В третьем веке до нашей эры Архимед поставленный загадка о пастьбе скота, которую, как он утверждал, мог решить только по-настоящему мудрый человек. Его проблема в конечном итоге сводилась к уравнению, включающему разность между двумя квадратами членов, которое можно записать как x2 – dy2 = 1. Здесь d является целым числом — положительным или отрицательным счетным числом — и Архимед искал решения, в которых оба x и y также являются целыми числами.
Этот класс уравнений, называемый уравнениями Пелла, с тех пор очаровывал математиков на протяжении тысячелетий.
Через несколько столетий после Архимеда индийский математик Брахмагупта, а позже математик Бхаскара II предложили алгоритмы для нахождения целочисленных решений этих уравнений. В середине 1600-х годов французский математик Пьер де Ферма (не знавший об этой работе) заново открыл, что в некоторых случаях, даже когда d было присвоено относительно небольшое значение, наименьшие возможные целочисленные решения для x и y может быть массовым. Когда он разослал ряд сложных задач математикам-соперникам, они включали уравнение x2 -61y2 = 1, наименьшие решения которого имеют девять или 10 цифр. (Что касается Архимеда, то его загадка, по существу, требовала целочисленных решений уравнения x2 -4,729,494y2 = 1. «Чтобы распечатать наименьшее решение, требуется 50 страниц», — сказал Питер Койманс, математик из Мичиганского университета. «В каком-то смысле это гигантский тролль Архимеда».)
Но решения уравнений Пелла могут сделать гораздо больше. Например, вы хотите аппроксимировать $latex sqrt{2}$, иррациональное число, как отношение целых чисел. Оказывается, решая уравнение Пелла x2 -2y2 = 1 может помочь вам в этом: $latex sqrt{2}$ (или, в более общем смысле, $latex sqrt{d}$) можно хорошо аппроксимировать, переписав решение в виде дроби вида x/y.
Возможно, еще более интригующе то, что эти решения также говорят вам кое-что об определенных системах счисления, которые математики называют кольцами. В такой системе счисления математики могли бы присоединить $latex sqrt{2}$ к целым числам. Кольца обладают определенными свойствами, и математики хотят понять эти свойства. Уравнение Пелла, как оказалось, может помочь им в этом.
И поэтому «многие очень известные математики — почти каждый математик в какой-то период времени — на самом деле изучали это уравнение из-за того, насколько оно простое», — сказал Марк Шустерман, математик Гарвардского университета. Среди этих математиков были Ферма, Эйлер, Лагранж и Дирихле. (Джон Пелл, не очень; уравнение было ошибочно названо в его честь.)
Теперь Койманс и Карло Пагано, математик из Университета Конкордия в Монреале. доказал гипотезу десятилетней давности связанный с уравнением Пелла, которое количественно определяет, как часто определенная форма уравнения имеет целочисленные решения. Для этого они импортировали идеи из другой области — теории групп — одновременно лучше понимая ключевой, но загадочный объект изучения в этой области. «Они использовали действительно глубокие и красивые идеи», — сказал Эндрю Грэнвилл, математик из Монреальского университета. «Они действительно справились».
Сломанная арифметика
В ранних 1990, Питер Стивенхаген, математик из Лейденского университета в Нидерландах, был вдохновлен некоторыми связями, которые он увидел между уравнениями Пелла и теорией групп, чтобы сделать предположение о том, как часто эти уравнения имеют целочисленные решения. Но «я не ожидал, что это будет доказано в ближайшее время», — сказал он, — или даже при жизни. Имеющиеся методы не казались достаточно сильными для решения проблемы.
Его предположение зависит от конкретной особенности колец. В кольце чисел, где, например, к целым числам добавлено $latex sqrt{-5}$ (математики часто работают с «воображаемыми» числами, такими как $latex sqrt{-5}$), есть два различных способа разбить число на его простые множители. Число 6, например, можно записать не только как 2 × 3, но и как (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$). В результате в этом кольце нарушается уникальная простая факторизация — центральный принцип арифметики, практически само собой разумеющийся в нормальных целых числах. Степень, в которой это происходит, закодирована в объекте, связанном с этим кольцом, называемом группой классов.
Один из способов, с помощью которого математики пытаются получить более глубокое представление об интересующей их системе счисления — скажем, $latex sqrt{2}$, присоединенной к целым числам, — это вычислить и изучить ее группу классов. Тем не менее почти невозможно установить общие правила поведения групп классов во всех этих различных системах счисления.
В 1980-е годы математики Анри Коэн и Хендрик Ленстра выдвинул широкий набор предположений о том, как должны выглядеть эти правила. Эти «эвристики Коэна-Ленстры» могут многое рассказать вам о группах классов, что, в свою очередь, должно выявить свойства лежащих в их основе систем счисления.
Была только одна проблема. Хотя многие вычисления, кажется, поддерживают эвристику Коэна-Ленстры, они все еще являются предположениями, а не доказательствами. «Что касается теорем, то до недавнего времени мы почти ничего не знали, — сказал Алекс Бартел, математик из Университета Глазго.
Любопытно, что типичное поведение группы классов неразрывно связано с поведением уравнений Пелла. Понимание одной проблемы помогает понять другую — настолько, что гипотеза Стивенхагена «была также тестовой задачей для любого прогресса, достигнутого в эвристике Коэна-Ленстры», — сказал Пагано.
В новой работе используется отрицательное уравнение Пелла, где x2 – dy2 устанавливается равным −1 вместо 1. В отличие от исходного уравнения Пелла, которое всегда имеет бесконечное число целочисленных решений для любого d, не все значения d в отрицательном уравнении Пелла дают уравнение, которое можно решить. Брать x2 -3y2 = −1: Как бы далеко вы ни смотрели по числовой прямой, вы никогда не найдете решения, даже если x2 -3y2 = 1 имеет бесконечно много решений.
На самом деле значений очень много. d для которых отрицательное уравнение Пелла не может быть решено: на основе известных правил о том, как определенные числа соотносятся друг с другом, d не может быть кратным 3, 7, 11, 15 и так далее.
Но даже если вы избегаете этих значений d и рассматривать только оставшиеся отрицательные уравнения Пелла, найти решения все равно не всегда удается. В этом меньшем наборе возможных значений d, какая пропорция действительно работает?
В 1993 году Стивенхаген предложил формулу, которая дала точный ответ на этот вопрос. Из значений для d которые могут сработать (то есть значения, не кратные 3, 7 и т. д.), он предсказал, что примерно 58% дадут отрицательные уравнения Пелла с целочисленными решениями.
Догадка Стивенхагена была мотивирована, в частности, связью между отрицательным уравнением Пелла и эвристикой Коэна-Ленстры для классовых групп — связью, которую Койманс и Пагано использовали, когда 30 лет спустя наконец доказали его правоту.
Лучшая пушка
В 2010 году Койманс и Пагано все еще были студентами бакалавриата, еще не знакомыми с гипотезой Стивенхагена, когда вышла статья, в которой был сделан первый за многие годы прогресс в решении проблемы.
В той работе, которая была опубликовано в Анналы математики, математики Этьен Фуври и Юрген Клюнерс показал, что доля значений d это будет работать для отрицательного уравнения Пелла, попадающего в определенный диапазон. Для этого они получили представление о поведении некоторых элементов соответствующих групп классов. Но им потребуется понимание многих других элементов, чтобы прийти к гораздо более точной оценке Стивенхагена в 58%. К сожалению, эти элементы остались непостижимыми: для понимания их структуры по-прежнему требовались новые методы. Дальнейшее продвижение казалось невозможным.
Затем, в 2017 году, когда Койманс и Пагано вместе учились в аспирантуре Лейденского университета, появилась бумага это все изменило. «Когда я это увидел, я сразу понял, что это очень и очень впечатляющий результат», — сказал Койманс. «Это было похоже на то, хорошо, теперь у меня есть пушка, из которой я могу стрелять по этой проблеме, и надеюсь, что смогу добиться прогресса». (В то время Стивенхаген и Ленстра также были профессорами в Лейдене, что помогло пробудить интерес Койманса и Пагано к этой проблеме.)
Статья была написана аспирантом Гарварда, Александр Смит (который сейчас является сотрудником Клэя в Стэнфорде). Койманс и Пагано были не единственными, кто приветствовал эту работу как прорыв. «Идеи были потрясающими, — сказал Гранвиль. «Революционный».
Смит пытался понять свойства решений уравнений, называемых эллиптическими кривыми. При этом он разработал определенную часть эвристики Коэна-Ленстры. Это был не только первый крупный шаг в закреплении этих более широких гипотез в качестве математического факта, но и участие именно той части группы классов, которую Койманс и Пагано должны были понять в своей работе над гипотезой Стивенхагена. (Эта часть включала в себя элементы, которые Фуври и Клюнерс изучили в своем частичном результате, но она также вышла далеко за их рамки.)
Однако Койманс и Пагано не могли сразу использовать методы Смита. (Если бы это было возможно, сам Смит, вероятно, сделал бы это.) Доказательство Смита касалось групп классов, связанных с правильными числовыми кольцами (теми, в которых $latex sqrt{d}$ присоединяется к целым числам), но он рассмотрел все целые значения d. Койманс и Пагано, с другой стороны, думали только о небольшом подмножестве этих значений d. В результате им нужно было оценить среднее поведение среди гораздо меньшей части групп классов.
Эти группы классов, по сути, составляли 0% групп классов Смита, а это означает, что Смит мог выбросить их, когда писал доказательство. Они вообще не влияли на обычное поведение, которое он изучал.
И когда Койманс и Пагано попытались применить его методы только к интересующим их группам классов, методы сразу же сломались. Пара должна будет внести значительные изменения, чтобы заставить их работать. Более того, они характеризовали не просто одну группу классов, а, скорее, несоответствие, которое могло существовать между двумя разными группами классов (это было бы важной частью их доказательства гипотезы Стивенхагена), что также потребовало бы некоторых других инструментов.
Поэтому Койманс и Пагано начали более тщательно просматривать статью Смита в надежде точно определить, где именно что-то начало сходить с рельсов. Это была трудная, кропотливая работа не только потому, что материал был настолько сложен, но и потому, что Смит в то время еще дорабатывал свой препринт, внося необходимые исправления и уточнения. (Он выложил новая версия его статьи онлайн в прошлом месяце.)
Целый год Койманс и Пагано учили доказательство вместе, строчка за строчкой. Они встречались каждый день, обсуждая определенный раздел за обедом, а затем проводили несколько часов у доски, помогая друг другу прорабатывать соответствующие идеи. Если один из них добивался прогресса самостоятельно, он писал другому, чтобы сообщить ему об этом. Шустерман вспоминает, что иногда видел, как они работали до поздней ночи. Несмотря на (или, возможно, из-за) трудности, которые это повлекло за собой, «это было очень весело делать вместе», — сказал Койманс.
В конечном итоге они определили, где им нужно попробовать новый подход. Поначалу они могли делать лишь скромные улучшения. Вместе с математиками Стефани Чан и Джорджо Милович, они выяснили, как получить доступ к некоторым дополнительным элементам в группе классов, что позволило им получить лучшие оценки, чем у Фуври и Клюнерса. Но важные части структуры классовой группы все еще ускользали от них.
Им предстояло решить одну из основных проблем, для решения которой метод Смита больше не работал в этом новом контексте, заключалась в том, чтобы убедиться, что они действительно анализируют «среднее» поведение для групп классов как значения d становился все больше и больше. Чтобы установить надлежащую степень случайности, Койманс и Пагано доказали сложный набор правил, названных законами взаимности. В конце концов, это позволило им получить необходимый контроль над различиями между двумя классовыми группами.
Это продвижение, в сочетании с другими, позволило им, наконец, завершить доказательство гипотезы Стивенхагена ранее в этом году. «Удивительно, что они смогли решить ее полностью», — сказал Чан. «Раньше у нас были все эти проблемы».
То, что они сделали, «удивило меня», — сказал Смит. «Койманс и Пагано как бы сохранили мой старый язык и просто использовали его, чтобы двигаться дальше и дальше в направлении, которое я уже почти не понимаю».
Самый острый инструмент
С того момента, как он представил его пять лет назад, доказательство Смита одной части эвристики Коэна-Ленстры рассматривалось как способ открыть двери для множества других проблем, включая вопросы об эллиптических кривых и других интересующих структурах. (В своей статье Койманс и Пагано перечисляют около дюжины гипотез, к которым они надеются применить свои методы. Многие из них не имеют ничего общего с отрицательным уравнением Пелла или даже с группами классов.)
«Многие объекты имеют структуру, не отличающуюся от подобных алгебраических групп, — сказал Гранвиль. Но многие из тех же препятствий, с которыми пришлось столкнуться Коймансу и Пагано, присутствуют и в этих других контекстах. Новая работа над отрицательным уравнением Пелла помогла устранить эти препятствия. «Александр Смит рассказал нам, как сделать эти пилы и молотки, но теперь мы должны сделать их как можно более острыми и сильными, а также максимально адаптируемыми к различным ситуациям», — сказал Бартель. «Одна из вещей, которую делает эта статья, — это продвижение в этом направлении».
Тем временем вся эта работа улучшила понимание математиками только одного аспекта групп классов. Остальные гипотезы Коэна-Ленстры остаются вне досягаемости, по крайней мере, на данный момент. Но статья Койманса и Пагано «свидетельствует о том, что методы, которыми мы располагаем для решения проблем в Коэн-Ленстра, как бы взрослеют», — сказал Смит.
Сам Ленстра был так же оптимистичен. Это «абсолютно впечатляюще», — написал он в электронном письме. «Это действительно открывает новую главу в области теории чисел, которая так же стара, как и сама теория чисел».
