Dva študenta razvozlata splošno razširjeno matematično domnevo | Revija Quanta

Summer Haag in Clyde Kertzer sta imela veliko upov od svojega poletnega raziskovalnega projekta. Zaslepitev celotnega podpodročja matematike ni bila ena izmed njih.

Maja je Haagova končala svoj prvi letnik podiplomskega študija na univerzi Colorado v Boulderju, kjer je bila Kertzerjeva dodiplomska. Oba sta se veselila odmora od pouka. Haag je nameraval raziskati nove pohode in plezalne poti. Kertzer, domačin iz Boulderja, je želel igrati nogomet in pripraviti prijavo za diplomsko šolo. Toda kot ambiciozni raziskovalni matematiki so se prijavili tudi na polovični poletni raziskovalni program v skupini matematikov Katherine Stange.

Stange je teoretičarka števil, ki se opisuje kot matematik.žaba” — nekdo, ki se poglobi v zapletenost ene težave, preden skoči na drugo. Zanimajo jo »na videz preprosta vprašanja, ki vodijo do bogastva strukture,« je rekla. Njeni projekti pogosto posegajo po izmuzljivih odprtih problemih teorije števil z uporabo računalnikov za ustvarjanje velikih nizov podatkov.

Haag in Kertzer sta program začela na Haagov 23. rojstni dan s tedenskim uvodom o embalaži apolonskih krogov – starodavni študiji o tem, kako se lahko krogi harmonično stisnejo v en večji krog.

Predstavljajte si, da tri kovance razporedite tako, da se vsak dotika drugih. Okoli njih lahko vedno narišete krog, ki se dotika vseh treh od zunaj. Nato lahko začnete postavljati vprašanja: Kako je velikost tega večjega kroga povezana z velikostjo treh kovancev? Kakšna velikost kroga se prilega v vrzel med tremi kovanci? In če začnete risati kroge, ki zapolnjujejo vse manjše in manjše vrzeli med krogi – ustvarjajo fraktalni vzorec, znan kot pakiranje – kako so velikosti teh krogov povezane med seboj?

Namesto da bi razmišljali o premeru teh krogov, matematiki uporabljajo mero, imenovano ukrivljenost - inverzijo polmera. Torej ima krog s polmerom 2 ukrivljenost 1/2, krog s polmerom 1/3 pa ukrivljenost 3. Manjši kot je krog, večja je ukrivljenost.

Renesančni matematiki so dokazali, da če imajo prvi štirje krogi ukrivljenost, ki je celo število, so ukrivljenosti vseh naslednjih krogov v embalaži zagotovljeno cela števila. To je že samo po sebi izjemno. Toda matematiki so naredili problem še korak dlje, tako da so postavili vprašanja o tem, katera cela števila se pojavijo, ko postajajo krogi vedno manjši in ukrivljenosti vedno večje.

V 2010, Elena Fuchs, teoretik števil, zdaj na Univerzi v Kaliforniji, Davis, dokazano da ukrivljenosti sledijo določenemu razmerju, ki jih sili v določena številčna vedra. Kmalu zatem so matematiki postali prepričani, da ne le, da morajo ukrivljenosti pasti v eno ali drugo vedro, ampak tudi, da je treba uporabiti vsako možno število v vsakem vedru. Ideja je postala znana kot lokalno-globalna domneva.

"Veliko del se je sklicevalo na to, kot da je že dejstvo," je dejal Kertzer. "Razpravljali smo o tem, kot da bo to dokazano na neki točki v bližnji prihodnosti."

James Rickards, matematik v Boulderju, ki dela s Stangejem in študenti, je napisal kodo za preučevanje želene razporeditve pakiranj krogov. Ko sta se Haag in Kertzer pridružila skupini 15. maja, sta mislila, da bosta ustvarila kul risbe zanesljivega lokalnega globalnega pravila.

Stange je v začetku junija odletel v Francijo na konferenco. Ko se je 12. junija vrnila, se je ekipa zgrnila okoli grafikonov, ki so pokazali, kako se zdi, da nekaterim vedrom manjkajo določene številke.

"Nismo raziskovali tega pojava," je dejal Rickards. »Nisem poskušal preveriti, ali je res. Vedel sem, da je res - samo domneval sem, da je res. In potem se nenadoma soočimo s podatki, ki pravijo, da ni.”

Do konca tedna je bila ekipa prepričana, da je domneva napačna. Številke, za katere so pričakovali, da se bodo pojavile, se nikoli niso pojavile. Izdelali so dokaz in 6. julija so objavili svoje delo na znanstveno stran za prednatis arxiv.org.

Fuchs se spominja pogovora s Stangejem kmalu po tem, ko se je dokaz postavil na svoje mesto. "Koliko verjamete domnevi o lokalnem in globalnem?" je vprašal Stange. Fuchsova je odgovorila, da v to seveda verjame. "Potem mi je pokazala vse te podatke in rekel sem: 'O moj bog, to je neverjetno,'" je dejal Fuchs. "Mislim, res sem verjel, da je domneva o lokalnem in globalnem resnična."

»Ko ga enkrat vidite, preprosto rečete 'Aha! Seveda!'« je rekel Peter Sarnak, matematik na Inštitutu za napredne študije in univerzi Princeton, katerega zgodnja opažanja je pomagal spodbuditi lokalno-globalno domnevo.

"To je fantastičen vpogled," je dodal Aleks Kontorovič univerze Rutgers. "Vsi se jezimo, da tega nismo našli pred 20 leti, ko so se ljudje prvič začeli igrati s tem."

Med ruševinami, ki jih je pustil rezultat, je delo razkrilo razpoko v temelju drugih domnev v teoriji števil. Matematiki so se morali spraševati, katero splošno razširjeno prepričanje bi lahko naslednje padlo.

Krožna zgodovina

Embalaža iz apolonskega kroga je dobila ime po svojem verjetnem avtorju, Apoloniju iz Perge. Pred približno 2,200 leti je grški geometer napisal knjigo z naslovom Tangence o tem, kako sestaviti krog, ki je tangenten na katere koli tri druge. Knjigo je izgubil čas. Toda približno 500 let pozneje je grški matematik Papus iz Aleksandrije sestavil zbirko, ki je preživela propad Bizantinskega cesarstva.

Z uporabo samo Pappusovega opisa Tangence, so renesančni matematiki poskušali ponovno izslediti izvirno delo. Do leta 1643 je René Descartes odkril preprosto razmerje med ukrivljenostmi poljubnih štirih krogov, ki se dotikajo drug drugega. Descartes je trdil, da je vsota vseh kvadratov ukrivljenosti enaka polovici kvadrata vsote ukrivljenosti. To pomeni, da je glede na tri kroge mogoče izračunati polmer četrtega tangentnega kroga. Na primer, če imate tri kroge z ukrivljenostjo 11, 14 in 15, lahko te številke vključite v Descartesovo enačbo in izračunate ukrivljenost kroga, ki bi se ujemal z njimi: 86.

Leta 1936 radiokemik, dobitnik Nobelove nagrade Frederick Soddy opazil nekaj nenavadnega, ko je gradil embalaže z Descartesovo relacijo. Ko so se krogi manjšali in ukrivljenosti večale, je pričakoval, da bo dobil grčasta števila s kvadratnimi koreninami ali neskončnimi decimalkami. Namesto tega so bile vse ukrivljenosti cela števila. To je bila dokaj enostavna posledica Descartesove enačbe, vendar nihče ni opazil več sto let. Navdihnilo je Soddyja, da objavi pesem v znanstveni reviji Narava, ki se je začela:

Morda za par ustnic za poljub
Ne vključuje trigonometrije.
Ni tako, ko se štirje krogi poljubljajo
Vsak drugi trije.

Možno in neizogibno

Ko so ugotovili, da obstajajo embalaže, polne celih števil, so matematiki poskušali najti vzorce v teh celih številih.

Leta 2010 sta Fuchs in Katherine Sanden nameraval graditi na a papir iz 2003. Dvojec je opazil, da če vsako ukrivljenost v dani embalaži delite s 24, se pojavi pravilo. Nekatera pakiranja imajo na primer samo ukrivljenosti z ostanki 0, 1, 4, 9, 12 ali 16. Drugi puščajo samo ostanke 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 ali 22. Obstajalo je šest različnih možnih skupin.

Ko so matematiki preučevali različne kategorije embalaže, so začeli opažati, da se je za dovolj majhne kroge - tiste z velikimi ukrivljenostmi - zdelo, da se vse možne številke znotraj vsake kategorije pojavljajo za embalaže te vrste. To idejo so poimenovali lokalno-globalna domneva. Dokazovanje je postalo "ena od mojih sanj teh malih matematikov," je dejal Fuchs. "Mogoče bom nekoč čez mnogo let to lahko rešil."

Leta 2012 sta Kontorovich in Jean Bourgain (ki umrl v 2018) je to dokazal skoraj vsako številko ki ga predvideva domneva, se zgodi. Toda »skoraj vse« ne pomeni »vse«. Na primer, popolni kvadrati so dovolj redki, da matematično "skoraj vsa" cela števila niso popolni kvadrati, čeprav sta na primer 25 in 49. Matematiki so mislili, da redki nasprotni primeri, ki so ostali možni po Kontorovichevem in Bourgainovem dokumentu, dejansko ne obstajajo, večinoma zato, ker se zdi, da dva ali tri najbolj raziskana pakiranja krogov tako dobro sledijo lokalno-globalni domnevi, je dejal Kontorovich.

Zagon te številčnice

Ko sta Haag in Kertzer to poletje začela v Boulderju, je Rickards pisal ideje na tablo v Stangejevi pisarni. "Imeli smo cel seznam," je dejal Rickards. Imeli so štiri ali pet izhodišč za eksperimentiranje. "Stvari, s katerimi se lahko preprosto igrate in vidite, kaj se zgodi."

Ena od idej je bila izračunati vsa možna pakiranja krogov, ki vsebujejo dve poljubni ukrivljenosti A in B. Rickards je napisal program, ki izpiše nekakšno glavno knjigo, ki poroča, katera cela števila so prikazana stranki, ko A gosti.

Na podlagi tega programa je Haag sestavil skript Python, ki je narisal na tone simulacij hkrati. Bilo je kot tabela množenja: Haag je izbral, katere vrstice in stolpce bo vključil na podlagi njihovih ostankov, ko so bili deljeni s 24. Pari števil, ki se pojavljajo v Apolonovem pakiranju skupaj, so dobili bele piksle; tiste, ki nimajo črnih slikovnih pik.

Haag je preoral na desetine ploskev - enega za vsak par ostankov v vsaki od šestih skupin.

Videti so bili natanko tako, kot je bilo pričakovano: bela stena, posuta s črnimi pikami za manjša cela števila. "Pričakovali smo, da bodo črne pike izginile," je dejal Stange. Rickards je dodal: "Mislil sem, da bi bilo mogoče celo dokazati, da pojenjajo." Špekuliral je, da bo ekipa z ogledom grafikonov, ki sintetizirajo veliko pakiranj skupaj, lahko dokazala rezultate, ki niso bili mogoči, če so pogledali katero koli pakiranje samostojno.

Medtem ko je bil Stange odsoten, je Haag končal z načrtovanjem vsakega para ostankov - približno 120. Tu ni presenečenj. Potem je postala velika.

Haag je načrtoval interakcijo 1,000 celih števil. (Graf je večji, kot se sliši, saj vključuje 1 milijon možnih parov.) Nato je številčnico zavrtela do 10,000 krat 10,000. Na enem grafu se pravilne vrstice in stolpci črnih madežev niso hoteli raztopiti. Ni bilo videti tako, kot bi napovedovala lokalno-globalna domneva.

Ekipa se je sestala v ponedeljek po Stangejevi vrnitvi. Haagova je predstavila svoje grafe in vsi so se osredotočili na tistega s čudnimi pikami. "To je bil le stalen vzorec," je dejal Haag. "In takrat je Kate rekla: 'Kaj pa, če lokalno-globalna domneva ne drži?'"

»To je videti kot vzorec. Treba je nadaljevati. Lokalno-globalna domneva mora biti torej napačna,« se je razmišljanja spomnil Stange. "James je bil bolj skeptičen."

"Moja prva misel je bila, da mora biti v moji kodi napaka," je dejal Rickards. "Mislim, to je bila edina razumna stvar, ki sem se je lahko spomnil."

Čez pol dneva je prišel Rickards. Vzorec je izločil vse pare, kjer je prvo število v obliki 8 × (3n ± 1)² in drugi je 24-krat poljuben kvadrat. To pomeni, da se 24 in 8 nikoli ne pojavita v istem pakiranju. Številke, ki bi jih pričakovali, se ne zgodijo.

»Bil sem nekako vrtoglav. Ni pogosto, da te kaj res preseneti,« je dejal Stange. "Toda to je čar igranja s podatki."

O Julijski papir orisuje strog dokaz, da se vzorec, ki so ga opazili, nadaljuje v nedogled, kar ovrže domnevo. Dokaz je odvisen od stoletja starega načela, imenovanega kvadratna vzajemnost, ki vključuje kvadrata dveh praštevil. Stangejeva ekipa je odkrila, kako vzajemnost velja za okroglo embalažo. Pojasnjuje, zakaj nekatere ukrivljenosti ne morejo biti tangentne druga na drugo. Pravilo, imenovano obstrukcija, se širi po celotni embalaži. "To je samo popolnoma nova stvar," je rekel Jeffrey Lagarias, matematik na Univerzi v Michiganu, ki je bil soavtor papirja za pakiranje krogov iz leta 2003. "Genialno so to našli," je dejal Sarnak. "Če bi se te številke res pojavile, bi kršile vzajemnost."

Padec

Številne druge domneve v teoriji števil so lahko zdaj vprašljive. Tako kot lokalno-globalno domnevo jih je težko dokazati, vendar se je že izkazalo, da držijo v skoraj vseh primerih in se na splošno domneva, da so resnične.

Fuchs na primer preučuje Markove trojčke, nize števil, ki zadovoljujejo enačbo x² + y² + z² = 3xyz. Ona in drugi so pokazali, da so določene vrste rešitev povezane za praštevila, večja od 10³⁹². Vsi verjamejo, da se mora vzorec nadaljevati v neskončnost. Toda v luči novega rezultata si je Fuchsova dovolila začutiti kanček dvoma. "Mogoče nekaj pogrešam," je rekla. "Mogoče vsi nekaj pogrešajo."

"Zdaj, ko imamo en sam primer, kjer je napačen, je vprašanje: Ali je napačen tudi za te druge primere?" je rekel Rickards.

Obstaja tudi Zarembova domneva. Pravi, da je mogoče ulomek s poljubnim imenovalcem izraziti kot zvezni ulomek, ki uporablja samo števila med 1 in 5. Leta 2014 sta Kontorovich in Bourgain pokazala, da Zarembova domneva velja za skoraj vsa števila. Toda presenečenje glede pakiranja krogov je spodkopalo zaupanje v Zarembino domnevo.

Če je težava s pakiranjem napoved stvari, ki prihajajo, so računalniški podatki lahko orodje za njeno razveljavitev.

"Vedno se mi zdi fascinantno, ko se nova matematika rodi zgolj iz podatkov," je dejal Fuchs. "Brez tega si je res težko predstavljati, da bi [so] naleteli na to."

Stange je dodal, da se nič od tega ne bi zgodilo brez poletnega projekta z nizkimi vložki. "Serendipitity in odnos igrivega raziskovanja imata tako veliko vlogo pri odkrivanju," je dejala.

"Bilo je čisto naključje," je dejal Haag. "Če ne bi bil dovolj velik, tega ne bi opazili." Delo je dobra napoved za prihodnost teorije števil. "Razumevanje matematike lahko pridobite s svojo intuicijo, z dokazi," je dejal Stange. »In temu zelo zaupaš, ker si o tem veliko časa razmišljal. Toda podatkom ne morete oporekati.”

Beležka urednika: Alex Kontorovich je član Revija Quantaznanstveni svetovalni odbor. Bil je intervjuvan za to zgodbo, vendar sicer ni prispeval k njeni produkciji.