Через несколько минут после выступления в Мичиганском университете в 2018 г. Ян Тобаско взял большой лист бумаги и скомкал его в, казалось бы, беспорядочный шар хаоса. Он поднял его на всеобщее обозрение, сжал для верности, а затем снова развернул.
«У меня появляется дикая масса складок, и это загадка», — сказал он. «Что отличает этот паттерн от другого, более упорядоченного паттерна?»
Затем он поднял второй большой лист бумаги — на этот раз предварительно сложенный в знаменитый узор оригами из параллелограммов, известный как Миура-ори, — и прижал его к поверхности. По его словам, сила, которую он прикладывал к каждому листу бумаги, была примерно одинаковой, но результаты не могли быть более разными. Миура-ори был аккуратно разделен на геометрические области; смятый мяч представлял собой беспорядок из неровных линий.
«У вас возникает ощущение, что это, — сказал он, указывая на разбросанные складки на смятом листе, — просто случайная беспорядочная версия этого». Он указал на опрятную, аккуратную Миуру-ори. «Но мы не указали, правда это или нет».
Чтобы установить эту связь, потребуется не что иное, как установление универсальных математических правил эластичных паттернов. Тобаско работал над этим в течение многих лет, изучая уравнения, описывающие тонкие эластичные материалы — материалы, которые реагируют на деформацию, пытаясь вернуться к своей первоначальной форме. Ткните воздушный шар достаточно сильно, и сформируется звездообразный узор из радиальных морщин; убери палец и они снова разгладятся. Сожмите смятый шарик бумаги, и он расширится, когда вы его отпустите (хотя и не развернется полностью). Инженеры и физики изучали, как эти паттерны появляются при определенных обстоятельствах, но для математика эти практические результаты задают более фундаментальный вопрос: возможно ли вообще понять, что выбирает тот паттерн, а не другой?
В январе 2021 года Tobasco опубликовал бумага что ответило на этот вопрос утвердительно — по крайней мере, в случае гладкого, изогнутого, эластичного листа, спрессованного в плоскость (ситуация, которая предлагает ясный способ исследовать вопрос). Его уравнения предсказывают, как кажущиеся случайными морщины содержат «упорядоченные» домены, которые имеют повторяющийся идентифицируемый узор. И он стал соавтором статьи, опубликованной в прошлом месяце, в которой показана новая физическая теория, основанная на строгой математике, которая может предсказывать закономерности в реалистичных сценариях.
Примечательно, что работа Тобаско предполагает, что сморщивание во многих его проявлениях можно рассматривать как решение геометрической задачи. «Это прекрасный образец математического анализа, — сказал Стефан Мюллер из Хаусдорфовского математического центра Боннского университета в Германии.
В нем впервые изящно изложены математические правила и новое понимание этого распространенного явления. «Роль математики здесь заключалась не в том, чтобы доказать гипотезу, которую уже сделали физики», — сказал Роберт Кон, математик из Института Куранта Нью-Йоркского университета и советник Тобаско в аспирантуре, «а скорее для того, чтобы предоставить теорию там, где раньше не было систематического понимания».
Протянуть, растянуть, вытянуть
Цель разработки теории морщин и эластичных паттернов — старая. В 1894 году в обзоре в природа, математик Джордж Гринхилл указал на разницу между теоретиками («Что нам думать?») и полезными приложениями, которые они могли бы придумать («Что нам делать?»).
В 19-м и 20-м веках ученые в значительной степени продвинулись по последнему, изучая проблемы, связанные со складками в конкретных объектах, которые деформируются. Ранние примеры включают проблему ковки гладких изогнутых металлических пластин для морских кораблей и попытки связать образование гор с нагревом земной коры.
Совсем недавно математики и физики расширили усилия, чтобы связать теорию и наблюдения с широким спектром сложных ситуаций, геометрий и материалов. «Это происходит примерно последние 10 лет, когда мы сначала проводим эксперименты, а затем пытаемся найти теорию для их понимания», — сказал математик. Доминик Велла из Оксфордского университета. «Только недавно у нас появилось правильное понимание».
Были интересные вехи. В 2015 году Педро Рейс, инженер-механик Массачусетского технологического института, описал физические законы для геометрических узоров, которые образуются на сдутых силиконовых шариках. Его работа связала эти морщины с толщиной внутреннего и внешнего слоев эластичного материала. Рейс также отметил, что морщины вместо того, чтобы считаться дефектами, могут открывать новые возможности для механического поведения. Затем в 2017 году Велла вел анализ нестабильности складок тонкой эластичной пленки под давлением, характеризующих изменение числа морщин в зависимости от глубины первоначального укола и других конкретных деталей.
Но эти разработки по-прежнему решали лишь части проблемы. Для более общего математического понимания того, как образуются морщины, был необходим другой подход. Тобаско будет тем, кто продвинет его вперед.
После любопытства
Когда он был моложе, Тобаско думал, что пойдет в аэрокосмическую технику. Он окончил Мичиганский университет в 2011 году со степенью бакалавра в этой области, но к тому моменту он уже глубоко погрузился в размышления о математических рассуждениях и физических системах. Он получил докторскую степень по математике, но винит Джоуи Полсена, физика, работающего сейчас в Сиракузском университете, в том, что он направил его на специфический путь морщин.
В начале своей карьеры Полсен, изучая свойства необычных материалов, научился изготавливать и анализировать ультратонкие полимерные пленки с помощью метода, называемого центрифугированием. Сначала он создал специальный жидкий материал, содержащий следовые количества растворенного полимера; затем он помещал материал на вращающуюся пластину. Большая часть жидкости испарится, а полимер растечется до равномерной толщины, прежде чем затвердеет. Когда у Полсена появилась собственная лаборатория в Сиракузах, он научился использовать центрифугирование для создания изогнутых пленок, подобных ультратонким черепашьим панцирям.
Однажды он поместил несколько таких изогнутых пленок поверх неподвижной воды и сфотографировал, как они оседают на поверхности. «Это было вызвано исключительно любопытством», — сказал он. Снимки привлекли внимание Тобаско на неформальной встрече с Полсеном в 2017 году.
«Они показали, что вы можете получить эти случайные неупорядоченные узоры морщин — когда вы провели эксперимент дважды, вы получили два разных узора», — сказал Тобаско, который сейчас работает доцентом в Иллинойском университете в Чикаго. «Я хотел посмотреть, смогу ли я придумать какой-нибудь производный способ [предсказывать эти закономерности] на основе эластичности, учитывающей форму раковины. И что модель не будет меняться от оболочки к оболочке».
Паттерны морщин представляют собой конфигурации с наименьшей возможной энергией. То есть, когда тонкая пленка ложится на плоскую поверхность, она трансформируется до тех пор, пока не найдет такое расположение складок, беспорядочных или нет, для поддержания которого требуется наименьшее количество энергии. «Вы можете организовать паттерны по количеству энергии, которая хранится, когда [паттерн] проявляется», — сказал Тобаско.
Руководствуясь этим руководящим принципом, он выделил несколько характеристик пленки, которые оказались теми, которые определяют ее рисунок, в том числе меру ее формы, называемую гауссовой кривизной. Поверхность с положительной гауссовой кривизной отклоняется от самой себя, как внешняя сторона шара. Поверхности с отрицательной кривизной, напротив, имеют седловидную форму, как чипсы Pringles: если вы идете в одном направлении, вы поднимаетесь, а если вы идете в другом направлении, вы идете вниз.
Тобаско обнаружил, что области с положительной гауссовой кривизной образуют один тип расположения упорядоченных и неупорядоченных доменов, а области с отрицательной кривизной — другие. «Детальная геометрия не так важна, — сказал Велла. «На самом деле это зависит только от знака гауссовой кривизны».
Они подозревали, что кривизна Гаусса важна для образования складок, но Велла сказал, что было неожиданностью, что домены так сильно зависят от знака. Более того, теория Тобаско также применима к широкому спектру эластичных материалов, а не только к формам Полсена. «Это красивая геометрическая конструкция, которая показывает, где появятся морщины», — сказал Велла. «Но понимание того, откуда это берется, действительно глубоко и немного удивительно».
Полсен согласился. «Теория Яна очень красиво делает, так это дает вам всю схему сразу».
Реальные морщины
В начале 2018 года Тобаско в основном утвердил свою теорию, но, хотя она работала на бумаге, он не мог быть уверен, что она будет точной в реальном мире. Тобаско связался с Полсеном и спросил, заинтересован ли он в сотрудничестве. «Что-то сразу сработало», — сказал Полсен. «С некоторыми предсказаниями Яна, наложенными поверх экспериментальных изображений, мы сразу увидели, что они совпали».
В том же году на конференции Общества промышленной и прикладной математики по математическим аспектам материаловедения Тобаско был представлен Элени Катифори, физик из Пенсильванского университета, который изучал проблему узоров морщин в закрытых раковинах и создавал базу данных результатов. Это был момент счастливой случайности. «Мы могли видеть домены [в симуляциях], которые объясняла работа Яна», — сказала она. Матч был невероятным. Уже во время их первых обсуждений стало ясно, что теория Тобаско, экспериментальные изображения Полсена и моделирование Катифори описывают одни и те же явления. «Даже на ранних этапах, когда у нас не было ничего конкретного, мы могли видеть связь».
Это раннее воодушевление быстро породило скептицизм. Это казалось слишком хорошим, чтобы быть правдой. «Он математик и делает все эти вещи безразмерными», — сказал Полсен, имея в виду, что идеи Тобаско о кривизне могут быть распространены далеко за пределы двумерных плоских материалов. «Мы действительно смотрим на одну и ту же систему? Согласен, но должен был согласиться?»
В течение следующих двух лет трое исследователей обсуждали детали, показывая, что теория Тобаско действительно предсказала — точно — расположение морщин, которое Полсен видел в своих экспериментах, а Катифори — в своих компьютерных моделях. 25 августа они опубликовали статью в Физика природы показ как все три подхода сходятся в одном и том же прямом геометрическом расположении морщин. Примечательно, что они обнаружили, что узоры попадают в аккуратные семейства равнобедренных треугольников, которые разграничивают области порядка и беспорядка. Кроме того, результаты не ограничиваются математическими абстракциями невероятно тонких материалов, а охватывают несколько порядков толщины.
Их работа также предлагает возможности для расширения теории и ее приложений. Катифори сказала, что как физик она заинтересована в использовании предсказаний для разработки новых материалов. «Я хочу понять, как вы можете проектировать поверхности, чтобы они действительно самоорганизовывали узоры морщин в то, что вы хотите».
Другой открытый вопрос заключается в том, как вообще теория может быть применена к различным видам искривленных поверхностей. «Она очень сосредоточена на ситуациях, когда [кривизна Гаусса] положительная или отрицательная, но есть много ситуаций, в которых некоторые области являются положительными, а некоторые отрицательными», — сказал Велла.
Полсен согласился с тем, что это захватывающая возможность, и Тобаско сказал, что активно работает в этой области и рассматривает другие формы раковин, например, с отверстиями.
Но Полсен сказал, что теория, даже в ее нынешнем виде, прекрасна и удивительна. «Если я дам вам оболочку, граничную форму и этот простой набор правил, предсказанных теорией Яна, тогда вы сможете взять циркуль и линейку и нарисовать морщины», — сказал он. «Это не должно было случиться таким образом. Это могло быть совершенно ужасно».
