Isaac Newton ni bil znan po svoji velikodušnosti in njegov prezir do tekmecev je bil legendaren. Toda v enem pismu svojemu tekmecu Gottfriedu Leibnizu, zdaj znanem kot Epistola posterior, Newton deluje kot nostalgičen in skoraj prijazen. V njej pripoveduje zgodbo iz študentskih dni, ko se je šele začel učiti matematiko. Pripoveduje, kako je s postopkom ugibanja in preverjanja prišel do velikega odkritja, ko je površine pod krivuljami enačil z neskončnimi vsotami. Njegovo razmišljanje v pismu je tako očarljivo in dostopno, da me spominja na igre ugibanja vzorcev, ki se jih radi igrajo majhni otroci.
Vse se je začelo, ko je mladi Newton prebral knjigo Johna Wallisa. Arithmetica Infinitorum, temeljno delo matematike 17. stoletja. Wallis je vključil novo in induktivno metodo za določanje vrednosti pi, Newton pa je želel izumiti nekaj podobnega. Začel je s problemom iskanja površine "krožnega segmenta" nastavljive širine $lateks x$. To je območje pod enotskim krogom, definiranim z $latex y=sqrt{1-x^2}$, ki leži nad delom vodoravne osi od 0 do $lateks x$. Tukaj $lateks x$ je lahko poljubno število od 0 do 1, 1 pa je polmer kroga. Ploščina enotskega kroga je pi, kot je dobro vedel Newton, torej kdaj $lateks x=1$, je površina pod krivuljo četrtina enotskega kroga, $latexfrac{π}{4}$. Toda za druge vrednosti $lateks x$, nič se ni vedelo.
Če bi Newton našel način za določitev površine pod krivuljo za vsako možno vrednost $lateks x$, lahko bi mu dal način brez primere za približek pi. To je bil prvotno njegov veliki načrt. Toda na tej poti je našel nekaj še boljšega: metodo za zamenjavo zapletenih krivulj z neskončnimi vsotami enostavnejših gradnikov, sestavljenih iz potenc $lateks x$.
Newtonov prvi korak je bil sklepanje po analogiji. Namesto da bi ciljal neposredno na površino krožnega segmenta, je raziskoval površine analognih segmentov, omejenih z naslednjimi krivuljami:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton je vedel, da bo površine pod krivuljami na seznamu s potencami celih števil (na primer $latex frac{0}{2}=0$ in $latex frac{2}{2} = 1$) enostavno izračunati, ker algebraično poenostavljajo. na primer
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
Podobno
Toda taka poenostavitev ni na voljo za enačbo kroga — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$— ali druge krivulje s polovičnimi potencami. Takrat nihče ni vedel, kako najti območje pod nobenim od njih.
Na srečo so bile površine pod krivuljami s potencami celega števila enostavne. Vzemite krivuljo $latex y_4=1-2x^2+x^4$. Takrat dobro znano pravilo za takšne funkcije je Newtonu (in komur koli drugemu) omogočilo, da je hitro našel ploščino: za vsako potenco celega števila $latex nge 0$ je ploščina pod krivuljo $latex y=x^n$ nad interval od $lateks 0$ do $lateks x$ je podana z $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$. (Wallis je s svojo induktivno metodo uganil to pravilo, Pierre de Fermat pa ga je dokončno dokazal.) Oborožen s tem pravilom je Newton vedel, da je površina pod krivuljo $latex y_4$ $latex x- frac{2x^3}{3 } + frac{x^5}{5}$.
Isto pravilo mu je omogočilo, da je našel površino pod drugimi krivuljami s potencami celega števila na zgornjem seznamu. Zapišimo $latex A_n$ za površino pod krivuljo $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, kjer je $latex n= 0, 1, 2, …$ . Uporaba pravila prinaša
$lateks A_0=x$
$latex A_1 = hspace{.295em}?$
$lateks A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = hspace{.295em}?$
$lateks A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 =hspace{.295em}? $
$lateks A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
in tako naprej. Newtonova pretkana zamisel je bila zapolniti vrzeli v upanju, da bo uganil $latexA_1$ (niz za neznano območje krožnega segmenta) na podlagi tega, kar je lahko videl v drugih nizih. Ena stvar je bila takoj jasna: vsak $latexA_n$ se je začel preprosto z $latex x$. To je predlagalo spremembo formul na naslednji način:
$lateks A_0=x$
$latex A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$lateks A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$lateks A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$.
Nato je Newton, da bi nadomestil naslednjo skupino vprašajev, pogledal izraze $latex x^3$. Z malo licence lahko vidimo, da je celo $latexA_0$ imel enega od teh kubičnih členov, saj ga lahko prepišemo kot $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$. Kot je Newton pojasnil Leibnizu, je opazil, »da so drugi členi $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ itd., je bilo v aritmetičnem napredovanju« (nanašal se je na 0, 1, 2, 3 v števcih). Ob sumu, da bi se ta aritmetična progresija lahko razširila tudi na vrzeli, je Newton uganil, da bi moralo biti celotno zaporedje števcev, znanih in neznanih, števila, ločena z $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ "in torej prva dva člena niza", ki sta ga zanimala - še vedno neznani $latex A_1$ , $latex A_3$ in $latex A_5$ — »naj bi bil $latex x- frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$ itd.«
Tako so na tej stopnji vzorci Newtonu predlagali, da se $latex A_1$ začne kot
$lateks A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$.
To je bil dober začetek, a potreboval je več. Ko je lovil druge vzorce, je Newton opazil, da so imenovalci v enačbah vedno vsebovali liha števila v naraščajočem vrstnem redu. Poglejte na primer $latex A_6$, ki ima v imenovalcih 1, 3, 5 in 7. Isti vzorec je deloval za $latex A_4$ in $latex A_2$. Dovolj preprosto. Ta vzorec je očitno obstajal v vseh imenovalcih vseh enačb.
Preostalo je le najti vzorec v števnikih. Newton je ponovno pregledal $latex A_2$, $latex A_4$ in $latex A_6$ in nekaj opazil. V $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ je videl 1, ki je pomnožil $latex x$, in drugo 1 v izrazu $latexfrac {1}{3}x^3$ (je prezrl negativni predznak zaenkrat). V $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$ je videl števce 1, 2, 1. In v $latexu A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , je videl števce 1, 3, 3, 1. Te številke bi moral biti znan vsem kdo je kdaj študiral Pascalov trikotnik, trikotno razporeditev števil, ki je najenostavneje ustvarjena s seštevanjem števil nad njim, začenši z 1 na vrhu.
Namesto da bi se skliceval na Pascala, je Newton te števce označil za »potence števila 11«. Na primer, 112 = 121, kar je druga vrstica v trikotniku, in 113 = 1331, kar je tretje. Danes se ta števila imenujejo tudi binomski koeficienti. Pojavijo se, ko razširite potence binoma, kot je ($latex a +b$), kot v $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. S tem vzorcem v roki je imel Newton zdaj preprost način izpisa $latex A_2, A_4, A_6$ in vseh drugih sodih številk Aje.
Nato je moral Newton za ekstrapolacijo svojih rezultatov na polovične potence in lihe indekse (in končno priti do niza, ki ga je želel, $latex A_1$), Pascalov trikotnik razširiti na fantastičen nov režim: na sredini med vrsticami. Da bi izvedel ekstrapolacijo, je izpeljal splošno formulo za binomske koeficiente v kateri koli dani vrstici Pascalovega trikotnika – vrstica $latex m$ – in nato drzno vstavil $latex m= frac{1}{2}$. In neverjetno, uspelo je. To mu je dalo števce v seriji, ki jo je iskal za enotski krog, $latexA_1$.
Tukaj je po Newtonovih lastnih besedah njegov povzetek vzorcev, ki jih je Leibnizu dal Leibnizu, induktivno opazil do te stopnje argumenta:
Začel sem razmišljati, da so bili imenovalci 1, 3, 5, 7 itd. v aritmetičnem napredovanju, tako da je bilo še vedno treba raziskati samo numerične koeficiente števcev. Toda v izmenično podanih območjih so bile to številke potenc števila 11 … to je najprej '1'; nato '1, 1'; tretjič, '1, 2, 1'; četrtič '1, 3, 3, 1'; petič '1, 4, 6, 4, 1' itd. in tako sem začel spraševati, kako bi preostale številke v nizu lahko izpeljali iz prvih dveh danih številk, in ugotovil sem, da ko sem dal $latex m$ za drugo številko, ostalo bi ustvarili z nenehnim množenjem členov te serije,
$latex frac{m-0}{1} krat frac{m-1}{2} krat frac {m-2}{3} krat frac{m-3}{4} krat frac {m-4}{5 }$ itd.
… V skladu s tem sem uporabil to pravilo za vstavljanje nizov v nize in ker je bil za krog drugi člen $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$, sem dal $latex m=frac{1}{2}$ in pogoji, ki so nastali, so bili
$latex frac {1}{2} krat frac{frac{1}{2}-1}{2}$ ali $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} krat frac{frac{1}{2}-2}{3}$ ali $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} krat frac{frac{1}{2}-3}{4}$ ali $latex – frac {5}{128}$,tako v neskončnost. Od koder sem ugotovil, da je območje krožnega segmenta, ki sem ga želel
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Nazadnje, z vključitvijo $latex x=1$, bi lahko Newton dobil neskončno vsoto za $latexfrac{π}{4}$. To je bila pomembna ugotovitev, vendar se je izkazalo, da obstajajo boljši načini za približek števila pi s pomočjo neskončne vsote, kot je sam Newton kmalu odkril po tem začetnem pohodu v te vrste neskončnih vsot, ki se zdaj imenujejo potenčne vrste. Sčasoma je izračunal prvih 15 števk pi.
Ko se je vrnil k problemu krožnega odseka, je Newton spoznal, da je mogoče enačbo za sam krog (ne le območje pod njim) predstaviti tudi s potenčnim nizom. Vse, kar je moral narediti, je bilo, da je izpustil imenovalce in zmanjšal potence $latex x$ za 1 v zgoraj prikazanem potenčnem nizu. Tako je bil priveden do uganke, da
Da bi preveril, ali je ta rezultat smiseln, ga je Newton pomnožil sam s seboj: "Postal je $latex 1-x^2$, preostali členi pa so izginili z nadaljevanjem niza v neskončnost."
Če se malo odmaknemo od podrobnosti, vidimo tukaj več lekcij o reševanju problemov. Če je težava pretežka, jo spremenite. Če se vam zdi preveč specifično, ga posplošite. Newton je naredil oboje in dobil pomembnejše in močnejše rezultate od tistih, ki jih je prvotno želel.
Newton se ni trmasto osredotočal na četrtino kroga. Pogledal je veliko bolj splošno obliko, poljuben krožni segment širine $latex x$. Namesto da bi se držal $latex x=1$, je dovolil, da $latex x$ prosto teče od 0 do 1. To je razkrilo binomsko naravo koeficientov v njegovi seriji – nepričakovan pojav števil v Pascalovem trikotniku in njihove posplošitve – ki omogočil Newtonu, da vidi vzorce, ki so jih Wallis in drugi spregledali. Videnje teh vzorcev je nato Newtonu dalo vpogled, ki ga je potreboval za razvoj teorije potenčnih vrst veliko širše in na splošno.
V njegovem poznejšem delu mu je Newtonova potenčna vrsta dala švicarski nož za računanje. Z njimi je lahko delal integrale, našel korene algebrskih enačb in izračunal vrednosti sinusov, kosinusov in logaritmov. Kot je dejal, "z njihovo pomočjo analiza doseže, skoraj bi rekel, vse težave."
Morala: Spreminjanje težave ni goljufanje. Ustvarjalno je. In morda je ključ do nečesa večjega.
