V tretjem stoletju pred našim štetjem je Arhimed zastavljeno uganka o pašnji goveda, ki jo, kot je trdil, lahko reši le resnično moder človek. Njegov problem se je na koncu skrčil na enačbo, ki vključuje razliko med dvema kvadratoma, ki ju lahko zapišemo kot x2 - dy2 = 1. Tukaj, d je celo število – pozitivno ali negativno število za štetje – in Arhimed je iskal rešitve, kjer bi oboje x in y so tudi cela števila.
Ta razred enačb, imenovan Pellove enačbe, je navduševal matematike skozi tisočletja.
Nekaj stoletij po Arhimedu sta indijski matematik Brahmagupta in pozneje matematik Bhāskara II zagotovila algoritme za iskanje celoštevilskih rešitev teh enačb. Sredi 1600. stoletja je francoski matematik Pierre de Fermat (ki se ni zavedal tega dela) ponovno odkril, da je v nekaterih primerih, tudi ko d je bila dodeljena relativno majhna vrednost, najmanjša možna celoštevilska rešitev za x in y bi lahko bilo ogromno. Ko je konkurenčnim matematikom poslal vrsto izzivov, so vključili enačbo x2 - 61y2 = 1, katerega najmanjše rešitve imajo devet ali deset števk. (Kar se tiče Arhimeda, je njegova uganka v bistvu zahtevala celoštevilske rešitve enačbe x2 - 4,729,494y2 = 1. »Za tiskanje najmanjše rešitve je potrebnih 50 strani,« je rekel Peter Koymans, matematik na Univerzi v Michiganu. "V nekem smislu je Arhimedov ogromen trol.")
Toda rešitve Pellovih enačb lahko naredijo veliko več. Recimo, da želite približno določiti $latex sqrt{2}$, iracionalno število, kot razmerje celih števil. Izkazalo se je, da je reševanje Pellove enačbe x2 - 2y2 = 1 vam lahko pomaga pri tem: $latex sqrt{2}$ (ali, splošneje, $latex sqrt{d}$) je mogoče dobro približati tako, da prepišete rešitev kot ulomek oblike x/y.
Morda je še bolj zanimivo to, da vam te rešitve povedo tudi nekaj o določenih številskih sistemih, ki jih matematiki imenujejo obroči. V takem številskem sistemu bi lahko matematiki celim številom pridružili $latex sqrt{2}$. Prstani imajo določene lastnosti in matematiki želijo te lastnosti razumeti. Izkazalo se je, da jim lahko pri tem pomaga Pellova enačba.
In tako je »veliko zelo znanih matematikov – skoraj vsak matematik v nekem obdobju – dejansko preučevalo to enačbo zaradi tega, kako preprosta je,« je rekel Mark Shusterman, matematik na univerzi Harvard. Med temi matematiki so bili Fermat, Euler, Lagrange in Dirichlet. (John Pell, ne toliko; enačba je bila pomotoma poimenovana po njem.)
Zdaj Koymans in Carlo Pagano, matematik na univerzi Concordia v Montrealu, imajo dokazal desetletja staro domnevo povezana s Pellovo enačbo, tista, ki kvantificira, kako pogosto ima določena oblika enačbe celoštevilske rešitve. Da bi to naredili, so uvozili ideje iz drugega področja - teorije skupin - in hkrati pridobili boljše razumevanje ključnega, a skrivnostnega predmeta študija na tem področju. "Uporabili so res globoke in lepe ideje," je rekel Andrew Granville, matematik na Univerzi v Montrealu. "Res jim je uspelo."
Pokvarjena aritmetika
V zgodnjih 1990, Peter Stevenhagen, matematik z Univerze Leiden na Nizozemskem, je bil navdihnjen z nekaterimi povezavami, ki jih je videl med Pellovimi enačbami in teorijo skupin, da je podal domnevo o tem, kako pogosto imajo te enačbe celoštevilske rešitve. Toda "nisem pričakoval, da bo kmalu dokazano," je dejal - ali celo v njegovem življenju. Razpoložljive tehnike se niso zdele dovolj močne za reševanje problema.
Njegova domneva je odvisna od določene lastnosti obročev. V krogu števil, kjer je bilo na primer $latex sqrt{-5}$ dodano celim številom (matematiki pogosto delajo z »namišljenimi« številkami, kot je $latex sqrt{-5}$), obstajata dva različna načina za razdeli število na prafaktorje. Število 6, na primer, lahko zapišemo ne samo kot 2 × 3, ampak tudi kot (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$). Posledično se v tem obroču pokvari edinstvena prafaktorizacija - osrednje načelo aritmetike, ki je v običajnih celih številih praktično samoumevno. Obseg, do katerega se to zgodi, je kodiran v objektu, povezanem s tem obročem, ki se imenuje skupina razredov.
Eden od načinov, kako matematiki poskušajo pridobiti globlji vpogled v številski sistem, ki jih zanima – recimo $latex sqrt{2}$, pridružen celim številom – je računanje in preučevanje njegove skupine razredov. Vendar pa je skoraj prehibo težko določiti splošna pravila o tem, kako se razredne skupine obnašajo v vseh teh različnih številskih sistemih.
V osemdesetih letih prejšnjega stoletja so matematiki Henri Cohen in Hendrik Lenstra predstavil širok nabor domnev o tem, kako naj bi ta pravila izgledala. Te "hevristike Cohen-Lenstre" bi vam lahko povedale veliko o skupinah razredov, ki bi morale razkriti lastnosti njihovih osnovnih številskih sistemov.
Bil je samo en problem. Čeprav se zdi, da veliko izračunov podpira Cohen-Lenstrovo hevristiko, so to še vedno domneve in ne dokazi. "Kar zadeva izreke, do nedavnega nismo vedeli skoraj ničesar," je dejal Alex Bartel, matematik na Univerzi v Glasgowu.
Zanimivo je, da je tipično vedenje razredne skupine neločljivo prepleteno z vedenjem Pellovih enačb. Razumevanje ene težave pomaga razumeti drugo - tako zelo, da je bila Stevenhagenova domneva "tudi testna težava za ne glede na napredek, ki je bil dosežen pri hevristiki Cohen-Lenstre," je dejal Pagano.
Novo delo vključuje negativno Pellovo enačbo, kjer x2 - dy2 nastavljena na −1 namesto 1. V nasprotju z izvirno Pellovo enačbo, ki ima vedno neskončno število celih rešitev za katero koli d, ne vse vrednosti d v negativni Pellovi enačbi dobijo enačbo, ki jo je mogoče rešiti. Vzemi x2 - 3y2 = −1: Ne glede na to, kako daleč vzdolž številske premice pogledate, ne boste nikoli našli rešitve, čeprav x2 - 3y2 = 1 ima neskončno veliko rešitev.
Pravzaprav obstaja veliko vrednot d za katere ni mogoče rešiti negativne Pellove enačbe: Na podlagi znanih pravil o tem, kako so določena števila povezana med seboj, d ne more biti večkratnik števila 3, 7, 11, 15 itd.
Toda tudi ko se izogibate tem vrednotam d in upoštevajte le preostale negativne Pellove enačbe, še vedno ni mogoče najti rešitev. V tem manjšem nizu možnih vrednosti d, kakšen delež dejansko deluje?
Leta 1993 je Stevenhagen predlagal formulo, ki je dala natančen odgovor na to vprašanje. Od vrednosti za d ki bi lahko delovale (to je vrednosti, ki niso večkratniki 3, 7 itd.), je napovedal, da bi približno 58 % povzročilo negativne Pellove enačbe s celoštevilskimi rešitvami.
Stevenhagenovo domnevo je motivirala zlasti povezava med negativno Pellovo enačbo in Cohen-Lenstrovo hevristiko o razrednih skupinah – povezava, ki sta jo izkoristila Koymans in Pagano, ko sta 30 let pozneje končno dokazala, da ima prav.
Boljši top
Leta 2010 sta bila Koymans in Pagano še dodiplomska študenta - še nista bila seznanjena s Stevenhagenovo domnevo - ko je izšel članek, ki je naredil nekaj prvega napredka pri problemu v zadnjih letih.
V tistem delu, ki je bilo objavljen v Anali matematike, matematiki Étienne Fouvry in Jürgen Klüners je pokazala, da je delež vrednosti od d ki bi delovala za negativno Pellovo enačbo, spada v določeno območje. Da bi to naredili, so se seznanili z vedenjem nekaterih elementov ustreznih razrednih skupin. Toda potrebovali bi razumevanje veliko več elementov, da bi se lahko dotaknili Stevenhagenove veliko natančnejše ocene 58 %. Na žalost so ti elementi ostali nedoumljivi: še vedno so bile potrebne nove metode za razumevanje njihove strukture. Nadaljnji napredek se je zdel nemogoč.
Potem, leta 2017, ko sta bila Koymans in Pagano skupaj na podiplomskem študiju na univerzi Leiden, se je pojavil papir to je spremenilo vse. "Ko sem to videl, sem takoj ugotovil, da gre za zelo, zelo impresiven rezultat," je dejal Koymans. "Bilo je kot, OK, zdaj imam top, s katerim lahko streljam na to težavo in upam, da bom lahko napredoval." (Takrat sta bila Stevenhagen in Lenstra tudi profesorja v Leidnu, kar je pomagalo spodbuditi Koymansovo in Paganovo zanimanje za problem.)
Članek je napisal podiplomski študent na Harvardu, Alexander Smith (ki je zdaj Clayjev sodelavec na Stanfordu). Koymans in Pagano nista bila edina, ki sta delo hvalila kot preboj. "Zamisli so bile neverjetne," je dejal Granville. "Revolucionarno."
Smith je poskušal razumeti lastnosti rešitev enačb, imenovanih eliptične krivulje. Pri tem je obdelal določen del Cohen-Lenstrove hevristike. Ne samo, da je bil to prvi večji korak pri utrjevanju teh širših domnev kot matematičnih dejstev, ampak je vključeval natanko tisti del razredne skupine, ki sta ga Koymans in Pagano morala razumeti pri svojem delu o Stevenhagenovi domnevi. (Ta del je vključeval elemente, ki sta jih Fouvry in Klüners proučevala v svojem delnem rezultatu, vendar je šlo tudi daleč preko njih.)
Vendar pa Koymans in Pagano nista mogla preprosto takoj uporabiti Smithovih metod. (Če bi bilo to mogoče, bi verjetno to storil tudi sam Smith.) Smithov dokaz je bil o skupinah razredov, povezanih s pravimi številskimi obroči (takimi, v katerih se $latex sqrt{d}$ pridruži celim številom) — vendar je upošteval vse celoštevilske vrednosti d. Koymans in Pagano sta po drugi strani razmišljala le o majhni podskupini teh vrednosti d. Posledično so morali oceniti povprečno vedenje med veliko manjšim deležem razrednih skupin.
Te razredne skupine so v bistvu predstavljale 0 % Smithovih razrednih skupin – kar pomeni, da jih je Smith lahko zavrgel, ko je pisal svoj dokaz. K povprečnemu vedenju, ki ga je preučeval, sploh niso prispevali.
In ko sta Koymans in Pagano poskušala uporabiti njegove tehnike le za razredne skupine, ki so jih zanimale, so se metode takoj pokvarile. Par bi moral narediti pomembne spremembe, da bi lahko deloval. Poleg tega niso opredeljevali samo ene razredne skupine, temveč neskladje, ki bi lahko obstajalo med dvema različnima razrednima skupinama (to bi bilo glavni del njihovega dokaza Stevenhagenove domneve) - kar bi prav tako zahtevalo nekaj različnih orodij.
Tako sta Koymans in Pagano začela natančneje prečesavati Smithov dokument v upanju, da bosta natančno ugotovila, kje so stvari začele iti iz tira. To je bilo težko, mukotrpno delo, ne samo zato, ker je bilo gradivo tako zapleteno, ampak zato, ker je Smith takrat še izpopolnjeval svoj prednatis ter delal potrebne popravke in pojasnila. (Objavil je novo verzijo svojega prispevka na spletu prejšnji mesec.)
Celo leto sta se Koymans in Pagano skupaj učila dokaz, vrstico za vrstico. Srečevali so se vsak dan in med kosilom razpravljali o določenem razdelku, preden so preživeli nekaj ur za tablo in drug drugemu pomagali preučiti ustrezne zamisli. Če je eden od njiju napredoval sam, je drugemu poslal SMS, da ga obvesti. Shusterman se spominja, da jih je včasih videl delati dolgo v noč. Kljub (ali morda prav zaradi) izzivov, ki jih je prineslo, "je bilo to zelo zabavno početi skupaj," je dejal Koymans.
Končno so ugotovili, kje bi morali poskusiti nov pristop. Sprva so lahko dosegli le skromne izboljšave. Skupaj z matematiki Stephanie Chan in Đorđo Milović, so ugotovili, kako obvladati nekatere dodatne elemente v razredni skupini, kar jim je omogočilo, da so dosegli boljše meje, kot sta jih imela Fouvry in Klüners. Toda pomembni deli strukture razredne skupine so se jim še vedno izmikali.
Eden večjih problemov, ki so se ga morali lotiti – nekaj, za kar Smithova metoda v tem novem kontekstu ni več delovala – je bilo zagotavljanje, da so resnično analizirali »povprečno« vedenje razrednih skupin kot vrednote d postajal vedno večji. Za določitev ustrezne stopnje naključnosti sta Koymans in Pagano dokazala zapleten nabor pravil, imenovanih zakoni vzajemnosti. Na koncu jim je to omogočilo pridobiti potreben nadzor nad razlikami med obema razrednima skupinama.
Ta napredek, skupaj z drugimi, jim je omogočil, da so v začetku tega leta končno dokončali dokaz Stevenhagenove domneve. "Neverjetno je, da jim je uspelo popolnoma rešiti," je dejal Chan. "Prej smo imeli vse te težave."
Kar so naredili, me je "presenetilo," je dejal Smith. "Koymans in Pagano sta nekako ohranila moj stari jezik in ga uporabljala samo za potiskanje vse dlje v smer, ki je komaj več razumem."
Najostrejše orodje
Od takrat, ko ga je predstavil pred petimi leti, je bil Smithov dokaz enega dela Cohen-Lenstrove hevristike viden kot način za odpiranje vrat množici drugih problemov, vključno z vprašanji o eliptičnih krivuljah in drugih zanimivih strukturah. (Koymans in Pagano v svojem prispevku navajata približno ducat domnev, za katere upata, da bosta uporabili svoje metode. Mnoge nimajo nobene zveze z negativno Pellovo enačbo ali celo razrednimi skupinami.)
"Veliko predmetov ima strukture, ki se ne razlikujejo od teh vrst algebraičnih skupin," je dejal Granville. Toda mnoge od istih ovir, s katerimi sta se morala soočiti Koymans in Pagano, so prisotne tudi v teh drugih kontekstih. Novo delo o negativni Pellovi enačbi je pomagalo odpraviti te ovire. "Alexander Smith nam je povedal, kako izdelati te žage in kladiva, zdaj pa jih moramo narediti čim bolj ostre in trdo udarne ter čim bolj prilagodljive različnim situacijam," je dejal Bartel. "Ena od stvari, ki jih ta dokument počne, je, da gre zelo v to smer."
Vse to delo je medtem izpopolnilo razumevanje matematikov le enega vidika razrednih skupin. Preostale Cohen-Lenstrove domneve vsaj zaenkrat ostajajo nedosegljive. Toda članek Koymansa in Pagana "je pokazatelj, da tehnike, ki jih imamo za reševanje težav pri Cohen-Lenstri, nekako odraščajo," je dejal Smith.
Podobno optimističen je bil tudi sam Lenstra. To je "popolnoma spektakularno," je zapisal v elektronskem sporočilu. "Resnično odpira novo poglavje v veji teorije števil, ki je prav tako stara kot sama teorija števil."
