В конце блокбастера Marvel Мстители: Эндшпиль, заранее записанная голограмма Тони Старка прощается со своей маленькой дочерью, говоря: «Я люблю тебя 3,000». Трогательный момент перекликается с более ранней сценой, в которой двое участвуют в игривом ритуале перед сном, количественно оценивая свою любовь друг к другу. По словам Роберта Дауни-младшего, актера, играющего Старка, эта фраза была вдохновлена подобными разговорами с его собственными детьми.
Игра может стать интересным способом исследовать большие числа:
«Я люблю тебя 10».
«Но я люблю тебя на 100».
«Ну, я люблю тебя 101!»
Именно так слово «гуголплекс» стало популярным в моем доме. Но мы все знаем, к чему в конечном итоге приводит этот аргумент:
«Я люблю тебя бесконечность!»
"Ах, да? Я люблю тебя бесконечно плюс 1!»
Будь то на игровой площадке или перед сном, дети сталкиваются с понятием бесконечности задолго до урока математики, и по понятным причинам у них развивается увлечение этой загадочной, сложной и важной концепцией. Некоторые из этих детей вырастают математиками, увлеченными бесконечностью, а некоторые из этих математиков открывают новые и удивительные вещи о бесконечности.
Возможно, вы знаете, что некоторые наборы чисел бесконечно велики, но знаете ли вы, что некоторые бесконечности больше других? И что мы не уверены, есть ли другие бесконечности, зажатые между двумя, которые мы знаем лучше всего? Математики размышляют над этим вторым вопросом уже по меньшей мере столетие, и некоторые недавние работы изменили взгляды людей на эту проблему.
Чтобы ответить на вопросы о размере бесконечных множеств, давайте начнем с множеств, которые легче считать. Множество — это совокупность объектов или элементов, а конечное множество — это просто набор, содержащий конечное число объектов.
Определить размер конечного множества легко: просто посчитайте количество содержащихся в нем элементов. Поскольку набор конечен, вы знаете, что в конце концов перестанете считать, и когда закончите, вы узнаете размер своего набора.
Эта стратегия не работает с бесконечными множествами. Вот набор натуральных чисел, который обозначается ℕ. (Кто-то может возразить, что ноль не является натуральным числом, но эти дебаты не влияют на наши исследования бесконечности.)
$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$
Каков размер этого набора? Поскольку наибольшего натурального числа не существует, попытка подсчитать количество элементов не сработает. Одно из решений — просто объявить размер этого бесконечного множества «бесконечностью», что не является ошибкой, но когда вы начинаете исследовать другие бесконечные множества, вы понимаете, что это тоже не совсем правильно.
Рассмотрим набор действительных чисел, то есть все числа, которые можно выразить в десятичном разложении, например 7, 3.2, −8.015, или в бесконечном разложении, например $latexsqrt{2} = 1.414213…$. Поскольку каждое натуральное число также является действительным числом, набор действительных чисел по крайней мере такой же большой, как и набор натуральных чисел, и поэтому также должен быть бесконечным.
Но есть что-то неудовлетворительное в объявлении размера множества действительных чисел той же «бесконечностью», которая используется для описания размера натуральных чисел. Чтобы понять почему, выберите любые два числа, например 3 и 7. Между этими двумя числами всегда будет конечное количество натуральных чисел: здесь это числа 4, 5 и 6. Но между ними всегда будет бесконечно много действительных чисел, чисел. например 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666… и так далее.
Примечательно, что независимо от того, насколько близки друг к другу два различных действительных числа, между ними всегда будет бесконечно много действительных чисел. Само по себе это не означает, что множества действительных и натуральных чисел имеют разные размеры, но это предполагает, что в этих двух бесконечных множествах есть что-то фундаментально отличающееся, что требует дальнейшего исследования.
Математик Георг Кантор исследовал это в конце 19 века. Он показал, что эти два бесконечных множества действительно имеют разные размеры. Чтобы понять и оценить, как он это сделал, сначала нам нужно понять, как сравнивать бесконечные множества. Секрет — главный элемент всех математических занятий: функции.
Есть много разных способов думать о функциях — обозначение функции, например, $latex f(x) = x^2 +1$, графики парабол в декартовой плоскости, такие правила, как «возьми входные данные и прибавь к ним 3» — но здесь мы будем думать о функции как о способе сопоставления элементов одного набора с элементами другого.
Давайте возьмем одно из этих множеств — ℕ, множество натуральных чисел. Для другого набора, который мы назовем S, мы возьмем все четные натуральные числа. Вот наши два набора:
$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $latex S= {0,2,4,6,8,…}$
Есть простая функция, которая превращает элементы ℕ в элементы S: $латекс f(x) = 2x$. Эта функция просто удваивает свои входные данные, поэтому, если мы думаем об элементах ℕ как о входных данных $latex f(x)$ (мы называем набор входных данных функции «доменом»), выходные данные всегда будут элементами S. Например, $latex f(0)=0$, $latex f(1) = 2$, $latex f(2) = 4$, $latex f(3) = 6$ и так далее.
Вы можете визуализировать это, выстроив элементы двух наборов рядом и используя стрелки, указывающие, как функция $latex f$ превращает входные данные из ℕ в выходные данные в S.
Обратите внимание, что $latex f(x)$ присваивает ровно один элемент S каждому элементу ℕ. Это то, что делают функции, но $latex f(x)$ делает это особым образом. Во-первых, $latex f$ назначает все в S к чему-то в ℕ. Используя функциональную терминологию, мы говорим, что каждый элемент S является «образом» элемента ℕ относительно функции $latex f$. Например, четное число 3,472 находится в S, и мы можем найти x в ℕ так, что $latex f(x) = 3,472$ (а именно 1,736). В этой ситуации мы говорим, что функция $latex f(x)$ отображает ℕ на S. Более причудливый способ сказать это: функция $latex f(x)$ «сюръективна». Как бы вы это ни описывали, важно вот что: поскольку функция $latex f(x)$ превращает входные данные из ℕ в выходные в S, ничего в S теряется в процессе.
Вторая особенность того, как $latex f(x)$ назначает выходные данные входным, заключается в том, что никакие два элемента в ℕ не преобразуются в один и тот же элемент в S. Если два числа различны, то их двойники различны; 5 и 11 — разные натуральные числа в ℕ, а их результаты в S тоже разные: 10 и 22. В этом случае мы говорим, что $latex f(x)$ равен «1-к-1» (также пишется «1-1»), и описываем $latex f(x)$ как «инъективный». Ключевым моментом здесь является то, что ничего в S используется дважды: каждый элемент в S соединен только с одним элементом в ℕ.
Эти две особенности $latex f(x)$ прекрасно сочетаются. Функция $latex f(x)$ создает идеальное совпадение между элементами ℕ и элементами S. Тот факт, что $latex f(x)$ находится «на», означает, что все в S имеет партнера в ℕ, и тот факт, что $latex f(x)$ равен 1 к 1, означает, что ничто в S имеет двух партнеров в ℕ. Короче говоря, функция $latex f(x)$ соединяет каждый элемент ℕ ровно с одним элементом S.
Функция, которая является одновременно инъективной и сюръективной, называется биекцией, и биекция создает соответствие 1:1 между двумя множествами. Это означает, что каждый элемент в одном наборе имеет ровно одного партнера в другом наборе, и это один из способов показать, что два бесконечных набора имеют одинаковый размер.
Поскольку наша функция $latex f(x)$ является биекцией, это показывает, что два бесконечных множества ℕ и S имеют одинаковый размер. Это может показаться удивительным: в конце концов, каждое четное натуральное число само по себе является натуральным числом, поэтому ℕ содержит все, что находится в S и более. Разве это не должно сделать ℕ больше, чем S? Если бы мы имели дело с конечными множествами, ответ был бы утвердительным. Но одно бесконечное множество может полностью содержать другое, и они при этом могут быть одинакового размера, вроде того, что «бесконечность плюс 1» на самом деле не является большим количеством любви, чем старая добрая «бесконечность». Это лишь одно из многих удивительных свойств бесконечных множеств.
Еще большим сюрпризом может стать то, что существует бесконечное множество наборов разных размеров. Ранее мы исследовали различную природу бесконечных множеств действительных и натуральных чисел, и Кантор доказал, что эти два бесконечных множества имеют разные размеры. Он сделал это с помощью своего блестящего и знаменитого диагонального аргумента.
Поскольку между любыми двумя различными действительными числами существует бесконечно много действительных чисел, давайте на данный момент сосредоточимся на бесконечном множестве действительных чисел между нулем и 1. Каждое из этих чисел можно рассматривать как (возможно, бесконечное) десятичное разложение, подобное этому.
Здесь $latex a_1, a_2, a_3$ и т. д. — это просто цифры числа, но мы потребуем, чтобы не все цифры были равны нулю, поэтому мы не включаем само число ноль в наш набор.
Диагональный аргумент, по сути, начинается с вопроса: что произошло бы, если бы между натуральными числами и этими действительными числами существовала биекция? Если бы такая функция существовала, два набора имели бы одинаковый размер, и вы могли бы использовать эту функцию для сопоставления каждого действительного числа от нуля до 1 с натуральным числом. Вы можете представить себе упорядоченный список совпадений, подобный этому.
Гениальность диагонального аргумента заключается в том, что вы можете использовать этот список для построения действительного числа, которого не может быть в списке. Начните строить вещественное число по цифрам следующим образом: сделайте первую цифру после запятой чем-то отличным от $latex a_1$, сделайте вторую цифру чем-то отличным от $latex b_2$, сделайте третью цифру чем-то отличным от $latex c_3$ и так далее.
Это действительное число определяется его отношением к диагонали списка. Это в списке? Это не может быть первый номер в списке, так как у него другая первая цифра. Это также не может быть второй номер в списке, поскольку у него другая вторая цифра. На самом деле это не может быть nномер в этом списке, потому что у него другой n-я цифра. И это верно для всех n, поэтому это новое число, находящееся между нулем и 1, не может быть в списке.
Но в списке должны были быть все действительные числа от нуля до 1! Это противоречие возникает из предположения, что существует биекция между натуральными и действительными числами между нулем и 1, и поэтому такая биекция не может существовать. Это означает, что эти бесконечные множества имеют разные размеры. Еще немного поработав с функциями (см. упражнения), можно показать, что набор всех действительных чисел того же размера, что и набор всех действительных чисел от 1 до XNUMX, и поэтому действительные числа, содержащие натуральные числа, должны быть большее бесконечное множество.
Технический термин для обозначения размера бесконечного множества — его «мощность». Диагональный аргумент показывает, что мощность действительных чисел больше мощности натуральных чисел. Мощность натуральных чисел записывается как $latex aleph_0$, что произносится как «алеф ноль». В стандартном понимании математики это наименьший бесконечный кардинал.
Следующий бесконечный кардинал — $latex aleph_1$ («алеф один»), и просто поставленный вопрос сбивает с толку математиков уже более века: является ли $latex aleph_1$ мощностью действительных чисел? Другими словами, существуют ли еще бесконечности между натуральными и действительными числами? Кантор считал, что ответом будет «нет» — утверждение, которое стало известно как гипотеза континуума — но он не смог этого доказать. В начале 1900-х годов этот вопрос считался настолько важным, что, когда Дэвид Гильберт составил свой знаменитый список из 23 важных открытых проблем математики, гипотеза континуума была номером один.
Сто лет спустя был достигнут большой прогресс, но этот прогресс привел к новым загадкам. В 1940 году известный логик Курт Гёдель доказал что согласно общепринятым правилам теории множеств невозможно доказать существование бесконечности между бесконечностью натуральных чисел и бесконечностью действительных чисел. Это может показаться большим шагом к доказательству истинности гипотезы континуума, но два десятилетия спустя математик Пол Коэн доказанный что невозможно доказать, что такой бесконечности не существует! Оказывается, гипотезу континуума невозможно доказать тем или иным способом.
В совокупности эти результаты установили «независимость» гипотезы континуума. Это означает, что общепринятые правила множеств просто не говорят достаточно, чтобы сказать нам, существует ли бесконечность между натуральными и действительными числами. Но вместо того, чтобы обескуражить математиков в их стремлении понять бесконечность, оно повело их в новых направлениях. Математики сейчас ищут новые фундаментальные правила для бесконечных множеств, которые смогут объяснить то, что уже известно о бесконечности, и помочь заполнить пробелы.
Сказать: «Моя любовь к тебе не зависит от аксиом», возможно, не так весело, как сказать: «Я люблю тебя бесконечно плюс 1», но, возможно, это поможет следующему поколению любящих бесконечность математиков хорошо выспаться ночью.
Упражнения
1. Пусть $latex T = {1,3,5,7,…}$ — множество положительных нечетных натуральных чисел. Является T больше, меньше или того же размера, что и ℕ, набора натуральных чисел?
2. Найдите соответствие 1 к 1 между набором натуральных чисел ℕ и набором целых чисел $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}$.
3. Найдите функцию $latex f(x)$, которая является биекцией между множеством действительных чисел от нуля до 1 и множеством действительных чисел, больших нуля.
4. Найдите функцию, которая является взаимно однозначной связью между множеством действительных чисел от нуля до 1 и множеством всех действительных чисел.
Нажмите, чтобы увидеть ответ 1:
Нажмите, чтобы увидеть ответ 2:
Вы также можете попытаться определить функцию, которая сопоставляет элементы. Эта функция,
$latexf(n) =begin{случаи}
frac{n+1}{2} &text{если $n$ нечетное}
-frac{n}{2} &text{если $n$ четное}
конец{кейсы}$
отображает ℕ на $latexmathbb{Z}$ и имеет значение 1-1. Таким образом, целых чисел столько же, сколько натуральных чисел, еще один любопытный подвиг бесконечности.
Нажмите, чтобы увидеть ответ 3:
Есть много возможностей, но самый простой — $latex f(x) = frac{x}{1-x}$. Каждое положительное действительное число — это образ под $latex f(x)$ действительного числа от нуля до 1. Например, чтобы узнать, какое число находится в паре, скажем, с 102, просто установите $latex 102 = frac{x}{ 1-x}$ и найдите x:
$latex 102 = frac{x}{1-x}$
$латекс 102(1-x) = x$
$латекс 102=103x$
$latex x=frac{102}{103}$
Обратите внимание, что найденный нами x находится между нулем и 1, как и требовалось. Таким образом, для любого числа, например 102, мы можем найти входные данные, которые будут отображены на него, что предполагает, что $latex f(x)$ сюръективен. Один из способов убедиться в том, что $latex f(x)$ также инъективен (1-1), — это построить его график и наблюдать, что он проходит тест на горизонтальную линию: каждая горизонтальная линия в декартовой плоскости проходит через график $latex f( x)$ не более одного раза, что означает, что выходные данные не используются дважды.
Нажмите, чтобы увидеть ответ 4:
Как и в упражнении 3, здесь может работать несколько функций, но стандартный подход заключается в использовании преобразования функции тангенса. Для домена $latex -frac{π}{2}
Вы можете изменить область определения этой функции с помощью преобразования. Например, мы можем сжать домен до $latex -frac{π}{2} < x
