Введение
Представьте, что перед вами простирается сетка шестиугольников, напоминающая соты. Некоторые шестиугольники пусты; другие заполнены колонной из твердого бетона высотой 6 футов. В результате получается своего рода лабиринт. Уже более полувека математики задаются вопросами о таких случайно генерируемых лабиринтах. Насколько велика самая большая паутина расчищенных путей? Какова вероятность того, что существует путь от одного края сетки к центру и обратно? Как эти шансы меняются по мере того, как сетка увеличивается в размерах, добавляя к ее краям все больше и больше шестиугольников?
На эти вопросы легко ответить, если есть либо много пустого пространства, либо много бетона. Скажем, каждому шестиугольнику присваивается свое состояние случайным образом, независимо от всех остальных шестиугольников, с вероятностью, постоянной по всей сетке. Скажем, вероятность того, что каждый шестиугольник окажется пустым, составляет 1%. Бетон заполняет сетку, оставляя между собой лишь небольшие воздушные карманы, что фактически сводит к нулю вероятность найти путь к краю. С другой стороны, если существует 99%-ная вероятность того, что каждый шестиугольник пуст, то останется лишь тонкая крошка бетонных стен, разделяющих полоски открытого пространства — не такая уж большая часть лабиринта. Найти путь от центра к краю в этом случае почти наверняка.
Для больших сеток происходит удивительно внезапное изменение, когда вероятность достигает 1/2. Подобно тому, как лед тает в жидкую воду ровно при нуле градусов Цельсия, характер лабиринта радикально меняется в этой переходной точке, называемой критической вероятностью. Ниже критической вероятности большая часть сетки будет лежать под бетоном, а пустые пути неизменно заходят в тупик. При превышении критической вероятности огромные массивы остаются пустыми, и бетонные стены обязательно иссякнут. Если вы остановитесь ровно на критической вероятности, бетон и пустота будут уравновешивать друг друга, и ни один из них не сможет доминировать в лабиринте.
«В критической точке возникает более высокая степень симметрии», — сказал Майкл Айзенман, физик-математик из Принстонского университета. «Это открывает дверь в огромный массив математики». Он также имеет практическое применение во всем: от проектирования противогазов до анализа того, как распространяются инфекционные заболевания или как нефть просачивается через камни.
В документ опубликован прошлой осеньюЧетыре исследователя наконец рассчитали вероятность найти путь через лабиринты с критической вероятностью 1/2.
Гонка вооружений
Будучи докторантом во Франции в середине 2000-х годов, Пьер Нолен очень подробно изучил сценарий критической вероятности. По его мнению, случайный лабиринт — это «действительно красивая модель, возможно, одна из самых простых моделей, которые вы можете изобрести». Ближе к концу учебы в докторантуре, которую он закончил в 2008 году, Нолина увлек особенно сложный вопрос о том, как ведет себя гексагональная сетка при критической вероятности. Допустим, вы строите сетку вокруг центральной точки так, чтобы она приближалась к кругу, и оттуда случайным образом строите лабиринт. Нолин хотел изучить возможность найти открытый путь, ведущий от края к центру и обратно, не возвращаясь назад. Математики называют это монохроматическим двусторонним путем, потому что как внутренние, так и внешние «рукава» находятся на открытых путях. (Иногда такие сетки эквивалентно представляют как состоящие из двух разных цветов, скажем, светло-голубого и темно-синего, а не из открытых и закрытых ячеек.) Если вы увеличите размер лабиринта, длина необходимого пути также увеличится. , и шанс найти такой путь будет становиться все меньше и меньше. Но как быстро уменьшаются шансы, когда лабиринт становится сколь угодно большим?
На более простые вопросы были даны ответы десятилетия назад. Расчеты 1979 г. Марсель ден Нийс оценил вероятность того, что вы сможете найти один путь или рукав от края к центру. (Сравните это с требованием Нолина, чтобы одна рука была внутри, а другая снаружи.) Работа Дена Нейса предсказала, что вероятность найти одну руку в гексагональной сетке пропорциональна $latex 1/n^{5/48}$ , где n — это количество плиток от центра до края или радиус сетки. В 2002, Грегори Лоулер, Одед Шрамм и Венделин Вернер в конце концов доказанный что предсказание одной руки было верным. Чтобы кратко оценить уменьшение вероятности по мере увеличения размера сетки, исследователи используют показатель степени знаменателя 5/48, который известен как показатель одной руки.
Нолин хотел вычислить более неуловимый монохроматический двулучевой показатель. Численное моделирование в 1999 г. показало, что оно очень близко к 0.3568, но математикам не удалось определить его точное значение.
Гораздо проще было вычислить так называемый полихроматический двуплечий показатель, который характеризует вероятность того, что, начиная с центра, можно найти не только «открытый» путь к периметру, но и отдельный «закрытый» путь. (Представьте себе, что замкнутый путь проходит по вершинам бетонных стен лабиринта.) В 2001 году Станислав Смирнов и Вернер доказанный что этот показатель был 1/4. (Поскольку 1/4 существенно больше, чем 5/48, $latex 1/n^{1/4}$ сжимается быстрее, чем $latex 1/n^{5/48}$, поскольку n растет. Таким образом, вероятность полихроматической двухрукавной структуры намного ниже, чем вероятность одной ветви, как и следовало ожидать.)
Эти вычисления в значительной степени опирались на знания о форме кластеров в графе. Представьте себе, что лабиринт с критической вероятностью чрезвычайно велик — он состоит из миллионов и миллионов шестиугольников. Теперь найдите группу пустых шестиугольников и обведите край группы толстым черным маркером. Вероятно, это не приведет к созданию простого круглого пятна. С высоты многих миль вы увидите извивающуюся кривую, которая постоянно разгибается назад, часто кажется, что она вот-вот пересечет сама себя, но никогда не совершает этого.
Это тип кривой, называемый кривой SLE, введенный Шраммом в 2000 бумага это переопределило эту область. Математик, изучающий шансы найти один открытый путь и один закрытый путь, знает, что эти пути должны находиться внутри более крупных кластеров открытых и закрытых участков, которые в конечном итоге встречаются вдоль кривой SLE. Математические свойства кривых СКВ затем преобразуются в бесценную информацию о путях внутри лабиринта. Но если математики ищут несколько путей одного типа, кривые СКВ теряют большую часть своей эффективности.
К 2007 году Нолин и его соавтор Винсент Беффара создали численное моделирование, показавшее, что монохроматический показатель степени с двумя плечами составляет около 0.35. Это было подозрительно близко к 17/48 — сумме одноплечевого показателя, 5/48, и полихроматического двуплечего показателя, 1/4 (или 12/48). «17/48 действительно поразительно», — сказал Нолин. Он начал подозревать, что истинным ответом было 17/48, то есть существовала простая связь между различными типами показателей. Вы можете просто сложить их вместе. «Мы сказали: хорошо, это слишком хорошо, чтобы быть ложью; это должно быть правдой».
Введение
Некоторое время из гипотезы Нолина и Беффары ничего не вышло, хотя Нолин разместил ее на своем веб-сайте, чтобы другие могли над ней поработать. В 2017 году он переехал в Гонконг, чтобы занять должность профессора в Городском университете Гонконга, и продолжил работать над этой проблемой. В 2018 году он затронул эту тему в разговоре с Вэй Цянь, который тогда был постдоком в Кембриджском университете в Англии. Цянь изучал случайную геометрию в непрерывном, а не дискретном контексте, уделяя особое внимание кривым СКВ. Она была в разгаре проекта, в котором использовалась SLE для расчета показателей в случайной модели другого типа, и Нолин начала подозревать, что ее опыт применим и к монохроматическому двуплечему показателю. Вскоре пара нашла простое на первый взгляд уравнение, решение которого давало бы показатель степени, но это уравнение основывалось на промежуточной величине, связанной с пространством, ограниченным кривой SLE на краю сетки. Нолин и Цянь не смогли определить это число.
«Я проделал много вычислений, но так и не смог вычислить это свойство», — сказал Цянь. «У меня ничего не получилось, поэтому я просто остановился на какое-то время».
«Мы никогда никому об этом не рассказывали, потому что не были уверены, будет ли это полезно или нет», — добавил Нолин.
Магистральная экспонента
Монохроматическая двурукая экспонента особенно интересна, поскольку она также описывает «основу» сетки: совокупность шестиугольников, соединенных с двумя отдельными ветвями, продолжающимися до двух непересекающихся ветвей: одного до края лабиринта, а другого до края лабиринта. его центр. Когда эти сайты раскрашиваются, они образуют сеть, охватывающую всю сетку и называемую магистральной сетью. Когда исследователи моделируют распространение болезней или пористые горные породы, позвоночник представляет собой магистраль, по которой могут течь микробы или нефть. Показатель степени, который искали Нолин и Цянь, показывает размер магистрали и называется показателем магистрали.
Нолин и Цянь были не единственными, кто преследовал хребет. Синь Сунь, работавший тогда в Пенсильванском университете, также пытался вычислить показатель магистральной цепи. За предыдущие годы Сан и его коллеги, в том числе Нина Холден из Нью-Йоркского университета, нашли способ изучать кривые СКВ с использованием случайных фрактальных поверхностей. Эти раскидистые изогнутые поверхности имеют зубчатые края, переходящие в длинные завитки. Некоторые точки находятся в нескольких шагах от своих соседей, а другие — в нескольких месяцах пути. В некоторых местах эти эффекты слишком сильны, чтобы их можно было визуализировать. «На самом деле невозможно нарисовать это» абсолютно точно, сказал Холден. «Вам придется как бы сильно растянуть поверхность».
Летом 2022 года Сунь пригласил Цзыцзе Чжуана, аспиранта второго курса, присоединиться к исследованию случайного лабиринта с критической вероятностью. Они рассматривали случайные лабиринты, в которых шестиугольники лежали на случайной фрактальной поверхности, а не на плоской плоскости. Поскольку случайность определяет, где и насколько поверхность растягивается и сжимается, поверхность обладает уникальными свойствами. (Эти свойства также делают такие поверхности полезными для физиков, изучающих модели квантовой гравитации в двумерной вселенной, что дало им название: поверхности квантовой гравитации Лиувилля.) Например, если вы поднесете ножницы к такой поверхности, формы две половины не зависят друг от друга. «Подобная независимость действительно чрезвычайно упрощает ситуацию», — сказал Скотт Шеффилд Массачусетского технологического института. Когда вещи случайны, вы знаете о них меньше, но это может означать меньше информации, которую нужно утомительно учитывать.
Сунь и Чжуан сначала попытались определить вероятность существования открытого пути, соединяющего маленький круг вокруг центра сетки с большим окружающим кругом. После того, как они ответили на этот вопрос, Сан предложил пойти дальше: вычислить вероятность того, что существует два пути, соединяющих вложенные круги, что дало бы им возможность вычислить показатель магистрали. Однако вскоре они столкнулись с трудностями. «Мы пробовали этот подход в течение нескольких месяцев, но расчет кажется не очень понятным», — написал Чжуан в электронном письме.
Введение
Между тем, хотя Нолину и Цяну не удалось найти значение показателя степени, они добились прогресса в других отношениях. Цянь взяла отпуск на своей должности во Французском национальном центре научных исследований и присоединилась к Нолин в качестве профессора в Городском университете Гонконга. (Они также поженились.) Летом 2021 года она наткнулась на несколько статей Сана и его сотрудников, которые ее заинтриговали, поэтому, когда ограничения на поездки из-за пандемии были сняты, она запланировала визит в декабре 2022 года в Институт перспективных исследований в Принстоне. , Нью-Джерси, где Сан проводил год.
Это оказался выгодный визит. Когда Цянь описала уравнение, которое они с Нолином нашли, Сунь начала думать, что оно может быть подходящим для его и Чжуана техники наложения лабиринтов на поверхности квантовой гравитации Лиувилля. «Это своего рода совпадение», — сказал Сан. «У одного парня есть замок, у другого — ключ».
Чжуан был настроен немного скептически. «У нас нет никаких прогнозов, и мы даже не знаем, будет ли эта формула иметь хорошее решение», — сказал он, описывая положение дел на тот момент. Сунь и Чжуан провели следующие несколько месяцев, используя свои методы квантовой гравитации Лиувилля (ключ), чтобы открыть неуловимую величину в уравнении Нолина и Цяня, полученную много лет назад, — замок.
После четырех месяцев работы Сунь и Чжуан открыли метафорический замок. Сунь отправил электронное письмо Чжуану, Цяню и Нолину, в котором говорилось: «Отличные новости: точная формула для показателя магистральной цепи». Ответом, как он обнаружил, было умеренно сложное выражение квадратных корней и тригонометрической функции синуса. Это соответствовало предыдущим оценкам: бесконечный поток цифр, начинающийся с 0.3566668.
Все четверо превратили свою работу в письменную статью, уточняя аргументы до тех пор, пока идеи Нолина и Цяня, с одной стороны, и Суня и Чжуана, с другой, не объединились, чтобы создать доказательство, которое Шеффилд, который был научным руководителем Суня, назвал «прекрасным драгоценный камень». «Стратегия доказательства, безусловно, удивительна и очень оригинальна, но когда вы ее видите, она кажется чем-то естественным», — сказал Холден.
Нолин сожалеет о своих подозрениях 2011 года, что показатель степени был ровно 17/48. «Долгое время мы вводили поле в заблуждение. Я не очень горжусь этим». Показатель основной цепи разительно отличается от своих полихроматических собратьев. Это не только иррационально, но и трансцендентально, то есть подобно $latex pi$ и e, его нельзя записать как решение простого полиномиального уравнения.
«Доказательство на самом деле не объясняет, откуда взялась эта формула», — сказал он. «Мы показали это физикам и очень надеемся на их понимание».
Трансцендентальная природа основного показателя привлекла внимание других специалистов в этой области. Грегори Хубер из Biohub Чана Цукерберга, соавтор последующая статья Что касается показателя базовой степени, он сказал, что, по его мнению, результат — это «первый взгляд на новый континент» в статистической механике. Хотя объединение кривых SLE и квантовой гравитации Лиувилля является чрезвычайно техническим, полученный ясный и простой численный ответ, писал он, «удивительно прост и элегантен».
- SEO-контент и PR-распределение. Получите усиление сегодня.
- PlatoData.Network Вертикальный генеративный ИИ. Расширьте возможности себя. Доступ здесь.
- ПлатонАйСтрим. Интеллект Web3. Расширение знаний. Доступ здесь.
- ПлатонЭСГ. Углерод, чистые технологии, Энергия, Окружающая среда, Солнечная, Управление отходами. Доступ здесь.
- ПлатонЗдоровье. Биотехнологии и клинические исследования. Доступ здесь.
- Источник: https://www.quantamagazine.org/maze-proof-establishes-a-backbone-for-statistical-mechanics-20240207/
- :имеет
- :является
- :нет
- :куда
- ][п
- $UP
- 2001
- 2008
- 2011
- 2017
- 2018
- 2021
- 2022
- 35%
- a
- в состоянии
- О нас
- выше
- AC
- соглашение
- Учетная запись
- точно
- через
- на самом деле
- Добавить
- добавленный
- добавить
- продвинутый
- Дела
- После
- снова
- тому назад
- AIR
- Все
- вдоль
- причислены
- амбиция
- поддающийся
- an
- Анализ
- и
- Другой
- ответ
- кто угодно
- Приложения
- подхода
- аппроксимирует
- МЫ
- аргумент
- ARM
- оружие
- около
- AS
- назначенный
- At
- внимание
- назад
- Позвоночник
- Баланс
- BE
- красивая
- стали
- , так как:
- было
- до
- начал
- начало
- ниже
- между
- большой
- Немного
- Черный
- Синии
- тело
- изоферменты печени
- принес
- строить
- но
- by
- вычислять
- рассчитанный
- расчет
- расчет
- расчеты
- под названием
- Объявления
- Кембридж
- пришел
- CAN
- не могу
- случаев
- пойманный
- Клетки
- Цельсия
- Центр
- центральный
- века
- определенный
- сложные
- канал
- шанс
- шансы
- изменение
- изменения
- персонаж
- характеризоваться
- Circle
- круги
- Город
- Городской университет Гонконга
- Очистить
- Закрыть
- закрыто
- Кластер
- совпадение
- сотрудники
- лыжных шлемов
- Column
- сочетании
- комбинируя
- как
- приход
- совершение
- полностью
- сложный
- вычисление
- расчеты
- Вычисление
- бетон
- догадка
- подключенный
- Соединительный
- считается
- постоянная
- постоянно
- контекст
- (CIJ)
- контраст
- Разговор
- исправить
- может
- Создайте
- создали
- критической
- Пересекать
- кривая
- темно
- мертвый
- десятилетия
- Декабрь
- определенно
- Степень
- зависеть
- описано
- описывает
- описывающих
- Проект
- подробность
- Определять
- определяет
- DID
- различный
- затруднения
- цифры
- уменьшающийся
- Болезнь
- заболеваний
- отчетливый
- do
- не
- Господствовать
- Dont
- Двери
- Парный
- вниз
- кардинально
- рисовать
- каждый
- Ранее
- легче
- легко
- Edge
- фактически
- эффективность
- эффекты
- или
- появившийся
- возникает
- конец
- Бесконечный
- окончания поездки
- Англия
- Весь
- налаживает
- к XNUMX году
- Оценки
- Даже
- со временем
- Каждая
- многое
- точно,
- ожидать
- опыта
- Объяснять
- Больше
- выражение
- продлить
- простирающийся
- экстремальный
- чрезвычайно
- Oшибка
- ложный
- для многих туристов
- несколько
- поле
- фигурный
- заполненный
- в заключение
- Найдите
- обнаружение
- Во-первых,
- плоский
- поток
- Фокус
- Что касается
- форма
- формула
- вперед
- найденный
- 4
- Франция
- Французский
- от
- полный
- функция
- ГАЗ
- Драгоценный камень
- генерируется
- получить
- Дайте
- данный
- Отдаете
- проблеск
- хорошо
- есть
- выпускник
- график
- вес
- большой
- сетка
- Расти
- Растет
- Парень
- было
- Половина
- рука
- Есть
- имеющий
- he
- сильно
- ее
- высший
- Шоссе
- его
- Хиты
- Hong
- Гонконге
- Как
- Однако
- HTML
- HTTP
- HTTPS
- огромный
- i
- ICE
- идеи
- if
- картина
- in
- В других
- В том числе
- Увеличение
- независимость
- независимые
- инфекционный
- Инфекционные заболевания
- информация
- внутри
- понимание
- пример
- вместо
- Институт
- интересный
- в
- выпустили
- неоценимый
- неизменно
- иррациональный
- IT
- ЕГО
- саму трезвость
- Джерси
- присоединиться
- присоединился
- путешествие
- всего
- хранится
- Основные
- Вид
- виды
- Знать
- знания
- известный
- знает
- Kong
- большой
- больше
- крупнейших
- Фамилия
- лежать
- Оставлять
- уход
- оставил
- Длина
- Меньше
- ложь
- Отменено
- легкий
- такое как
- LINK
- жидкость
- Блокировка
- Длинное
- искать
- терять
- серия
- ниже
- сделанный
- журнал
- сделать
- Создание
- Маски
- Массачусетс
- Массачусетский Технологический Институт
- массивный
- математике
- математический
- математика
- может быть
- значить
- смысл
- механика
- Встречайте
- упомянутый
- может быть
- миллионы
- MIT
- модель
- Модели
- умеренно
- месяцев
- БОЛЕЕ
- самых
- переехал
- много
- с разными
- должен
- имя
- национальный
- натуральный
- природа
- Возле
- необходимый
- соседи
- ни
- никогда
- Новые
- Нью-Джерси
- New York
- Новости
- следующий
- хороший
- нет
- ничего
- сейчас
- номер
- шансы
- of
- .
- Масло
- on
- ONE
- те,
- только
- открытый
- открытый
- Откроется
- or
- оригинал
- Другое
- Другое
- внешний
- за
- пара
- пандемия
- бумага & картон
- бумага
- особенно
- путь
- пути
- Пенсильвания
- Питер
- физик
- Мест
- самолет
- запланированный
- Платон
- Платон Интеллектуальные данные
- ПлатонДанные
- карманы
- Точка
- пунктов
- поставленный
- должность
- возможное
- размещены
- практическое
- предшествующий
- предсказанный
- прогноз
- Predictions
- Princeton
- вероятно
- Проблема
- Профессор
- выгодную
- Прогресс
- Проект
- доказательство
- свойства
- собственность
- гордый
- доказанный
- Квантовый журнал
- количество
- Квантовый
- вопрос
- Вопросы
- быстро
- вполне
- случайный
- случайно сгенерированный
- скорее
- доходит до
- на самом деле
- Redefined
- назвало
- рафинирование
- Связанный
- соответствующие
- требование
- исследованиям
- исследователи
- Ограничения
- результат
- Показывает
- Рок
- корнеплоды
- год
- Сказал
- то же
- сообщили
- сценарий
- научный
- поиск
- посмотреть
- кажется
- послать
- отдельный
- несколько
- Форма
- формы
- она
- Короткое
- показал
- сторона
- просто
- упрощает
- моделирование
- сидеть
- Сайтов
- Размер
- скептический
- небольшой
- меньше
- So
- твердый
- Решение
- некоторые
- удалось
- иногда
- скоро
- искать
- Space
- особый
- Расходы
- потраченный
- растянутый
- распространение
- площадь
- Начало
- Область
- статистический
- Шаг
- По-прежнему
- Stop
- остановившийся
- Стратегия
- поток
- Структура
- "Студент"
- учился
- исследования
- Кабинет
- изучение
- по существу
- быть успешными
- такие
- внезапный
- лето
- Вс
- Убедитесь
- Поверхность
- удивительный
- окружающих
- с подозрением
- взять
- Технический
- техника
- снижения вреда
- Технологии
- чем
- который
- Ассоциация
- График
- Государство
- их
- Их
- тогда
- Там.
- Эти
- они
- тонкий
- вещи
- think
- Думает
- этой
- те
- хоть?
- мысль
- Через
- время
- в
- вместе
- слишком
- приняли
- Топы
- Прослеживать
- переход
- переведите
- путешествовать
- чрезвычайно
- пыталась
- правда
- пытается
- Оказалось
- два
- напишите
- под
- созданного
- Вселенная
- Университет
- университет Кембриджа
- отпереть
- до
- использование
- используемый
- полезный
- через
- ценностное
- очень
- Винсент
- Войти
- стремятся
- законопроект
- Вашингтон
- Вода
- Путь..
- способы
- we
- Web
- WebP
- Вебсайт
- ЧТО Ж
- были
- Что
- когда
- будь то
- который
- в то время как
- КТО
- чья
- будете
- в
- без
- Работа
- работает
- бы
- даст
- письменный
- писал
- год
- лет
- йорк
- Ты
- ВАШЕ
- зефирнет
- нуль
- Цукерберг