Введение
Джина, студентка геометрии, слишком поздно легла вчера вечером, делая уроки, пока смотрела Великий британский Bake Off, поэтому, когда она, наконец, легла спать, ее сонный разум все еще был полон кексов и компасов. Это привело к самому необычному сну.
Джина стала судьей конкурса Great Brownie Bake Off в Imaginary University, школе, где студенты изучают много геометрии, но очень мало арифметики. Команде студентов Imaginary U было поручено приготовить самое большое пирожное, которое они могли, и Джина должна была определить победителя.
Команда «Альфа» финишировала первой и с гордостью представила жюри свой прямоугольный брауни. Джина вытащила линейку и измерила пирожное: оно было 16 дюймов в длину и 9 дюймов в ширину. Команда Beta быстро последовала за ними со своим квадратным пирожным, размер которого составлял 12 дюймов с каждой стороны. Вот тогда и начались проблемы.
— Наш брауни намного длиннее твоего, — сказал капитан команды «Альфа». «Наши явно крупнее, значит, мы победители!»
«Но короткая сторона вашего прямоугольника намного короче, чем сторона нашего квадрата», — сказал представитель Team Beta. «Наша площадь явно больше. Мы победили!»
Джине было странно спорить об этом. «Площадь прямоугольного брауни составляет 9 умножить на 16, что составляет 144 квадратных дюйма», — сказала она. «Площадь квадратного брауни 12 умножить на 12, что также составляет 144 квадратных дюйма. Пирожные одного размера: это галстук».
Обе команды выглядели озадаченными. «Я не понимаю, что вы имеете в виду под словом «раз», — сказал один ученик, которого никогда не учили умножению. — Я тоже, — сказал другой. Третий сказал: «Однажды я слышал о студентах Комплексного колледжа, измеряющих площадь с помощью чисел, но что это вообще значит?» Воображаемый университет действительно был странным местом, даже если сниться.
Что оставалось делать Джине? Как она могла убедить команды в том, что их пирожные одинакового размера, если они не понимали, как измерять площадь и умножать числа? К счастью, у Джины была гениальная идея. — Дай мне нож, — сказала она.
Джина отмерила 12 дюймов по длинной стороне прямоугольного пирожного и сделала надрез параллельно короткой стороне. Это превратило большой прямоугольник в два меньших: один размером 9 на 12 и другой 9 на 4. С помощью трех быстрых разрезов она превратила кусок 9 на 4 в три меньших куска 3 на 4. Небольшая перестановка вызвала слышимые охи и ахи из толпы: Джина превратила прямоугольник в точную копию квадрата.
Теперь обе команды должны были согласиться с тем, что их пирожные были одинакового размера. Расчленив один и переставив его, чтобы сформировать другой, Джина показала, что два пирожных занимают одинаковую общую площадь. Подобные разрезы использовались в геометрии на протяжении тысячелетий, чтобы показать, что фигуры имеют одинаковый размер, и есть много замечательных результатов о разрезах и эквивалентности. Даже сегодня математики все еще используют рассечение и перестановку, чтобы полностью понять, когда определенные формы эквивалентны, что привело к некоторым неожиданным недавним результатам.
Вы, наверное, видели геометрические разрезы на уроках математики при разработке формул площади для основных фигур. Например, вы, возможно, помните, что площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на его высоту: это потому, что параллелограмм можно разрезать и превратить в прямоугольник.
Это рассечение показывает, что площадь параллелограмма равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, что, как известно любому, кто не посещал Воображаемый университет, является произведением этих двух чисел.
Говоря о Imaginary U, Great Brownie Bake Off только что разогрелся. Команда Гамма подошла с большим треугольным пирожным. «Вот и победитель», — смело заявили они. — Обе наши стороны намного длиннее других.
Джина измерила стороны. «У этого тоже такая же площадь!» — воскликнула она. «Это прямоугольный треугольник, а катеты равны 18 и 16, поэтому площадь равна…» Джина на мгновение замолчала, заметив недоумение на лицах всех. — О, неважно. Просто дай мне нож».
Джина ловко разрезала от середины гипотенузы до середины более длинного катета, а затем повернула только что сформированный треугольник так, чтобы он превратился в идеальный прямоугольник, когда он был вставлен в большую часть.
«Это точно наш брауни!» — закричала Команда Альфа. Конечно же, получившийся прямоугольник был 9 на 16: точно такой же размер, как у них.
Команда Бета сомневалась. «Но как этот треугольник соотносится с нашим квадратом?» — спросил руководитель их группы.
Джина была к этому готова. «Мы уже знаем, что прямоугольник и квадрат имеют одинаковый размер, поэтому по транзитивности треугольник и квадрат имеют одинаковый размер». Транзитивность — одно из важнейших свойств равенства: оно говорит, что если a = b и b = c, то a = c. Джина продолжила: «Если площадь первого пирожного равна площади второго, а площадь второго пирожного равна площади третьего, то площадь первого и третьего пирожных тоже должна быть одинаковой».
Но Джина слишком увлекалась вскрытиями, чтобы на этом останавливаться. «Или мы могли бы просто сделать еще несколько сокращений».
Сначала Джина повернула прямоугольник, который раньше был треугольником. Затем она вырезала его, используя точно такой же шаблон, который она использовала для прямоугольника Команды Альфа.
Затем она показала, как это новое сечение треугольника Команды Гамма можно превратить в квадрат Команды Бета, точно так же, как она сделала с прямоугольником Команды Альфа.
В этой ситуации мы говорим, что треугольник и квадрат «конгруэнтны ножницам»: вы можете представить себе использование ножниц, чтобы разрезать одну фигуру на конечное число частей, которые затем можно переставить, чтобы сформировать другую. В случае треугольника и квадрата пирожные показывают, как именно работает эта конгруэнтность ножниц.
Обратите внимание, что шаблон работает в любом направлении: его можно использовать для превращения треугольника в квадрат или квадрата в треугольник. Другими словами, конгруэнтность ножниц симметрична: если фигура А конгруэнтна ножницам фигуре В, то фигура В также конгруэнтна ножницам фигуре А.
На самом деле, приведенный выше аргумент с участием треугольника, прямоугольника и квадрата показывает, что конгруэнтность ножниц также транзитивна. Поскольку треугольник равен ножницам, конгруэнтным прямоугольнику, а прямоугольник ножницам, конгруэнтным квадрату, треугольник ножницам конгруэнтен квадрату. Доказательство в шаблонах: просто наложите их на промежуточную фигуру, как это было сделано с прямоугольником выше.
Если вы разрежете треугольник на части, из которых получится прямоугольник, а затем разрежете прямоугольник на части, из которых получится квадрат, из получившихся частей можно сформировать любую из трех фигур.
Тот факт, что ножничная конгруэнтность является транзитивной, лежит в основе удивительного результата: если два многоугольника имеют одинаковую площадь, то они ножницеобразно конгруэнтны. Это означает, что, имея любые два полигона с одинаковой площадью, вы всегда можете разрезать один на конечное число частей и переставить их, чтобы получить другой.
Доказательство этой замечательной теоремы также удивительно прямолинейно. Сначала разрежьте каждый многоугольник на треугольники.
Во-вторых, превратите каждый треугольник в прямоугольник, подобно тому, как Джина переставила треугольный брауни.
Теперь наступает сложная техническая часть: превратите каждый прямоугольник в новый прямоугольник шириной в одну единицу.
Для этого начните откалывать от прямоугольника кусочки шириной в одну единицу.
Если вы можете разрезать прямоугольник на целое число частей шириной 1, все готово: просто сложите их друг на друга. В противном случае прекратите нарезку, когда последний кусок будет иметь ширину от 1 до 2 единиц, а остальные сложите друг на друга.
Не волнуйтесь, если ширина самого прямоугольника меньше 1 единицы: просто разрежьте его пополам и используйте две части, чтобы сделать новый прямоугольник вдвое длиннее и вдвое толще. Повторяйте по мере необходимости, пока не получите прямоугольник шириной от 1 до 2 единиц.
Теперь представьте, что этот последний прямоугольник имеет высоту h и ширина w, с 1 w < 2. Мы собираемся разрезать этот прямоугольник и преобразовать его в прямоугольник с шириной 1 и высотой h × w. Для этого наложите h × w прямоугольник с желаемым hw × 1 такой прямоугольник.
Затем разрежьте из угла в угол по пунктирной линии и отрежьте маленький треугольник в правом нижнем углу, следуя за правым краем hw × 1 прямоугольник.
Это сокращает h × w прямоугольник на три части, которые можно переставить в hw × 1 прямоугольник. (Обоснование этого окончательного рассечения требует некоторых умных аргументов, связанных с подобными треугольниками. Подробности см. в упражнениях ниже.)
Наконец, поместите этот последний прямоугольник на вершину стека, и вы успешно превратили этот многоугольник — на самом деле, любой многоугольник — в прямоугольник шириной 1.
Теперь, если площадь исходного многоугольника была A, то высота этого прямоугольника должна быть A, поэтому каждый многоугольник с площадью A ножницы конгруэнтны прямоугольнику с шириной 1 и высотой A. Это означает, что если два многоугольника имеют площадь A, то они оба являются ножницами, конгруэнтными одному и тому же прямоугольнику, поэтому по транзитивности они являются ножницами, конгруэнтными друг другу. Это показывает, что каждый многоугольник с площадью A ножницы конгруэнтны любому другому многоугольнику с площадью A.
Но даже этого мощного результата было недостаточно, чтобы успешно завершить судейство конкурса «Выпечка Брауни» от Imaginary University. Оставалась еще одна запись, и никто не удивился тому, с чем появилась Team Pi.
В тот момент, когда Джина увидела приближающийся круг, она очнулась от сна в холодном поту. Она знала, что невозможно разрезать круг на конечное число частей и переставить их так, чтобы получился квадрат, прямоугольник или любой другой многоугольник. В 1964 году математики Лестер Дубинс, Моррис Хирш и Джек Каруш доказали, что окружность не является ножницами, конгруэнтными какому-либо многоугольнику. Сон Джины превратился в геометрический кошмар.
Но, как всегда, математики превратили это препятствие в новую математику. В 1990 году Миклош Лачкович доказал, что можно разрезать круг и превратить его в квадрат, если вы можете использовать бесконечно маленькие, бесконечно несвязанные, бесконечно зазубренные кусочки, которые невозможно создать ножницами.
Каким бы удивительным и захватывающим ни был результат Лачковича, он лишь доказал, что такое разложение теоретически возможно. Он не объяснял, как создавать части, а только то, что они могут существовать. И тут на помощь пришли Андраш Мате, Олег Пихурко и Джонатан Ноэль: в начале 2022 года они опубликовал статью в котором они соответствовали достижению Лачковича, но с частями, которые можно визуализировать.
К сожалению, вы не сможете использовать их результаты, чтобы урегулировать любые вопросы по выпечке пирожных. Одни ножницы не могут произвести 10200 куски, необходимые для их разложения. Но это еще один шаг вперед в ответах на длинный ряд вопросов, которые возникли, когда Архимед впервые изобрел или открыл $латексное пи$. И это заставляет нас двигаться к изобретению или открытию новой математики, о которой предыдущие поколения не могли и мечтать.
Упражнения
1. Объясните, откуда мы знаем, что при выводе формулы площади параллелограмма отсеченный нами треугольник идеально вписывается в пространство по другую сторону параллелограмма.
2. Объясните, почему любой треугольник можно разрезать на прямоугольник.
Для упражнений 3 и 4 рассмотрите диаграмму, на которой показано, что h × w прямоугольник ножницеобразно конгруэнтен hw × 1 прямоугольник с отмеченными точками.
3. Объясните, почему $латексный треугольник$ XYQ похож на $latextriangle$ ABX. Чему равна длина QY?
4. Объясните, почему $латексный треугольник$ PCX конгруэнтно $латексному треугольнику$ АЗК.
Нажмите, чтобы увидеть ответ 1:
Есть много способов показать, что два треугольника конгруэнтны. Один из способов — заметить, что расстояние между параллельными прямыми постоянно, поэтому два прямоугольных треугольника имеют конгруэнтные катеты.
А в параллелограмме противоположные стороны конгруэнтны, что делает два треугольника конгруэнтными по теореме о конгруэнтности треугольника с катетом и гипотенузой. Вы также можете привести аргумент, используя теорему о конгруэнтности треугольника угол-сторона-угол.
Нажмите, чтобы увидеть ответ 2:
Одним из замечательных элементарных результатов в геометрии треугольника является теорема о середине треугольника: если вы соедините середины двух сторон треугольника, результирующий отрезок будет параллелен третьей стороне и будет иметь половину ее длины.
Поскольку отрезок параллелен третьей стороне, углы 1 и 3 равны соответствующим углам. А углы 1 и 2 являются односторонними внутренними углами, поэтому они являются дополнительными, что означает, что их меры в сумме составляют 180 градусов. Поскольку $latexangle$ 1 конгруэнтен $latexangle$ 3, это означает, что углы 3 и 2 также являются дополнительными.
Таким образом, если вы перевернете верхний треугольник вправо и влево, конгруэнтные стороны идеально совпадут, а углы 2 и 3 образуют прямую линию.
Это превращает треугольник в параллелограмм, который, как мы уже знаем, можно превратить в прямоугольник.
Нажмите, чтобы увидеть ответ 3:
С BXYZ представляет собой прямоугольник, оба $latexangle$ ZBC и $латексангл$ ZYX являются прямыми углами. А так как противоположные стороны прямоугольника параллельны, получается $latexangle$ YQX соответствует $latexangle$ АХБ, так как они являются альтернативными внутренними углами. Таким образом $latextriangle$ XYQ похож на $latextriangle$ ABX по подобию угол-угол. В подобных треугольниках стороны пропорциональны, поэтому $latex frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$. Таким образом, $latex frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$, и поэтому QY = 1. Обратите внимание, что поскольку $latexangle$ ADC прямой угол и $латексный угол$ DAP и $латексный уголок$ YQX равны соответствующие углы, это делает $латексный треугольник$ DAP конгруэнтно $latextriangle$ YQX. Это доказывает, что вы можете скользить $latextriangle$ YQX на место, которое сейчас занимает $латексный треугольник$ DAP, что необходимо в аргументе о конгруэнтности ножниц.
Нажмите, чтобы увидеть ответ 4:
Обратите внимание, что $латексный угол$ АЗК и $латексангл$ PCX оба угла прямые, а значит, конгруэнтны. Используя свойства параллельных прямых, как в упражнении 3, мы также можем видеть, что $латексный угол$ АКЗ и $латексный уголок$ PXC равны соответствующие углы. Также в упражнении 3 мы показали, что QY = 1. Это делает QZ = w − 1, что именно CX равно. Таким образом, $латексный треугольник$ PCX конгруэнтно $латексному треугольнику$ АЗК по конгруэнтности треугольника угол-сторона-угол. Это оправдывает другую часть аргумента о том, что h × w прямоугольник ножницеобразно конгруэнтен hw × 1 прямоугольник.
