Predstavitev
V začetku tega leta se je trojica matematikov odločila, da bo iz limon naredila limonado – in na koncu naredila velik napredek o problemu, o katerem matematiki razmišljajo že stoletja.
Trojica je ravno zaključevala projekt in razmišljala o naslednjih korakih, ko sta konec marca dva izmed njih — Levent Alpöge Univerze Harvard in Ari Šnidman s Hebrejske univerze v Jeruzalemu — zbolela za Covid-19, ločeno, a skoraj istočasno. Marsikdo bi si v takih okoliščinah privoščil oddih, a tretji član ekipe, Manjul Bhargava Univerze Princeton je predlagal nasprotno. Predlagal je, da bi povečanje njihovih tedenskih sestankov Zoom na tri ali štirikrat na teden lahko odvrnilo njegove bolne sodelavce od njihovih simptomov. Karantena, je odločila trojica, bi lahko bila priložnost za nemoteno razmišljanje.
Med temi srečanji so razmišljali o enem najstarejših vprašanj v teoriji števil: Koliko celih števil je mogoče zapisati kot vsoto dveh kubičnih ulomkov ali, kot jim pravijo matematiki, racionalnih števil? Število 6 lahko na primer zapišemo kot (17/21)3 + (37/21)3, medtem ko je 13 = (7/3)3+(2/3)3.
Matematiki že desetletja sumijo, da je polovico vseh celih števil mogoče zapisati na ta način. Tako kot pri lihih in sodih številih se zdi, da ta lastnost deli cela števila na dva enaka tabora: tista, ki so vsota dveh kock, in tista, ki to niso.
Toda nihče tega ni mogel dokazati ali celo podati kakršne koli omejitve glede deleža celih števil, ki spadajo v vsak tabor. Kolikor so matematiki vedeli, je tabor, sestavljen iz vsot racionalnih kock, morda izginotno majhen - ali pa bi lahko vseboval skoraj vsa cela števila. Matematiki so izračunali če je nekaj, kar se imenuje domneva Bircha in Swinnerton-Dyerja, res (kot je splošno prepričanje), je približno 59 % števil do 10 milijonov vsota dveh racionalnih kock. Toda takšni podatki lahko v najboljšem primeru ponudijo namige o tem, kako bi se lahko obnašal preostali del številske premice.
Za razliko od lihih in sodih števil sta "ta dva tabora subtilna", je dejal Barry Mazur s Harvarda. Ni testa za določanje, katera števila pripadajo kateremu taboru, za katerega je znano, da deluje za vsa števila. Matematiki so se domislili testov, ki so močni kandidati, vendar ima zaenkrat vsak nekaj pomanjkljivosti — bodisi matematiki ne morejo dokazati, da bo test vedno dosegel zaključek, ali pa ne morejo dokazati, da je sklep pravilen.
Težave pri razumevanju vsot kock in kubičnih enačb na splošno so bile "ponavljajoča se zadrega za teoretike števil", je dejal Bhargava. On osvojil Fieldsovo medaljo v letu 2014 v delu za njegovo delo na racionalnih rešitvah na kubične enačbe, znane kot eliptične krivulje, od katerih so vsote dveh kock poseben primer.
Zdaj, v papir na spletu konec oktobra, so Alpöge, Bhargava in Shnidman pokazali, da je vsaj 2/21 (približno 9.5 %) in največ 5/6 (približno 83 %) celih števil mogoče zapisati kot vsoto dveh kubičnih ulomkov.
Vprašanje vsot kubov ni le zanimivost. Eliptične krivulje imajo bogato zapleteno strukturo, ki jih je pognala v središče številnih področij tako čiste kot uporabne matematike, kar predvsem omogoča kriptografom, da zgradijo zmogljive šifre. Domneva Bircha in Swinnerton-Dyerja, osrednje vprašanje na tem področju, ima nagrado v višini 1 milijona dolarjev kot enega od problemov tisočletne nagrade Inštituta Clay Mathematics.
Novo delo temelji na nizu orodij, ki jih je Bhargava razvil v zadnjih 20 letih skupaj s sodelavci, da raziščite celotno družino eliptičnih krivulj. Razumevanje vsote dveh kock pomeni analizo veliko manjše družine in "manjša ko je družina, težji je problem," je rekel Peter Sarnak z Inštituta za napredne študije v Princetonu.
Ta posebna družina se je zdela "izven dosega", je dodal Sarnak. "Rekel bi: 'To izgleda pretežko, preveč težko.'"
Fazni prehod
V nasprotju z vsotami kubičnih ulomkov, ki jih je videti veliko, je komaj katero koli celo število vsota dveh ulomkov na kvadrat. V zgodnjih 1600. stoletjih sta matematika Albert Girard in Pierre de Fermat iznašla preprost preizkus za določanje, katera cela števila so vsota dveh kvadratov: faktorizirajte svoje število na praštevila, nato preverite eksponent vsakega praštevila, ki ima ostanek 3 ko ga delite s 4. Če so ti eksponenti sodi, je vaše število vsota dveh ulomkov na kvadrat; sicer pa ni. Na primer, 490 faktorjev v 21 × 51 × 72. Edini od teh faktorjev, ki ima ostanek 3, ko delite s 4, je 7 in 7 ima sod eksponent. Torej je 490 vsota dveh kvadratov (za radovedneže je enako 72 + 212).
Velika večina števil ne uspe opraviti preizkusa sodih eksponentov. Če naključno izberete celo število, je verjetnost, da je vsota dveh ulomkov na kvadrat, v bistvu enaka nič. Matematiki verjamejo, da enako velja za vsote dveh ulomkov, dvignjene na četrto ali peto potenco ali katero koli potenco, višjo od tri. Šele pri vsotah kock je nenadoma obilje.
Matematiki so navajeni, da se kubične enačbe obnašajo drugače kot tiste vseh drugih potenc. Med enačbami, sestavljenimi iz dveh spremenljivk (kot so enačbe vsote dveh kock), so enačbe, katerih najvišji eksponent je 1 ali 2, ponavadi dobro razumljive - običajno nimajo nobenih racionalnih rešitev ali pa jih je neskončno veliko in na splošno je preprosto povej kateri. Medtem imajo enačbe, katerih najvišji eksponent je 4 ali več, na splošno le omejeno škropljenje racionalnih rešitev.
Nasprotno pa imajo kubične enačbe lahko končno veliko rešitev, neskončno veliko ali pa sploh nobene. Te enačbe predstavljajo nekakšen fazni prehod med eksponenti pod 3 in tistimi zgoraj, ki prikazujejo pojave, ki jih v teh drugih nastavitvah nikoli ne vidimo. "Kocke so drugačne v vseh pogledih," je dejal Mazur.
Za razliko od enačb z nižjimi eksponenti je kocke presenetljivo težko razumeti. Ni splošne metode za iskanje ali celo štetje racionalnih rešitev za kubike, za katero je bilo dokazano, da vedno deluje.
"Tudi z vso računalniško močjo, ki jo imamo, če mi date eliptično krivuljo z zelo velikimi koeficienti, ne vem nujno, koliko racionalnih rešitev ima," je dejal Wei Ho, nekdanji študent Bhargave, ki je trenutno gostujoči profesor na Inštitutu za napredne študije.
Pri problemu vsote dveh kock so lahko vpleteni ulomki ogromni: število 2,803 je na primer vsota dveh kubnih ulomkov, katerih imenovalca imata po 40 števk. In ko gledamo številke v milijonih, je dejal Bhargava, bi številni ulomki "vključevali več števk, kot bi jih lahko spravili na ves papir tega sveta."
Matrike za preslikavo
Ker so eliptične krivulje tako neobvladljive, teoretiki števil iščejo načine, kako bi jih povezali z bolj sledljivimi predmeti. Aprila letos, ko sta se Alpöge in Shnidman borila proti Covidu, sta z Bhargavo gradila na delu, ki ga je slednji že opravil s Hojem, in ugotovila, da vedno, ko ima enačba vsote kock racionalne rešitve, obstaja način, da zgradimo vsaj eno posebno 2 Matrika × 2 × 2 × 2 — štiridimenzionalni analog bolj znane dvodimenzionalne matrike. "Začeli smo pripravljati načrt za štetje teh matrik 2 × 2 × 2 × 2," so zapisali trije.
Da bi to naredili, je ekipa črpala iz dveh klasičnih predmetov, od katerih se vsak preučuje več kot stoletje. Ena je "geometrija števil", ki vključuje štetje mrežnih točk znotraj različnih geometrijskih oblik. Ta tema je v zadnjih 20 letih doživela preporod na področju eliptičnih krivulj, predvsem zaradi dela Bhargave in sodelavcev.
Druga tehnika, znana kot krožna metoda, izvira iz dela legendarnega indijskega matematika Srinivase Ramanujana in njegovega dolgoletnega sodelavca GH Hardyja v začetku 20. stoletja. "To je prva večja uporaba kombiniranja krožne metode s temi tehnikami geometrije števil," je dejal Ho. "Ta del je zelo kul."
Z uporabo teh metod je trio lahko pokazal, da za vsaj 1/6 vseh celih števil ne obstaja matrika 2 × 2 × 2 × 2. To pomeni, da za te številke enačba vsote kock nima racionalnih rešitev. Torej je največ 5/6 celih števil ali približno 83 % lahko vsota kock dveh ulomkov.
V obratni smeri so ugotovili, da ima vsaj 5/12 vseh celih števil točno eno ujemajočo se matriko. Mamljivo je sklepati, da so te številke vsota dveh kock, vendar to ne sledi samodejno. Vsako število, ki je vsota dveh kock, ima matriko, vendar to ne pomeni nujno, da velja obratno: da je vsako število z matriko vsota dveh kock.
Alpöge, Bhargava in Shnidman so potrebovali tisto, kar raziskovalci eliptičnih krivulj imenujejo obratni izrek - nekaj, kar zajema informacije o kubični enačbi in jih uporablja za konstruiranje racionalnih rešitev. Converse izreki tvorijo cvetoče podpodročje teorije eliptičnih krivulj, zato se je trojica obrnila na dva strokovnjaka s tega podpodročja – Ashay Burungale Univerze v Teksasu, Austin in Princeton. Burungale in Skinner sta lahko pokazala, da mora biti vsaj nekaj časa, če ima celo število eno samo povezano matriko, to število vsota dveh racionalnih kock. Njun izrek, ki v bistvu dokazuje ustrezen del Birchove in Swinnerton-Dyerjeve domneve, je v članku prikazan kot tristranski dodatek, ki ga Sarnak opisuje kot čudovitega samega po sebi.
Burungale in Skinner nista dokazala svojega izreka za vsako celo število s točno eno matriko - uvesti sta morala tehnični pogoj, ki je podmnožico 5/12 zmanjšal na 2/21 ali približno 9.5 % vseh celih števil. Toda Bhargava je optimističen, da bodo Burungale in Skinner ali drugi raziskovalci na njunem območju kmalu dosegli preostali del 5. 12. (skupaj približno 41 %). "Njihove tehnike postajajo vse močnejše," je dejal Bhargava.
Dokaz popolne domneve - da je natanko polovica vseh celih števil vsota dveh kock - bo zahteval sčasoma reševanje niza števil, ki imajo več kot eno povezano matriko. Ta niz, ki ga Bhargava imenuje "zelo meglen", vključuje števila, ki so vsota dveh kock, in tista, ki to niso. Ravnanje s takimi številkami bo zahtevalo povsem nove ideje, je dejal.
Raziskovalci so zaenkrat veseli, da so končno rešili vprašanje za znaten delež celih števil, in si želijo nadalje raziskati tehnike v dokazovanju. "To je ena tistih lepih stvari: rezultat lahko zelo enostavno razložiš, vendar so orodja zelo, zelo na samem vrhu teorije števil," je dejal Sarnak.
