Kako preprosta matematika premakne iglo | Revija Quanta

Predstavljajte si, da se vozite po ulici v avtomobilu brez voznika, ko pred seboj vidite težavo. Voznik Amazonove dostave je s svojim kombijem prišel na pol poti mimo dvojno parkiranega tovornjaka UPS, preden je ugotovil, da se ne morejo prebiti. Zdaj so obtičali. In tudi ti si.

Ulica je preozka, da bi zapeljali z U-ey, zato vaš avtomobil, izboljšan z umetno inteligenco, sproži tritočkovni zavoj. Najprej avto zavije proti enemu robniku. Ko je tam, zapelje v drugo smer in se zapelje nazaj na nasprotni robnik. Nato obrne volan nazaj v smeri prve krivulje, tako da vozi naprej in stran od ovire.

Ta preprost geometrijski algoritem za vmesne zavoje vam lahko pomaga pri premikanju v težkih situacijah. (Če ste kdaj vzporedno parkirali, veste, kaj lahko to miganje naprej in nazaj naredi za vas.)

Tukaj je zabaven matematični problem o tem, koliko prostora potrebujete, da obrnete svoj avto, in matematiki že več kot 100 let delajo na njegovi idealizirani različici. Začelo se je leta 1917, ko je japonski matematik Sōichi Kakeya postavil problem, ki zveni malo kot naš prometni zastoj. Recimo, da imate neskončno tanko iglo dolžine 1. Kakšna je ploščina najmanjšega območja, v katerem lahko iglo obrnete za 180 stopinj in jo vrnete v prvotni položaj? To je znano kot Kakeyin problem igle in matematiki še vedno preučujejo njegove različice. Oglejmo si preprosto geometrijo, zaradi katere je Kakeyin problem z iglo tako zanimiv in presenetljiv.

Tako kot mnoge matematične težave tudi ta vključuje nekaj poenostavljenih predpostavk, zaradi katerih je manj realna, a bolj obvladljiva. Na primer, dolžina in širina avtomobila sta pomembni, ko vozite, vendar bomo predpostavili, da ima naša igla dolžino 1 in širino nič. (To pomeni, da ima igla sama površino nič, kar igra pomembno vlogo pri reševanju težave.) Prav tako bomo predpostavili, da se igla, za razliko od avtomobila, lahko vrti okoli svojega sprednjega in zadnjega konca. , ali katero koli točko vmes.

Cilj je najti najmanjše območje, ki omogoča, da se igla obrne za 180 stopinj. Iskanje najmanjše stvari, ki izpolnjuje določene pogoje, je lahko izziv, a dober način za začetek je, da poiščete vse, kar izpolnjuje te pogoje, in vidite, česa se lahko naučite na tej poti. Enostaven odgovor je na primer, da iglo zavrtite za 180 stopinj okoli njene končne točke in jo nato potisnete nazaj navzgor. To vrne iglo v prvotni položaj, vendar je zdaj obrnjena v nasprotno smer, kot zahteva Kakeyina težava z iglo.

Območje, potrebno za obrat, je polkrog s polmerom 1, katerega površina je $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. Tako smo našli eno regijo, ki deluje.

Lahko naredimo bolje, če izkoristimo sposobnost naše čarobne matematične igle, da se vrti okoli katere koli točke. Namesto da ga vrtimo okoli njegove končne točke, ga zavrtimo okoli njegove sredine.

Temu bi lahko rekli Kakejev kompas: naša igla je na začetku obrnjena proti severu, po vrtenju pa je na istem mestu, vendar kaže proti jugu. To območje je krog s polmerom $latex frac{1}{2}$, zato je njegova površina $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. To je polovica površine naše prve regije, tako da napredujemo.

Kam naprej? Lahko bi se zgledovali po naši dilemi avtomobila brez voznika in razmislili o uporabi nečesa, kot je tritočkovni obrat za iglo. To dejansko deluje precej dobro.

Območje, ki ga je igla izrezala s to tehniko, se imenuje deltoid in prav tako izpolnjuje zahteve Kakeye. Izračunavanje njegove površine zahteva več kot le elementarno geometrijo, o kateri razpravljamo tukaj (pomaga poznavanje parametričnih krivulj), vendar se izkaže, da je površina tega posebnega deltoida – tistega, ki ga prekriva segment črte dolžine 1 – natanko $latex frac{pi}{8}$. Zdaj imamo še manjšo regijo, v kateri lahko obrnemo Kakeyino iglo, in lahko vam bo odpuščeno, če mislite, da je to najboljše, kar lahko naredimo. Kakeya sam je mislil, da bi to lahko bilo.

Toda ta problem z iglo se je močno spremenil, ko je ruski matematik Abram Besicovitch odkril, da lahko delate neskončno bolje. Izvedel je postopek, s katerim je odstranil nepotrebne dele regije, dokler ni bila tako majhna, kot je želel.

Postopek je tehničen in zapleten, vendar ena strategija, ki temelji na Besicovitchevi ideji, temelji na dveh preprostih idejah. Najprej razmislite o spodnjem pravokotnem trikotniku z višino 1 in osnovo 2.

Za trenutek bomo pozabili na popolno obračanje igle in se osredotočili samo na eno preprosto dejstvo: če postavimo iglo dolžine 1 na vrhnjo oglišče, je trikotnik dovolj velik, da omogoča, da se igla zavrti za polnih 90°. stopinj z ene strani na drugo.

Ker je ploščina trikotnika $latex A=frac{1}{2}bh$, ima ta trikotnik ploščino $latex A=frac{1}{2} krat 2 krat 1 = 1$.

Zdaj pa je tu prva pomembna zamisel: lahko zmanjšamo območje regije, hkrati pa ohranimo 90-stopinjsko rotacijo. Strategija je preprosta: trikotnik prerežemo po sredini in nato obe polovici potisnemo skupaj.

Površina te nove figure mora biti manjša od prvotne, ker se deli trikotnika zdaj prekrivajo. Pravzaprav je ploščino figure enostavno izračunati: je le tri četrtine kvadrata stranice 1, torej je ploščina $latex A = frac{3}{4}$, kar je manj kot ploščina figure trikotnik, s katerim smo začeli.

In še vedno lahko usmerimo iglo v vse iste smeri kot prej. Obstaja samo ena težava: prvotni kot je bil razdeljen na dva dela, zato so te smeri zdaj razdeljene na dve ločeni regiji.

Če je igla na levi strani nove regije, jo lahko zavrtimo za 45 stopinj med jugom in jugovzhodom, če pa je na desni, jo lahko zavrtimo za 45 stopinj med jugom in jugozahodom, a ker sta oba dela ločena , se zdi, da ga ne moremo zavrteti za celih 90 stopinj, kot smo lahko prej.

Tu nastopi druga pomembna ideja. Obstaja prikrit način, da iglo spravite z ene strani na drugo, ki ne zahteva veliko površine. V šahu morda veste, da se konj premika v obliki črke L. No, naša igla se bo premikala v obliki črke N.

Evo, kako se to naredi. Najprej igla zdrsne navzgor po eni strani N. Nato se zavrti, da kaže vzdolž diagonale in zdrsne navzdol. Nato se ponovno zavrti in konča svoje potovanje tako, da drsi navzgor po drugi strani N.

Sprva ta poteza v obliki črke N morda ne izgleda veliko, vendar naredi nekaj zelo koristnega. Omogoča, da igla »skoči« iz ene vzporedne črte v drugo, kar nam bo pomagalo, da našo iglo prenesemo iz enega področja v drugo. Še pomembneje je, da to počne, ne da bi zahteval veliko površine. Pravzaprav lahko naredite, da zahteva tako malo površine. Evo zakaj.

Spomnimo se, da ima naša igla ničelno širino. Vsaka črta, po kateri se premika igla, naprej ali nazaj, bo imela površino nič. To pomeni, da bo območje, potrebno za premikanje igle navzgor, navzdol ali diagonalno vzdolž oblike N, sestavljeno iz kosov z ničelno površino.

Ostanejo samo rotacije na vogalih oblike N.

Te poteze zahtevajo območje. Na vsakem vogalu lahko vidite majhen del kroga. Toda tukaj je zahrbten del: te regije lahko zmanjšate tako, da podaljšate N.

Formula za ploščino sektorja kroga je $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$, kjer je $latex theta$ mera kota sektorja v stopinjah. Ne glede na to, kako visok je N, bo polmer sektorja vedno 1: to je dolžina igle. Ko pa N postane višji, se kot skrči, kar bo zmanjšalo površino sektorja. Tako lahko naredite dodatno površino tako majhno, kot želite, tako da raztegnete N, kolikor potrebujete.

Ne pozabite, da smo lahko zmanjšali površino naše trikotne regije tako, da smo jo razdelili na dva dela in poskrbeli, da se deli prekrivajo. Težava je bila v tem, da je to razdelilo kot 90 stopinj na dva ločena dela, kar nam je preprečilo, da bi iglo zavrteli za vseh 90 stopinj. Zdaj lahko to težavo rešimo tako, da zataknemo ustrezno obliko N, da zagotovimo, da ima igla pot od ene strani do druge.

V tem posodobljenem območju se lahko igla še vedno zavrti za polnih 90 stopinj kot prej, zdaj pa se to zgodi v dveh stopnjah. Najprej se igla obrne za 45 stopinj in se poravna z navpičnim robom na levi. Nato se premika vzdolž oblike N, da pride na drugo stran. Ko je tam, lahko prosto obrnete ostalih 45 stopinj.

To premakne iglo za 90 stopinj in da se še naprej obrača, dodate samo zasukane kopije regije.

Z dodatkom ustreznih oblik N lahko igla skače z enega trikotnega polotoka na drugega in se malo za malo obrača, dokler ne pride do konca, tako kot avtomobil, ki zavije za tri točke.

V podrobnostih je več hudičeve matematike, toda ti dve ideji – da lahko nenehno zmanjšujemo površino prvotne regije tako, da jo razrežemo in premikamo naokoli, hkrati pa zagotovimo, da lahko prehajamo od kosa do kosa z uporabo poljubno majhnih N oblik – nam pomagata premaknite iglo v vedno manjšem območju, ki je na koncu lahko tako majhno, kot želite.

Bolj standarden pristop k gradnji tovrstne regije se začne z enakostraničnimi trikotniki in uporablja "Perronova drevesa", ki so pametni načini za rezanje trikotnikov navzgor ter raztegovanje in drsenje kosov nazaj skupaj. Rezultat je osupljiv.

Pred kratkim so matematiki napredoval na nove različice tega starega problema, postavljenega v višje dimenzije in z drugačnimi predstavami o velikosti. Verjetno ne bomo nikoli videli avtomobila, ki ga poganja umetna inteligenca, ki bi sledil zavoju Kakeya z iglo, vendar lahko še vedno cenimo lepoto in preprostost njegovega skoraj niča.

vaje

1. Kolikšna je ploščina najmanjšega enakostraničnega trikotnika, ki deluje kot igla Kakeya?

2. Lahko naredite nekoliko bolje kot enakostranični trikotnik v 1. vaji, če uporabite "trikotnik Reuleaux", območje, ki ga tvorijo trije prekrivajoči se krožni sektorji. Kakšna je ploščina najmanjšega trikotnika Reuleaux, ki deluje?