. (Геодезический поток на поверхности сферы, напротив, не обладает этим свойством.)

«В каком-то смысле эти системы… максимально хаотичны», — сказал Энди Хаммерлиндл Университета Монаш в Австралии.

В 1960-х годах, основываясь на работе Адамара, русский математик Дмитрий Аносов заметил, что если немного изменить уравнение, определяющее геодезический поток, все траектории немного сместятся: состав. В типичных условиях такая структурная устойчивость ни в коей мере не гарантируется, но для такого рода геодезических течений она гарантирована. «Девиз — «глобальная стабильность, локальный хаос», — сказал Манн. «В динамике вас действительно интересует это слияние стабильности и хаоса». Они сосуществуют во многих динамических системах, достигая тонкого и важного баланса, который математики пытались распутать со времен работы Пуанкаре над нашей Солнечной системой.

Аносов обнаружил, что и хаос, и устойчивость возникают автоматически в геодезическом потоке, потому что его траектории сходятся и расходятся, как линии, проведенные на кусочке ириски, когда его сжимают и растягивают.

Аносов обобщил понятие геодезического потока на поверхности с отрицательной кривизной, записав конкретные математические условия для такого ирископодобного поведения. Эти обобщенные потоки теперь носят его имя. Любой геодезический поток на поверхности с отрицательной кривизной является одним. Но Аносов считал, что может существовать целый список динамических систем, которые действуют таким образом.

Хотя это определение может показаться странно конкретным, такое растяжение и сжатие можно найти во многих динамических системах. Но это не так очевидно или вездесуще в этих контекстах. В потоке Аносова поведение, похожее на ириску, проявляется повсюду, что делает его крайним случаем и, следовательно, особенно хорошей модельной системой для разработки новых инструментов и идей.

Точно так же, как ученые могли бы попытаться изучить экспрессию генов у плодовой мушки, прежде чем перейти к людям, математики доказали результаты о топологических, статистических и других свойствах потоков Аносова, а затем распространили эту работу на другие динамические системы. Например, в 1970-х годах математики использовали то, что они знали о потоках Аносова (и связанных с ними системах), чтобы сформулировать гипотезу о том, какие типы потоков могут проявлять структурную устойчивость. В 1990-е годы Шухей Хаяши Токийского университета доказал, что это правда.

Ярлык для идентификации

Аносов смог придумать еще только одно семейство систем, соответствующее его критериям. Но с тех пор математики открыли огромный зоопарк примеров. (Большинство из них представляют собой потоки в трехмерном пространстве состояний. Многомерные потоки Аносова остаются малоизученными.)

Математики хотят полностью понять потоки Аносова: найти все их примеры, проанализировать их структуру, оценить, какие пространства могут их поддерживать, а какие нет, и определить, сколько различных потоков может жить в данном пространстве.

Но чтобы сделать что-либо из этого, им сначала нужно разобраться с основами, в том числе найти хороший способ охарактеризовать данный поток Аносова.

Это то, что сейчас сделали Бартельме, Франкель и Манн.

Представьте себе поток Аносова как сложный клубок бесконечного множества траекторий, которые вместе заполняют трехмерное пространство состояний, подобное пряже. Это пространство состояний известно как многообразие. Если увеличить любую его часть, то она будет выглядеть как обычное трехмерное пространство, но в глобальном масштабе она может иметь очень сложную структуру, полную дыр и других странных особенностей.

Некоторые из траекторий в многообразии зацикливаются сами на себе, представляя, как частица может в конечном итоге вернуться в свое исходное состояние (заняв то же положение на поверхности и указав в том же направлении). Однако большинство траекторий никогда не возвращаются в одну и ту же точку: вместо того, чтобы сформировать замкнутую траекторию, они бесконечно извиваются, образуя вечно раскручивающуюся нить.

Трое математиков доказали, что для большинства потоков Аносова (а также псевдоаносовских потоков) знание только замкнутых, или «периодических», траекторий позволяет полностью определить всю систему. «Вы не много потеряете, выбрав этот более простой вариант», — сказал Франкель. «На самом деле он собирает всю информацию». Есть некоторые исключения, но в этих случаях трио показало, что вам нужна только одна дополнительная информация, чтобы охарактеризовать поток.

Работа дает способ определить, эквивалентны ли два разных потока, то есть существует ли определенный математический способ преобразования каждой траектории в одном потоке в траекторию в другом. Вы не можете проверить это вручную, траектория за траекторией; вам нужен ярлык, способ определить поток с меньшим количеством информации.

Чтобы получить этот короткий путь, Бартельме, Франкель и Манн обратились к ключевому инструменту алгебры, которым часто пользуются топологи: фундаментальной группе.

Перевод в алгебру

Фундаментальная группа фактически представляет собой список циклов на многообразии (и всех их комбинаций), которые кодируют информацию о форме многообразия. Рассмотрим поверхность бублика или тора — двумерное многообразие. Вы можете построить одну петлю, начав с точки на торе, пройдя через отверстие и вернувшись к тому месту, где вы начали. Если вместо того, чтобы пройти через отверстие, вы обойдете его, вы сформируете вторую петлю. Фундаментальная группа тора — это совокупность этих двух петель и всех их комбинаций (например, вы можете представить себе, что вы дважды обходите отверстие или проходите через отверстие один раз, а затем делаете его обход и т. д.). Фундаментальная группа трехмерного многообразия усложняется.

Каждой периодической траектории в данном потоке Аносова соответствует класс петель, представленных в фундаментальной группе. Согласно Бартельме, Франкелю и Манну, для большинства аносовских (и псевдоаносовских) потоков знания этого подмножества достаточно, чтобы позволить вам реконструировать весь поток. Вам даже не нужно знать, переплетаются ли определенные траектории или сколько существует копий данной периодической траектории. Только из периодических данных можно построить свой поток — сначала для получения одномерных и двумерных объектов, кодирующих различные аспекты потока, и, наконец, для получения самого трехмерного потока.

«Это было для меня неожиданностью, — сказал Бартельме. «Я думаю, люди догадались бы, что это не должно быть правдой, потому что это довольно слабая информация».

Вот что делает работу такой интригующей. «Если вы выберете траекторию наугад, она плотно заполнит пространство. А периодические траектории этого не делают. Они возвращаются туда, откуда начали, и не видят большей части пространства», — сказал Эми Уилкинсон из Чикагского университета. И все же, если вы возьмете эти периодические траектории вместе, вы сможете понять полную структуру потока. «В этом и прелесть результата».

В потоке Аносова остается бесконечно много периодических траекторий. Но это бесконечное число «исчислимо» — меньшая бесконечность, чем «неисчислимое» общее количество траекторий. Это похоже на бесконечное количество дробей между числами 1 и 2, но в этом интервале гораздо больше иррациональных чисел, таких как $latex sqrt{2}$. В результате сведение потока только к его периодическим траекториям может быть полезно для оценки эквивалентности двух систем.

Бартельме, Франкель и Манн также нашли исключения из своего правила: в некоторых случаях два потока могут быть разными, но иметь одинаковые периодические траектории. Но оказалось, что эти исключения имеют весьма специфическую структуру, и математики смогли определить, что для их характеристики требуется всего лишь еще одна порция информации.

После завершения доказательства в конце прошлого года Бартельме и Манн объединились с Серджио Фенли, математик из Университета штата Флорида, который провел много исследований потоков Аносова, чтобы полностью охарактеризовать эти исключения. В новой статье, которую они еще не разместили в Интернете, они каталогизировали ситуации, порождающие эти более сложные потоки. При этом они не только полагались на предыдущий результат, но и создали новые потоки, обладающие одним интригующим свойством: их нельзя полностью охарактеризовать с помощью их периодических данных. «Это потрясающе, — сказал Потри. «Это как с астрономией: иногда вы изучаете орбиты планет и, лучше понимая их, обнаруживаете, что там должна быть какая-то планета, о которой вы не знали. И это говорит вам направить свой телескоп так, чтобы вы его видели. Я думаю, что это произошло в этой работе».

«На самом деле это очень простой способ закрыть тему», — сказал Фенли. «Может случиться какой-то плохой объект, но плохой объект, оказывается, не так уж и плох».

Подсчеты и классификации

Несколько математиков, в том числе Потри и Фенли, уже использовали результат Бартельме, Франкеля и Манна для завершения других доказательств связанных динамических систем.

Бартельме и Манн также использовали свою работу, чтобы продвинуться вперед в решении одного из самых больших открытых вопросов о потоках Аносова: возможно ли, чтобы данное трехмерное многообразие поддерживало бесконечное число различных потоков Аносова?

Точно так же, как очертания берега реки влияют на возможные пути течения воды в реке, структура коллектора влияет на то, какие виды динамических потоков возможны. (Пороги Уайтуотера не появляются на широких плоских плоскостях.)

Уже было известно, что многие трехмерные многообразия вообще не могут служить пространством состояний для каких-либо потоков Аносова. А несколько лет назад Манн и Джонатан Боуден, математик из Регенсбургского университета в Германии, доказал, что для любого конечного числа по вашему выбору — 15,000 15 различных потоков, или 15 миллионов, или XNUMX миллиардов — вы можно найти 3D коллектор который имеет по крайней мере столько разных потоков. (Другая группа показал это независимо.)

Но до сих пор неизвестно, можно ли найти многообразие с бесконечным числом различных потоков Аносова. Бартельме и Манн доказали особый случай, объединив свою новую работу с другими недавними результатами в области, называемой контактной геометрией. «В этом интерфейсе определенно что-то назревает», — сказал Борис Хассельблатт Университета Тафтса. «Это ново и интересно».

Мы надеемся, что все это поможет в долгосрочной цели классификации потоков Аносова (в том числе многомерных). Но это также открывает новые направления для исследований и дает математикам лучшее понимание взаимосвязи между топологией и динамикой. По словам Потри, будет интересно изучить эти периодические данные с соответствующей групповой структурой как таковые. «Есть много вопросов, которые возникают только потому, что они определили этот объект, это извлечение», — сказал он. — Теперь нам нужно это понять.