Nov dokaz Vbodi iglo v problem lepljive geometrije | Revija Quanta

Leta 1917 je japonski matematik Sōichi Kakeya postavil nekaj, kar se je sprva zdelo le zabavno vajo iz geometrije. Neskončno tanko, palec dolgo iglo položite na ravno površino, nato pa jo zavrtite tako, da kaže v vse smeri po vrsti. Kakšno je najmanjše območje, ki ga lahko igla pomete?

Če ga preprosto zavrtite okoli središča, boste dobili krog. Vendar pa je mogoče iglo premakniti na inventivne načine, tako da izdolbete veliko manj prostora. Matematiki so od takrat postavili sorodno različico tega vprašanja, imenovano domneva Kakeya. V svojih poskusih, da bi jo rešili, so odkrili presenetljive povezave s harmonično analizo, teorijo števil in celo fiziko.

"Nekako je ta geometrija črt, ki kažejo v veliko različnih smeri, vseprisotna v velikem delu matematike," je dejal jonathan hickman Univerze v Edinburghu.

Je pa tudi nekaj, česar matematiki še vedno ne razumejo povsem. V zadnjih nekaj letih so dokazali različice domneve Kakeya v lažjih nastavitvah, vendar vprašanje ostaja nerešeno v normalnem, tridimenzionalnem prostoru. Nekaj ​​časa se je zdelo, kot da je ves napredek obstal na tej različici domneve, čeprav ima številne matematične posledice.

Zdaj sta dva matematika tako rekoč premaknila iglo. Njihov nov dokaz premaga veliko oviro ki je stal desetletja in znova obudil upanje, da je rešitev morda končno na vidiku.

Kaj je Small Deal?

Kakeya so zanimale množice v ravnini, ki v vsaki smeri vsebujejo odsek dolžine 1. Primerov takšnih množic je veliko, najenostavnejši je disk s premerom 1. Kakeya je želel vedeti, kako bi izgledala najmanjša taka množica.

Predlagal je trikotnik z rahlo vdolbenimi stranicami, imenovan deltoid, ki ima polovico površine diska. Vendar se je izkazalo, da je mogoče narediti veliko, veliko bolje.

Leta 1919, le nekaj let po tem, ko je Kakeya zastavil svoj problem, je ruski matematik Abram Besicovitch pokazal, da lahko, če svoje igle razporedite na zelo poseben način, sestavite niz bodičastega videza, ki ima poljubno majhno površino. (Zaradi prve svetovne vojne in ruske revolucije njegov rezultat še nekaj let ne bi dosegel preostalega matematičnega sveta.)

Če želite videti, kako bi to lahko delovalo, vzemite trikotnik in ga vzdolž vznožja razdelite na tanjše trikotne dele. Nato te dele potisnite naokoli, tako da se čim bolj prekrivajo, vendar štrlijo v nekoliko različnih smereh. S ponavljanjem postopka znova in znova – razdeljevanjem trikotnika na vse tanjše in tanjše fragmente in njihovo skrbno preurejanje v prostoru – lahko svoj komplet naredite tako majhnega, kot želite. V neskončni meji lahko dobite nabor, ki matematično nima površine, vendar še vedno lahko, paradoksalno, sprejme iglo, ki kaže v katero koli smer.

"To je nekako presenetljivo in protislovno," je rekel Ruixiang Zhang Univerze v Kaliforniji, Berkeley. "To je niz, ki je zelo patološki."

Ta rezultat je mogoče posplošiti na višje dimenzije: mogoče je sestaviti množico s poljubno majhnim volumnom, ki vsebuje enotski odsek črte, ki kaže v vse smeri v n-dimenzionalni prostor.

Zdelo se je, da je Besicovitch popolnoma rešil Kakeyino vprašanje. Toda desetletja kasneje so matematiki začeli delati na drugi različici problema, v kateri so površino (ali prostornino, v višjedimenzionalnem primeru) nadomestili z drugačno predstavo o velikosti.

Da bi razumeli to preoblikovanje vprašanja, najprej vzemite vsak segment črte v nizu Kakeya in ga nekoliko zredite - kot da bi uporabljali dejansko iglo in ne idealizirane. V ravnini bo vaš komplet sestavljen iz izjemno tankih pravokotnikov; v tridimenzionalnem prostoru boste imeli zbirko izjemno tankih cevi.

Ti zamaščeni kompleti imajo vedno nekaj površine (oz. volumna, a zaenkrat se bomo držali dvodimenzionalnega primera). Ko spremenite širino igle, se bo to območje spremenilo. V sedemdesetih letih prejšnjega stoletja je matematik Roy Davies (umrl prejšnji mesec) pokazal, da se mora širina vsake igle drastično spremeniti, če se skupna površina spremeni za majhno količino. Na primer, če želite, da ima pitana različica Besicovitcheve garniture površino 1970/1 kvadratnega palca, mora imeti vsaka igla debelino približno 10 palca: e^-10 palca, če smo natančni. Toda če bi želeli narediti skupno površino 1/100 kvadratnega palca – 10-krat manjšo – bi morala biti igla e^-100 debeline enega palca. (Triinštirideset ničel sledi decimalni vejici, preden pridete do drugih števk.)

"Če mi poveste, kako majhno želite, da je območje, potem moram zahtevati iglo, ki je neverjetno tanka," je rekel Charles Fefferman univerze Princeton.

Matematiki merijo "velikost" množice Kakeya z uporabo količine, imenovane dimenzija Minkowskega, ki je povezana z običajno dimenzijo, vendar ni povsem enaka (definirana kot število neodvisnih smeri, ki jih potrebujete za opis prostora).

Tukaj je en način razmišljanja o dimenziji Minkowskega: vzemite svoj komplet in ga pokrijte z drobnimi kroglicami, od katerih ima vsaka premer eno milijoninko vaše želene enote. Če je vaš niz odsek črte dolžine 1, boste potrebovali vsaj 1 milijon kroglic, da ga pokrijete. Če je vaš niz kvadrat s površino 1, boste potrebovali veliko, veliko več: milijon na kvadrat ali bilijon. Za kroglo prostornine 1 je približno 1 milijon kubikov (kvintilijon) in tako naprej. Razsežnost Minkowskega je vrednost tega eksponenta. Meri hitrost, s katero raste število žog, ki jih potrebujete za pokritje kompleta, ko se premer vsake žoge manjša. Odsek ima dimenzijo 1, kvadrat ima dimenzijo 2 in kocka ima dimenzijo 3.

Te dimenzije so znane. Toda z uporabo definicije Minkowskega postane mogoče konstruirati množico, ki ima dimenzijo, recimo, 2.7. Čeprav tak niz ne zapolni tridimenzionalnega prostora, je v nekem smislu »večji« od dvodimenzionalne površine.

Ko pokrijete komplet s kroglami določenega premera, se približate prostornini zmaščene različice kompleta. Počasneje kot se prostornina kompleta zmanjšuje z velikostjo vaše igle, več kroglic potrebujete, da ga pokrijete. Zato lahko prepišete Daviesov rezultat - ki navaja, da se površina Kakeyine množice v ravnini počasi zmanjšuje - da pokažete, da mora imeti množica dimenzijo Minkowskega 2. Kakeyina domneva posplošuje to trditev na višje dimenzije: Kakeyina množica mora ima vedno enako dimenzijo kot prostor, ki ga naseljuje.

To preprosto izjavo je bilo presenetljivo težko dokazati.

Stolp domnev

Dokler Fefferman ni naredil osupljivo odkritje leta 1971 je bila domneva obravnavana kot radovednost.

Takrat je delal na povsem drugem problemu. Želel je razumeti Fourierjevo transformacijo, močno orodje, ki matematikom omogoča preučevanje funkcij tako, da jih zapišejo kot vsoto sinusov. Pomislite na glasbeno noto, ki je sestavljena iz številnih prekrivajočih se frekvenc. (Zato srednji C na klavirju zveni drugače kot srednji C na violini.) Fourierjeva transformacija omogoča matematikom, da izračunajo sestavne frekvence določene note. Enako načelo deluje pri tako zapletenih zvokih, kot je človeški govor.

Matematiki prav tako želijo vedeti, ali lahko obnovijo prvotno funkcijo, če dobijo samo nekatere od njenih neskončno številnih sestavnih frekvenc. Dobro razumejo, kako to narediti v eni dimenziji. Toda v višjih dimenzijah lahko sprejemajo različne odločitve o tem, katere frekvence uporabiti in katere prezreti. Fefferman je na presenečenje svojih kolegov dokazal, da morda ne boste uspeli obnoviti svoje funkcije, če se zanašate na posebej dobro znan način izbire frekvenc.

Njegov dokaz je bil odvisen od konstruiranja funkcije s spreminjanjem Besicovitcheve množice Kakeya. To je kasneje navdihnilo matematike, da so razvili hierarhijo domnev o visokodimenzionalnem obnašanju Fourierjeve transformacije. Danes hierarhija vključuje celo domneve o obnašanju pomembnih parcialnih diferencialnih enačb v fiziki, kot je Schrödingerjeva enačba. Vsaka domneva v hierarhiji samodejno implicira tisto pod njo.

Domneva Kakeya leži na samem dnu tega stolpa. Če je napačna, potem so tudi trditve višje v hierarhiji. Po drugi strani pa dokazovanje, da je resnično, ne bi takoj pomenilo resničnosti domnev, ki se nahajajo nad njim, vendar bi lahko zagotovilo orodja in vpoglede za napad nanje.

»Neverjetna stvar pri domnevi Kakeya je, da to ni le zabaven problem; to je pravo teoretično ozko grlo,« je dejal Hickman. "Ne razumemo veliko teh pojavov v parcialnih diferencialnih enačbah in Fourierjevi analizi, ker ne razumemo teh Kakeyinih nizov."

Izdelava načrta

Feffermanov dokaz – skupaj s pozneje odkritimi povezavami s teorijo števil, kombinatoriko in drugimi področji – je oživil zanimanje za problem Kakeya med vrhunskimi matematiki.

Leta 1995 je Thomas Wolff dokazal, da mora biti dimenzija Minkowskega množice Kakeya v 3D prostoru vsaj 2.5. Izkazalo se je, da je to spodnjo mejo težko povečati. Potem, leta 1999, matematiki Nets Katz, Izabela Laba in Terence tao uspelo premagati. Njihova nova meja: 2.500000001. Kljub temu, kako majhna je bila izboljšava, je premagala ogromno teoretično oviro. Njihov papir je bil objavljen v Anali matematike, najprestižnejša revija na tem področju.

Katz in Tao sta pozneje upala, da bosta uporabila nekatere zamisli iz tega dela, da bi napadla domnevo 3D Kakeya na drugačen način. Predpostavili so, da mora imeti vsak protiprimer tri posebne lastnosti in da mora soobstoj teh lastnosti voditi v protislovje. Če bi to lahko dokazali, bi to pomenilo, da je domneva Kakeya resnična v treh dimenzijah.

Niso mogli priti do konca, so pa nekoliko napredovali. Predvsem sta (skupaj z drugimi matematiki) pokazala, da mora vsak protiprimer imeti dve od treh lastnosti. Biti mora "plany", kar pomeni, da kadar koli se segmenti črte sekajo v točki, ti segmenti tudi ležijo skoraj v isti ravnini. Prav tako mora biti "zrnat", kar zahteva, da so ravnine bližnjih presečišč podobno usmerjene.

Ostala je tretja nepremičnina. V "lepljivem" nizu morajo biti tudi segmenti črt, ki kažejo v skoraj isto smer, nameščeni blizu drug drugega v prostoru. Katz in Tao nista mogla dokazati, da morajo biti vsi protiprimeri lepljivi. Toda intuitivno se zdi, da je lepljiv niz najboljši način za izsiljevanje velikega prekrivanja med segmenti črt, s čimer naredite niz čim manjši - točno tisto, kar potrebujete, da ustvarite protiprimer. Če bi nekdo pokazal, da ima lepljiva množica Kakeya dimenzijo Minkowskega manjšo od 3, bi to ovrglo domnevo 3D Kakeya. "Sliši se, kot da bi bil 'lepljiv' najbolj zaskrbljujoč primer," je dejal Larry Guth Massachusetts Institute of Technology.

To ni več skrb.

Sticking Point

Leta 2014 – več kot desetletje po tem, ko sta Katz in Tao poskušala dokazati domnevo Kakeya – je Tao objavili oris svojega pristopa na svojem blogu, s čimer je drugim matematikom dal možnost, da ga sami preizkusijo.

V 2021, Hong Wang, matematik na Univerzi v New Yorku, in Joshua Zahl z Univerze Britanske Kolumbije se je odločil nadaljevati tam, kjer sta Tao in Katz končala.

Začeli so s predpostavko o obstoju lepljivega protiprimera z dimenzijo Minkowskega, manjšo od 3. Iz prejšnjega dela so vedeli, da mora biti tak protiprimer ploščat in zrnat. "Bili smo torej v svetu, o katerem sta razmišljala Terry Tao in Nets Katz," je dejal Zahl. Zdaj so morali pokazati, da se ploščate, zrnate in lepljive lastnosti medsebojno igrajo in vodijo v protislovje, kar bi pomenilo, da ta protiprimer dejansko ne bi mogel obstajati.

Da bi dobili to protislovje, pa sta Wang in Zahl svojo pozornost usmerila v smer, ki je Katz in Tao nista predvidela - proti področju, znanemu kot teorija projekcije.

Začeli so s podrobnejšo analizo strukture svojega lepljivega protiprimera. Če upoštevate idealizirano različico niza, ima neskončno število segmentov črt, ki kažejo v vse smeri. Toda pri tem problemu ne pozabite, da imate opravka z zgoščenimi različicami teh segmentov črte – kupom igel. Vsaka od teh igel lahko vsebuje številne idealizirane črtne segmente, kar pomeni, da lahko kodirate celoten neskončni niz s končnim številom igel. Odvisno od tega, kako debele so igle, je lahko vaš pitani komplet videti zelo drugačen.

Če je komplet lepljiv, bo videti bolj ali manj enako, ne glede na to, kako debele so igle.

Wang in Zahl sta uporabila to lastnost, da sta pokazala, da ko se iglice tanjšajo, niz postaja vse bolj ravna. S tem postopkom bi lahko "izvlekli še bolj patološki predmet," je dejal Zahl - nekaj, kar se je zdelo nemogoče lastnosti.

To so naslednjič pokazali. Dokazali so, da je moral ta patološki objekt gledati na enega od dveh načinov, ki sta pripeljala do protislovij. Ali bi ga lahko projicirali v 2D prostor na način, ki bi ga naredil veliko manjšega v mnogih smereh – nekaj, kar so Wangova in njeni kolegi pravkar imeli izkazalo za nemogoče. Ali pa bi bile v drugem primeru igle v nizu organizirane glede na zelo specifično vrsto funkcije, kar so Zahl in njegovi sodelavci nedavno dokazali ne bi mogel obstajati, ker bi vodilo do drugih vrst projekcij, ki niso imele smisla.

Wang in Zahl sta imela zdaj svoje protislovje - kar pomeni, da za domnevo Kakeya ni lepljivih protiprimerov. (Tega niso pokazali samo za dimenzijo Minkowskega, ampak tudi za sorodno količino, imenovano Hausdorffova dimenzija.) "Rezultat izključuje ta celoten razred protiprimerov," je dejal Zahl - natančen tip množice, za katerega so matematiki menili, da bo najverjetneje ovrgel domneva.

Novo delo "močno podpira domnevo Kakeya," je dejal Pablo Šmerkin Univerze Britanske Kolumbije. Čeprav velja samo za tridimenzionalni primer, so lahko nekatere njegove tehnike uporabne v višjih dimenzijah. Potem ko so leta porabili za napredek pri domnevah v drugih številskih sistemih, so matematiki navdušeni nad to vrnitvijo na prvotno domeno problema realnih števil.

"Izjemno je, da so ta primer popolnoma rešili," je dejal Zhang. "V resničnem okolju je to izjemno redko." In če lahko kdo dokaže, da mora biti protiprimer lepljiv, bo novi rezultat impliciral celotno domnevo v treh dimenzijah. Hierarhija domnev, zgrajena nad njim, bo potem ostala varna, njeni temelji pa stabilni.

"Nekako se ta dva različna problema v teoriji projekcije, ki na videz nimata veliko opraviti drug z drugim, lepo ujemata skupaj, da bi dala točno to, kar je bilo potrebno za Kakeya," je dejal Zahl.