Zakaj matematiki znova dokazujejo, kar že vedo

Prvi dokaz, ki se ga mnogi ljudje kdaj naučijo že v srednji šoli, je dokaz starogrškega matematika Evklida, da obstaja neskončno veliko praštevil. Zajema le nekaj vrstic in ne uporablja pojmov, ki so bolj zapleteni kot cela števila in množenje.

Njegov dokaz temelji na dejstvu, da če bi obstajalo končno število praštevil, bi njihovo množenje in dodajanje 1 pomenilo obstoj drugega praštevila. To protislovje implicira, da mora biti praštevil neskončno.

Matematiki imajo nenavadno priljubljeno razvedrilo: dokazovanje znova in znova.

Zakaj bi se trudil s tem? Po eni strani je zabavno. Še pomembneje, "mislim, da je meja med rekreativno in resno matematiko zelo tanka," je dejal William Gasarch, profesor računalništva na Univerzi v Marylandu in avtor knjige nov dokaz objavljen na spletu v začetku tega leta.

Gasarchov dokaz je le zadnji v dolgem nizu novih dokazov. leta 2018, Romeo Meštrović Univerze v Črni gori zbral skoraj 200 dokazov Evklidovega izreka v celovit zgodovinski pregled. Dejansko celotno področje analitične teorije števil, ki uporablja nenehno spreminjajoče se količine za preučevanje celih števil, verjetno nastala leta 1737, ko je matematični velikan Leonhard Euler uporabil dejstvo, da neskončni niz 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … divergira (kar pomeni, da se ne sešteje na končno število), ponovno dokazati, da obstaja neskončno število praštevil.

Christian Elsholtz, matematik na Tehnološki univerzi v Gradcu v Avstriji in avtor knjige še en nedavni dokaz, je dejal, da je namesto dokazovanja trdnih rezultatov iz številnih manjših rezultatov – kar počnejo matematiki, ko leme sistematično sestavljajo v izreke – naredil nasprotno. »Uporabljam Fermatov zadnji izrek, ki je res netrivialen rezultat. In potem zaključim zelo preprost rezultat.” Takšno delo nazaj lahko razkrije skrite povezave med različnimi področji matematike, je dejal.

»Zunaj obstaja majhna konkurenca, kdo bo imel najbolj smešno težek dokaz,« je rekel Andrew Granville, matematik na Univerzi v Montrealu in avtor od dveh druga dokazila. »Mora biti zabavno. Narediti nekaj tehnično groznega ni smisel. Edini način, da želiš narediti nekaj težkega, je, da je zabavno.«

Granville je rekel, da je v tem prijateljskem nagovarjanju resen smisel. Raziskovalci niso samo nasičeni z vprašanji, ki jih poskušajo rešiti. »Pri procesu ustvarjanja v matematiki ne gre za to, da stroju le nastavite nalogo in stroj jo reši. Gre za to, da nekdo vzame tisto, kar je naredil v preteklosti, in to uporabi za ustvarjanje tehnike in način za razvoj idej.«

Kot pravi Gasarch: »Vsi dokumenti segajo od ljubkega novega dokaza, da so praštevila neskončna, v resno matematiko. Nekega dne gledaš samo praštevila, naslednji dan pa gledaš gostote kvadratov.«

Gasarchov dokaz se začne z dejstvom, da če cela števila pobarvate s končnim številom barv, bo vedno obstajal par števil z isto barvo, katerih vsota je tudi ta barva, ki je bila dokazano leta 1916 avtorja Issai Schur. Gasarch je uporabil Schurjev izrek, da bi pokazal, da če bi obstajalo končno število praštevil, bi obstajala popolna kocka (celo število, kot je 125, ki je enako nekemu drugemu celemu številu, trikrat pomnoženemu s samim seboj), ki je vsota dveh druge popolne kocke. Toda že leta 1770 je Euler dokazal, da taka kocka ne obstaja – kocka n = 3 primer Fermatovega zadnjega izreka, ki trdi, da ni celoštevilskih rešitev za aⁿ + bⁿ = cⁿ za n večje od 2. Na podlagi tega protislovja je Gasarch sklepal, da mora obstajati neskončno število praštevil.

Eden od Granvillovih dokazov iz leta 2017 je uporabil drugačen Fermatov izrek. Granville se je v glavnem zanašal na a izrek iz leta 1927 Bartel Leendert van der Waerden, ki je pokazal, da če cela števila pobarvate s končnim številom barv, vedno obstajajo poljubno dolge verige enakomerno razporejenih celih števil z isto barvo. Tako kot Gasarch je tudi Granville začel s predpostavko, da so praštevila končna. Nato je uporabil van der Waerdenov izrek, da bi našel zaporedje štirih enakomerno razporejenih, enako obarvanih popolnih kvadratov. Toda Fermat je dokazal, da takšno zaporedje ne more obstajati. Protislovje! Ker bi takšno zaporedje lahko obstajalo, če bi bilo praštevil končno, ne more pa obstajati, mora obstajati neskončno število praštevil. Granvillov dokaz je bil drugi nedavni glavni dokaz, ki temelji na van der Waerdenovem izreku - Levent Alpöge, zdaj podoktorski študij na univerzi Harvard, je prav tako uporabil rezultat v a Papir 2015, objavljeno, ko je bil še na fakulteti.

Granville je še posebej navdušen nad Elsholtzovim člankom, ki prav tako uporablja Fermatov zadnji izrek in hipotetično predpostavko, da je praštevil le končno veliko. Tako kot Gasarch je Elsholtz vključil Schurjev izrek, čeprav na nekoliko drugačen način. Elsholtz je podal tudi drugi dokaz z uporabo a 1953 izrek Klausa Rotha, ki pravi, da morajo nizi celih števil nad določeno velikostjo vsebovati skupine treh enakomerno razporejenih števil.

Na nekatera globlja — in celo praktična — matematična vprašanja bi lahko odgovorili z gradnjo na tem delu. Na primer, šifriranje z javnim ključem, ki temelji na težavnosti faktoriziranja velikih števil, bi bilo zelo enostavno razbiti, če bi živeli v svetu s končnim številom praštevil. Elsholtz se sprašuje, ali morda obstaja kakšna povezava med dokazi neskončnega števila praštevil in dokazovanjem, kako težko je razbiti takšne sheme šifriranja. Obstaja "nekatera šibka povezava z Evklidovim izrekom," je dejal Elsholtz. "Zanimivo bi bilo videti globlje povezave."

Granville je dejal, da lahko najboljša matematika zraste iz nenavadnih kombinacij različnih področij in predmetov in se pogosto pojavi po tem, ko matematiki leta premlevajo nizke, a zabavne probleme. Fascinira ga dejstvo, da bi lahko na videz oddaljene teme uporabili v teoriji števil. V nedavni raziskavi je Granville pohvalil "skopo eleganco" a 1955 dokaz Hillel Furstenberg, ki je uporabljal topologijo nabora točk. Tako kot Alpöge je bil Furstenberg še vedno na fakulteti, ko je bil njegov dokaz objavljen. Šel bi na an slavna kariera v različne matematične discipline.

Granville je retorično vprašal, ali so novi dokazi Evklidovega starega rezultata "samo radovednost ali nekaj, kar je dolgoročno pomembno." Na svoje vprašanje je odgovoril: "Ne morem vam povedati."