Matematiki mečejo kocke in dobijo kamen-papir-škarje

Kot pripoveduje Bill Gates, ga je Warren Buffett nekoč izzval k igri s kockami. Vsak bi izbral eno od štirih kock, ki pripadajo Buffettu, nato pa bi jih metali, pri čemer bi zmagala višja številka. To niso bile standardne kocke – imele so drugačen izbor številk kot običajne od 1 do 6. Buffett je ponudil, da Gates izbere prvi, da je lahko izbral najmočnejšo kocko. Ko pa je Gates pregledal kocke, je vrnil nasprotni predlog: Buffett naj izbere prvi.

Gates je ugotovil, da imajo Buffettove kocke nenavadno lastnost: nobena od njih ni bila najmočnejša. Če bi Gates izbral prvi, potem bi ne glede na to, katero kocko je izbral, Buffett lahko našel drugo kocko, ki bi ga lahko premagala (to je tisto z več kot 50-odstotno možnostjo za zmago).

Buffettove štiri kocke (pokličite jih A, B, C in D) tvoril vzorec, ki spominja na kamen-papir-škarje, v katerem A utripov B, B utripov C, C utripov D in D utripov A. Matematiki pravijo, da je tak niz kock »neprehoden«.

»Sploh ni intuitivno, da [neprehodne kocke] sploh obstajajo,« je rekel Brian Conrey, direktor Ameriškega inštituta za matematiko (AIM) v San Joseju, ki je leta 2013 napisal vpliven članek o tej temi.

Matematiki so se domislili prvi primeri neprehodnih kock pred več kot 50 leti in sčasoma dokazano da ko razmišljate o kockah z vedno več stranicami, je mogoče ustvariti neprehodne cikle poljubne dolžine. Matematiki do nedavnega niso vedeli, kako pogoste so neprehodne kocke. Ali si morate takšne primere skrbno izmisliti ali lahko naključno izbirate kocke in imate dobre možnosti pri iskanju neprehodnega niza?

Gledanje treh kock, če to veš A utripov B in B utripov C, se zdi to dokaz, da A je najmočnejši; situacije, kjer C utripov A bi morala biti redka. In res, če se številke na kockah lahko seštejejo v različne vsote, potem matematiki verjamejo, da ta intuicija drži.

Toda a dokument, objavljen na spletu konec lanskega leta kaže, da v drugem naravnem okolju ta intuicija spektakularno odpove. Recimo, da zahtevate, da vaše kocke uporabljajo samo številke, ki se pojavljajo na navadni kocki in imajo enako vsoto kot običajna kocka. Nato je papir pokazal, če A utripov B in B utripov C, A in C imajo v bistvu enake možnosti za zmago drug proti drugemu.

»Vedoč to A utripov B in B utripov C samo vam ne daje informacij o tem, ali A utripov C, "Je dejal Timothy Gowers Univerze v Cambridgeu, dobitnik Fieldsove medalje in eden od prispevajočih k novemu rezultatu, kar je bilo dokazano prek odprtega spletnega sodelovanja, znanega kot projekt Polymath.

Medtem pa še ena nedavni dokument analizira sklope štirih ali več kock. Ta ugotovitev je verjetno še bolj paradoksalna: če na primer naključno izberete štiri kocke in ugotovite, da A utripov B, B utripov C in C utripov D, potem je rahlo več verjetno za D premagati A kot obratno.

Niti močna niti šibka

Nedavni izpuščaj rezultatov se je začel pred približno desetletjem, potem ko se je Conrey udeležil srečanja za učitelje matematike z predavanjem, ki je pokrivalo neprehodne kocke. "Nisem imel pojma, da lahko takšne stvari obstajajo," je dejal. "Nekako so me fascinirali."

Odločil se je (kasneje se mu je pridružil kolega Kent Morrison na AIM), da bi raziskal temo s tremi srednješolci, ki jim je bil mentor – Jamesom Gabbardom, Katie Grant in Andrewom Liujem. Kako pogosto, se je spraševala skupina, bodo naključno izbrane kocke tvorile neprehoden cikel?

Menijo, da so neprehodni nizi kock redki, če se številke obrazov kock seštejejo v različne vsote, saj bo kocka z najvišjo vsoto verjetno premagala druge. Zato se je ekipa odločila, da se osredotoči na kocke, ki imajo dve lastnosti: prvič, kocke uporabljajo enake številke kot na standardni kocki – od 1 do n, v primeru an n-stranska matrica. In drugič, seštevek obraznih številk je enak kot na standardni kocki. Toda za razliko od standardnih kock lahko vsaka kocka ponavlja nekatere številke in izpusti druge.

V primeru šeststranih kock obstaja samo 32 različnih kock, ki imajo ti dve lastnosti. Tako je ekipa s pomočjo računalnika lahko identificirala vse trojke, v katerih A utripov B in B utripov C. Raziskovalci so na svoje presenečenje ugotovili, da A utripov C v 1,756 trojkah in C utripov A v 1,731 trojnikih - skoraj enakih številkah. Na podlagi tega izračuna in simulacij kock z več kot šestimi stranicami, je domnevala ekipa da ko se število strani na kocki približuje neskončnosti, verjetnost, da A utripov C približuje 50 %.

Domneva s svojo mešanico dostopnosti in odtenkov se je Conreyju zdela dobra hrana za projekt Polymath, v katerem se številni matematiki zberejo na spletu, da bi izmenjali ideje. Sredi leta 2017 je idejo predlagal Gowersu, začetniku pristopa Polymath. "Vprašanje mi je bilo zelo všeč zaradi presenetljive vrednosti," je dejal Gowers. Napisal je a blog post o domnevi, ki je požela plaz komentarjev in v šestih dodatnih objavah so jo komentatorji uspeli tudi dokazati.

V svojem prispevku, objavljeni na spletu konec novembra 2022 ključni del dokaza vključuje dokazovanje, da večinoma ni smiselno govoriti o tem, ali je posamezna kocka močna ali šibka. Buffettove kocke, od katerih nobena ni najmočnejša v paketu, niso tako nenavadne: če naključno izberete kocko, je pokazal projekt Polymath, bo verjetno premagala približno polovico drugih kock in izgubila proti drugi polovici. "Skoraj vsaka kocka je precej povprečna," je dejal Gowers.

Projekt se je v enem pogledu razlikoval od prvotnega modela ekipe AIM: za poenostavitev nekaterih tehničnih podrobnosti je projekt izjavil, da je vrstni red številk na kocki pomemben - tako bi se na primer 122556 in 152562 štelo za dve različni kocki. Toda rezultat Polymath v kombinaciji z eksperimentalnimi dokazi ekipe AIM ustvarja močno domnevo, da je domneva resnična tudi v izvirnem modelu, je dejal Gowers.

"Bil sem popolnoma navdušen, da so prišli do tega dokaza," je dejal Conrey.

Ko je šlo za zbirke štirih ali več kock, je skupina AIM napovedala podobno vedenje kot tri kocke: na primer, če A utripov B, B utripov C in C utripov D potem bi morala obstajati približno 50-50 verjetnost, da D utripov A, ki se približuje natančno 50-50, ko se število strani na kocki približuje neskončnosti.

Da bi preverili domnevo, so raziskovalci simulirali medsebojne turnirje za sklope štirih kock s 50, 100, 150 in 200 stranicami. Simulacije se niso tako natančno držale njihovih napovedi kot v primeru treh kock, vendar so bile še vedno dovolj blizu, da so okrepile njihovo vero v domnevo. Toda čeprav se raziskovalci tega niso zavedali, so ta majhna odstopanja nosila drugačno sporočilo: za sklope štirih ali več kock je njihova domneva napačna.

"Resnično smo želeli, da bi bila [domneva] resnična, ker bi bilo to kul," je dejal Conrey.

V primeru štirih kock, Elisabetta Cornacchia švicarskega zveznega inštituta za tehnologijo v Lausanni in Jan Hązła z Afriškega inštituta za matematične znanosti v Kigaliju v Ruandi, je pokazala v a papirja konec leta 2020 objavil na spletu, da če A utripov B, B utripov C in C utripov D, Potem D ima malo večjo kot 50-odstotno možnost premagati A — verjetno nekje okoli 52 %, je dejal Hązła. (Kot pri papirju Polymath sta tudi Cornacchia in Hązła uporabila nekoliko drugačen model kot v papirju AIM.)

Ugotovitev Cornacchie in Hązłe izhaja iz dejstva, da čeprav ena sama kocka praviloma ni ne močna ne šibka, ima lahko par kock včasih skupna področja moči. Če naključno izberete dve kocki, sta pokazala Cornacchia in Hązła, obstaja precejšnja verjetnost, da bosta kocki povezani: ponavadi bosta premagali ali izgubili z isto kocko. "Če vas prosim, da ustvarite dve kocki, ki sta blizu druga drugi, se izkaže, da je to mogoče," je dejal Hązła. Ti majhni žepki korelacije premaknejo rezultate turnirja stran od simetrije, takoj ko so na sliki vsaj štiri kocke.

Nedavni časopisi še niso konec zgodbe. Prispevek Cornacchie in Hązłe šele začne natančno odkrivati, kako korelacije med kockami neuravnotežijo simetrijo turnirjev. Medtem pa zdaj vemo, da obstaja veliko nizov neprehodnih kock – morda celo takšna, ki je dovolj subtilna, da prevara Billa Gatesa, da izbere prvi.