Michel Talagrand je prejel Abelovo nagrado za naključnost delovnih prepirov | Revija Quanta

Naključni procesi se odvijajo povsod okoli nas. En dan dežuje, drugič pa ne; delnice in obveznice pridobivajo in izgubljajo vrednost; prometni zastoji se združijo in izginejo. Ker jih urejajo številni dejavniki, ki medsebojno delujejo na zapletene načine, je nemogoče predvideti natančno vedenje takih sistemov. Namesto tega razmišljamo o njih v smislu verjetnosti, pri čemer izide označimo kot verjetne ali redke.

Danes francoski teoretik verjetnosti Michel Talagrand prejel Abelovo nagrado, eno najvišjih priznanj v matematiki, za razvoj globokega in prefinjenega razumevanja takih procesov. Nagrada, ki jo podeljuje norveški kralj, je oblikovana po vzoru Nobelove in prinaša 7.5 milijona norveških kron (približno 700,000 dolarjev). Ko so mu povedali, da je zmagal, "se mi je um izpraznil," je dejal Talagrand. »Matematika, s katero se ukvarjam, sploh ni bila v modi, ko sem začel. Veljalo je za manjvredno matematiko. Dejstvo, da sem dobil to nagrado, je absolutni dokaz, da ni tako.”

Drugi matematiki se strinjajo. Talagrandovo delo je "spremenilo moj pogled na svet," je rekel Assaf Naor univerze Princeton. Danes, dodano Helge Holden, predsednik odbora za Abelovo nagrado, »postaja zelo priljubljeno opisovanje in modeliranje dogodkov iz resničnega sveta z naključnimi procesi. Talagrandov nabor orodij se pojavi takoj.«

Talagrand na svoje življenje gleda kot na verigo malo verjetnih dogodkov. V Lyonu je komaj opravil osnovno šolo: čeprav ga je zanimala znanost, ni maral študirati. Ko je bil star 5 let, je po ločitvi mrežnice izgubil vid na desnem očesu; pri 15 letih je utrpel tri odstope mrežnice na drugem očesu, zaradi česar je moral mesec dni preživeti v bolnišnici s povoji oči, saj se je bal, da bo oslepel. Njegov oče, profesor matematike, ga je obiskoval vsak dan in ga zaposloval z učenjem matematike. "Tako sem se naučil moči abstrakcije," Talagrand napisal v 2019 po zmagi na Shawovi nagradi, drugi veliki matematični nagradi, ki prinaša 1.2 milijona dolarjev nagrade. (Talagrand uporablja nekaj tega denarja, skupaj s svojim dobitkom Abel, za ustanovitev lastne nagrade, »priznavanje dosežkov mladih raziskovalcev na področjih, ki sem jim posvetil svoje življenje.«)

Medtem ko je okreval, je manjkal pol leta šole, vendar je bil navdihnjen, da se je začel osredotočati na študij. Blestel je v matematiki, po končani fakulteti leta 1974 pa se je zaposlil v francoskem Nacionalnem centru za znanstvene raziskave, največjem raziskovalnem inštitutu v Evropi, kjer je delal do upokojitve leta 2017. V tem času je doktoriral; v bodočo ženo statistko se je zaljubil na prvi pogled (zasnubil jo je tri dni po srečanju); in postopoma razvil zanimanje za verjetnost ter objavil na stotine člankov o tej temi.

To ni bilo vnaprej določeno. Talagrand je svojo kariero začel s preučevanjem visokodimenzionalnih geometrijskih prostorov. "Deset let nisem odkril, v čem sem dober," je dejal. A tega ovinka ne obžaluje. To ga je sčasoma pripeljalo do teorije verjetnosti, kjer "sem imel to drugo stališče ... ki mi je dalo način, da na stvari pogledam drugače," je dejal. Omogočil mu je preučevanje naključnih procesov skozi lečo visokodimenzionalne geometrije.

»Za reševanje čisto verjetnostnih vprašanj uporablja svojo geometrijsko intuicijo,« je dejal Naor.

Naključni proces je skupek dogodkov, katerih izidi se spreminjajo glede na naključje na način, ki ga je mogoče modelirati – kot je zaporedje metov kovancev ali trajektorije atomov v plinu ali skupna dnevna količina padavin. Matematiki želijo razumeti razmerje med posameznimi rezultati in skupnim vedenjem. Kolikokrat morate vreči kovanec, da ugotovite, ali je pošteno? Bo reka prestopila bregove?

Talagrand se je osredotočil na procese, katerih rezultati so porazdeljeni po zvonasti krivulji, imenovani Gaussian. Takšne porazdelitve so v naravi običajne in imajo številne zaželene matematične lastnosti. Želel je vedeti, kaj je mogoče z gotovostjo reči o ekstremnih izidih v teh situacijah. Tako je dokazal niz neenakosti, ki postavljajo tesne zgornje in spodnje meje možnih rezultatov. "Dobiti dobro neenakost je umetniško delo," je dejal Holden. Ta umetnost je uporabna: Talagrandove metode lahko dajo optimalno oceno, recimo, najvišje gladine, ki bi jo lahko reka dvignila v naslednjih 10 letih, ali magnitude najmočnejšega potencialnega potresa.

Ko imamo opravka s kompleksnimi, visokodimenzionalnimi podatki, je iskanje takih najvišjih vrednosti lahko težko.

Recimo, da želite oceniti tveganje poplavljanja reke – ki bo odvisno od dejavnikov, kot so padavine, veter in temperatura. Višino reke lahko modelirate kot naključen proces. Talagrand je 15 let razvijal tehniko, imenovano generično veriženje, ki mu je omogočila ustvariti visokodimenzionalni geometrijski prostor, povezan s takim naključnim procesom. Njegova metoda "vam omogoča, da iz geometrije preberete največ," je dejal Naor.

Tehnika je zelo splošna in zato široko uporabna. Recimo, da želite analizirati ogromen, visokodimenzionalni nabor podatkov, ki je odvisen od tisočih parametrov. Če želite narediti smiseln zaključek, želite ohraniti najpomembnejše lastnosti nabora podatkov, hkrati pa ga označiti v smislu le nekaj parametrov. (To je na primer eden od načinov za analizo in primerjavo zapletenih struktur različnih proteinov.) Številne najsodobnejše metode dosežejo to poenostavitev z uporabo naključne operacije, ki preslika visokodimenzionalne podatke v nižjedimenzionalni prostor. . Matematiki lahko uporabijo Talagrandovo generično metodo veriženja, da določijo največjo količino napake, ki jo uvede ta proces, kar jim omogoča, da določijo možnosti, da se neka pomembna značilnost ne ohrani v poenostavljenem naboru podatkov.

Talagrandovo delo ni bilo omejeno le na analizo najboljših in najslabših možnih rezultatov naključnega procesa. Preučeval je tudi, kaj se zgodi v povprečnem primeru.

V številnih procesih lahko naključni posamezni dogodki skupaj vodijo do zelo determinističnih rezultatov. Če so meritve neodvisne, postanejo vsote zelo predvidljive, tudi če je vsak posamezen dogodek nemogoče predvideti. Na primer vrzite pošten kovanec. Vnaprej ne morete reči, kaj se bo zgodilo. Obrnite ga 10-krat in dobili boste štiri, pet ali šest glav — blizu pričakovane vrednosti petih glav — približno 66 % časa. Toda vrzite kovanec 1,000-krat in v 450 % primerov boste dobili med 550 in 99.7 glavami, kar je rezultat, ki je še bolj skoncentriran okoli pričakovane vrednosti 500. »Okoli povprečja je izjemno oster,« je dejal Holden.

"Čeprav ima nekaj toliko naključnosti, se naključnost sama izniči," je dejal Naor. "Kar se je sprva zdelo kot grozen nered, je dejansko organizirano."

Ta pojav, znan kot koncentracija mere, se pojavlja tudi v veliko bolj zapletenih naključnih procesih. Talagrand je pripravil zbirko neenakosti, ki omogočajo kvantificiranje te koncentracije, in dokazal, da se pojavi v številnih različnih kontekstih. Njegove tehnike so zaznamovale odmik od prejšnjega dela na tem območju. Dokazovanje prve takšne neenakosti, je zapisal v svojem eseju leta 2019, je bilo »čarobna izkušnja«. Bil je »v stanju nenehnega navdušenja«.

Še posebej je ponosen na eno od svojih poznejših neenakosti koncentracije. "Ni enostavno dobiti rezultata, ki poskuša razmišljati o vesolju in ki ima hkrati enostranski dokaz, ki ga je enostavno razložiti," je dejal. (Z veseljem se spominja, da je nekoč uporabljal taksi, katerega lastnik je prepoznal njegovo ime, saj se je neenakosti naučil med poukom verjetnosti v poslovni šoli. »To je bilo izjemno,« je rekel.)

Tako kot njegova generična metoda veriženja se tudi Talagrandove koncentracijske neenakosti pojavljajo po vsej matematiki. "Neverjetno, kako daleč gre," je dejal Naor. "Talagrand neenakosti so vijaki, ki držijo stvari skupaj."

Razmislite o problemu optimizacije, kjer morate predmete različnih velikosti razvrstiti v koše – model dodeljevanja virov. Ko imate veliko predmetov, je zelo težko ugotoviti najmanjše število zabojnikov, ki jih potrebujete. Toda Talagrandove neenakosti vam lahko povedo, koliko zabojnikov boste verjetno potrebovali, če so velikosti predmetov naključne.

Podobne metode so bile uporabljene za dokazovanje pojavov koncentracije v kombinatoriki, fiziki, računalništvu, statistiki in drugih okoljih.

Pred kratkim je Talagrand uporabil svoje razumevanje naključnih procesov, da bi dokazal pomembno domnevo o spin stekelih, neurejenih magnetnih materialih, ustvarjenih z naključnimi, pogosto nasprotujočimi si interakcijami. Talagrand je bil razočaran, ker so jih fiziki razumeli bolje kot matematiki, čeprav so spin očala matematično dobro definirana. "To je bil trn v naši nogi," je dejal. Dokazal je rezultat - o tako imenovani prosti energiji spinskih očal -, ki je zagotovil temelj za bolj matematično teorijo.

Skozi njegovo kariero je Talagrandovo raziskovanje zaznamovala »ta zmožnost, da se samo umakne in najde splošna načela, ki jih je mogoče ponovno uporabiti povsod,« je dejal Naor. »Ponovno pregleduje in razmišlja o nečem z najrazličnejših vidikov. In sčasoma predstavi vpogled, ki postane delovni konj, ki ga uporabljajo vsi.«

"Rad zelo dobro razumem preproste stvari, ker so moji možgani zelo počasni," je dejal Talagrand. "Zato razmišljam o njih zelo, zelo dolgo." Rekel je, da ga žene želja, da bi »nekaj globoko razumel, na čist način, kar naredi teorijo veliko lažjo. Potem lahko naslednja generacija začne od tam in napreduje pod svojimi pogoji.«

V zadnjem desetletju je to dosegel s pisanjem učbenikov – ne samo o naključnih procesih in spinskih očalih, ampak tudi o področju, s katerim se sploh ne ukvarja, kvantni teoriji polja. Želel se je poučiti o tem, a je ugotovil, da so vse učbenike, ki jih je našel, napisali fiziki in za njih, ne matematiki. Tako je eno napisal sam. "Ko si ne moreš več izmišljevati stvari, jih lahko razložiš," je dejal.